La geometría anabelina es una teoría en la teoría de números que describe la forma en que el grupo fundamental algebraico G de una cierta variedad aritmética X , o algún objeto geométrico relacionado, puede ayudar a recuperar X . Los primeros resultados para cuerpos numéricos y sus grupos de Galois absolutos fueron obtenidos por Jürgen Neukirch , Masatoshi Gündüz Ikeda , Kenkichi Iwasawa y Kôji Uchida ( teorema de Neukirch-Uchida , 1969), antes de las conjeturas hechas sobre curvas hiperbólicas sobre cuerpos numéricos por Alexander Grothendieck . Como se introdujo en Esquisse d'un Programme, estas últimas trataban sobre cómo los homomorfismos topológicos entre dos grupos fundamentales aritméticos de dos curvas hiperbólicas sobre cuerpos numéricos corresponden a aplicaciones entre las curvas. Una primera versión de la conjetura anabeliana de Grothendieck fue resuelta por Hiroaki Nakamura y Akio Tamagawa (para curvas afines), luego completada por Shinichi Mochizuki . [1]
La "cuestión anabeliana" ha sido formulada como
¿Cuánta información sobre la clase de isomorfismo de la variedad X está contenida en el conocimiento del grupo fundamental étale [2]?
Un ejemplo concreto es el caso de las curvas, que pueden ser tanto afines como proyectivas. Supóngase dada una curva hiperbólica C , es decir, el complemento de n puntos en una curva algebraica proyectiva de género g , tomada como suave e irreducible, definida sobre un cuerpo K que es finitamente generado (sobre su cuerpo primo ), tal que
Grothendieck conjeturó que el grupo fundamental algebraico G de C , un grupo profinito , determina a C mismo (es decir, la clase de isomorfismo de G determina la de C ). Esto fue demostrado por Mochizuki. [3] Un ejemplo es para el caso de (la línea proyectiva ) y , cuando la clase de isomorfismo de C está determinada por la razón cruzada en K de los cuatro puntos eliminados (casi, habiendo un orden para los cuatro puntos en una razón cruzada, pero no en los puntos eliminados). [4] También hay resultados para el caso de K un cuerpo local . [5]
Shinichi Mochizuki introdujo y desarrolló la geometría monoanabeliana , un enfoque que restaura, para una cierta clase de curvas hiperbólicas sobre cuerpos numéricos o algunos otros cuerpos, la curva de su grupo fundamental algebraico . Los resultados clave de la geometría monoanabeliana fueron publicados en "Topics in Absolute Anabelian Geometry" de Mochizuki I (2012), II (2013) y III (2015). [6]
El enfoque opuesto de la geometría mono-anabeliana es la geometría biabeliana , un término acuñado por Mochizuki en "Temas de geometría anabeliana absoluta III" para indicar el enfoque clásico.
La geometría monoanabeliana se ocupa de ciertos tipos (estrictamente del tipo Belyi) de curvas hiperbólicas sobre cuerpos numéricos y cuerpos locales. Esta teoría extiende considerablemente la geometría anabeliana. Su objetivo principal es construir algoritmos que produzcan la curva, hasta un isomorfismo, a partir del grupo fundamental étale de dicha curva. En particular, por primera vez esta teoría produce una restauración funcional simultánea del cuerpo numérico fundamental y su completitud, a partir del grupo fundamental de una gran clase de curvas elípticas perforadas sobre cuerpos numéricos. [7] [8] [9] La teoría interuniversal de Teichmüller de Shinichi Mochizuki está estrechamente relacionada con varios resultados de la geometría monoanabeliana y los utiliza. [10]
Shinichi Mochizuki también introdujo la geometría anabeliana combinatoria , que se ocupa de cuestiones de curvas hiperbólicas y otros esquemas relacionados sobre cuerpos algebraicamente cerrados. Los primeros resultados se publicaron en "Una versión combinatoria de la conjetura de Grothendieck " (2007) y "Sobre la cuspidalización combinatoria de curvas hiperbólicas" (2010) de Mochizuki. Posteriormente, Yuichiro Hoshi y Mochizuki aplicaron el campo a las curvas hiperbólicas en una serie de cuatro artículos, "Temas relacionados con la geometría anabeliana combinatoria de curvas hiperbólicas" (2012-2013).
La geometría anabeliana combinatoria se ocupa de la reconstrucción de objetos de teoría de esquemas o de anillos a partir de datos constituyentes combinatorios más primitivos. El origen de la geometría anabeliana combinatoria se encuentra en algunas de esas ideas combinatorias en las pruebas de Mochizuki de la conjetura de Grothendieck. Algunos de los resultados de la geometría anabeliana combinatoria proporcionan pruebas alternativas de casos parciales de la conjetura de Grothendieck sin utilizar la teoría p-ádica de Hodge . La geometría anabeliana combinatoria ayuda a estudiar varios aspectos del grupo de Grothendieck-Teichmüller y los grupos absolutos de Galois de cuerpos numéricos y cuerpos locales de características mixtas. [11]
