La teoría interuniversal de Teichmüller (abreviada como IUT o IUTT ) es el nombre dado por el matemático Shinichi Mochizuki a una teoría que desarrolló en la década de 2000, a raíz de su trabajo anterior en geometría aritmética . Según Mochizuki, es "una versión aritmética de la teoría de Teichmüller para cuerpos numéricos equipados con una curva elíptica ". La teoría se hizo pública en una serie de cuatro preprints publicados en 2012 en su sitio web. La aplicación más sorprendente que se le atribuye a la teoría es proporcionar una prueba para varias conjeturas destacadas en la teoría de números , en particular la conjetura abc . Mochizuki y algunos otros matemáticos afirman que la teoría de hecho produce tal prueba, pero esto hasta ahora no ha sido aceptado por la comunidad matemática.
La teoría fue desarrollada íntegramente por Mochizuki hasta 2012, y las últimas partes fueron escritas en una serie de cuatro preimpresiones. [1] Mochizuki hizo público su trabajo en agosto de 2012 sin la fanfarria que suele acompañar a los grandes avances, publicando los artículos únicamente en el servidor de preimpresiones de su institución y en su sitio web, y sin hacer ningún anuncio a sus colegas. [2] [3] [4] Poco después, los artículos fueron recogidos por Akio Tamagawa e Ivan Fesenko y la comunidad matemática en general se enteró de las afirmaciones de haber demostrado la conjetura abc. [4]
La recepción de la afirmación fue entusiasta al principio, aunque los teóricos de números estaban desconcertados por el lenguaje original introducido y utilizado por Mochizuki. [5] [6] [7] Se celebraron talleres sobre IUT en RIMS en marzo de 2015, en Pekín en julio de 2015, [8] en Oxford en diciembre de 2015 y en RIMS en julio de 2016. Los dos últimos eventos atrajeron a más de 100 participantes. Las presentaciones de estos talleres están disponibles en línea. [9] [10] Sin embargo, estos no llevaron a una comprensión más amplia de las ideas de Mochizuki y el estado de su supuesta prueba no se modificó por estos eventos. [11]
En 2017, varios matemáticos que habían examinado el argumento de Mochizuki en detalle señalaron un punto específico que no podían entender, cerca del final de la prueba del Corolario 3.12, en el artículo tres de cuatro. [12]
En marzo de 2018, Peter Scholze y Jakob Stix visitaron la Universidad de Kioto durante cinco días para conversar con Mochizuki y Yuichiro Hoshi; si bien esto no resolvió las diferencias, puso de relieve dónde se encontraban las dificultades. [12] [13] También resultó en la publicación de informes de la discusión por ambas partes:
Mochizuki publicó su trabajo en una serie de cuatro artículos en revistas en 2021, en la revista Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University , [18] de la que es editor en jefe . [19] [20] En una revisión de estos artículos en zbMATH , Peter Scholze escribió que sus preocupaciones de 2017 y 2018 "no han sido abordadas en la versión publicada". [18] Otros autores han señalado la disputa no resuelta entre Mochizuki y Scholze sobre la corrección de este trabajo como un caso en el que el proceso de revisión por pares de la publicación en revistas matemáticas ha fallado en su función habitual de convencer a la comunidad matemática en su conjunto de la validez de un resultado. [19] [20] [21]
La teoría interuniversal de Teichmüller es una continuación del trabajo previo de Mochizuki en geometría aritmética. Este trabajo, que ha sido revisado por pares y bien recibido por la comunidad matemática, incluye importantes contribuciones a la geometría anabeliana y al desarrollo de la teoría p-ádica de Teichmüller , la teoría de Hodge-Arakelov y las categorías de Frobenioid . Fue desarrollado con referencias explícitas al objetivo de obtener una comprensión más profunda de abc y conjeturas relacionadas. En el contexto geométrico, aparecen análogos a ciertas ideas de la IUT en la prueba de Bogomolov de la desigualdad geométrica de Szpiro . [22]
El requisito clave para la IUT es la geometría monoanabeliana de Mochizuki y sus resultados de reconstrucción, que permiten recuperar varios objetos teóricos de esquemas asociados a una curva hiperbólica sobre un cuerpo numérico a partir del conocimiento de su grupo fundamental, o de ciertos grupos de Galois. La IUT aplica resultados algorítmicos de la geometría monoanabeliana para reconstruir esquemas relevantes después de aplicarles deformaciones aritméticas; un papel clave lo desempeñan tres rigideces establecidas en la teoría theta étale de Mochizuki. En términos generales, las deformaciones aritméticas cambian la multiplicación de un anillo dado, y la tarea es medir cuánto cambia la adición. [23] La infraestructura para los procedimientos de deformación se decodifica mediante ciertos vínculos entre los llamados teatros de Hodge, como un vínculo theta y un vínculo log. [24]
Estos teatros de Hodge utilizan dos simetrías principales de la TIU: la aritmética multiplicativa y la geométrica aditiva. Por un lado, los teatros de Hodge generalizan objetos clásicos de la teoría de números como los adeles y los ideles en relación con sus elementos globales. Por otro lado, generalizan ciertas estructuras que aparecen en la teoría de Hodge-Arakelov previa de Mochizuki. Los vínculos entre los teatros no son compatibles con las estructuras de anillo o esquema y se realizan fuera de la geometría aritmética convencional. Sin embargo, son compatibles con ciertas estructuras de grupo, y los grupos absolutos de Galois, así como ciertos tipos de grupos topológicos, juegan un papel fundamental en la TIU. Las consideraciones de multirradialidad, una generalización de la functorialidad, implican que deben introducirse tres indeterminaciones leves. [24]
La principal aplicación reivindicada de la IUT es en varias conjeturas de la teoría de números, entre ellas la conjetura abc , pero también conjeturas más geométricas como la conjetura de Szpiro sobre curvas elípticas y la conjetura de Vojta para curvas.
El primer paso es traducir la información aritmética sobre estos objetos [ se necesita más explicación ] al contexto de las categorías de Frobenioid. Se afirma que la estructura adicional en este aspecto permite deducir afirmaciones que se traducen nuevamente en los resultados propuestos. [25]
Un problema con los argumentos de Mochizuki, que él mismo reconoce, es que no parece posible obtener resultados intermedios en su supuesta prueba de la conjetura abc utilizando la TIU. En otras palabras, no existe un subconjunto más pequeño de sus argumentos que sea más fácil de analizar por expertos externos, lo que produciría un nuevo resultado en geometrías diofánticas. [25]
Vesselin Dimitrov extrajo de los argumentos de Mochizuki una prueba de un resultado cuantitativo sobre abc, que en principio podría dar una refutación de la prueba. [26]
Pero está claro que implica ideas que están completamente fuera de la corriente principal del tema. Al mirarlo, uno se siente un poco como si estuviera leyendo un periódico del futuro o del espacio exterior.
Las... discusiones... constituyen las primeras discusiones detalladas y sustantivas sobre posiciones negativas... IUTch.
La mayoría de los comentarios de
(su reacción anterior)
no se abordaron en
(su actualización de septiembre)
y, por lo tanto, siguen siendo válidos.
Complemento a su reacción anterior
{{cite web}}: Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )