Variedad Albanese

Generalización de la variedad jacobiana

En matemáticas , la variedad albanesa , llamada así por Giacomo Albanese , es una generalización de la variedad jacobiana de una curva. ${\displaystyle A(V)}$

Declaración precisa

La variedad albanesa es la variedad abeliana generada por una variedad que toma un punto dado de a la identidad de . En otras palabras, hay un morfismo de la variedad a su variedad albanesa , tal que cualquier morfismo de a una variedad abeliana (que toma el punto dado a la identidad) se factoriza únicamente a través de . Para variedades complejas, André Blanchard (1956) definió la variedad albanesa de manera similar, como un morfismo de a un toro tal que cualquier morfismo a un toro se factoriza únicamente a través de esta función. (Es una variedad analítica en este caso; no necesita ser algebraica). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

Propiedades

Para variedades de Kähler compactas la dimensión de la variedad de Albanese es el número de Hodge , la dimensión del espacio de diferenciales de primera especie en , que para superficies se llama irregularidad de una superficie . En términos de formas diferenciales , cualquier 1-forma holomorfa en es un pullback de 1-forma invariante a la traslación en la variedad de Albanese, que proviene del espacio cotangente holomorfa de en su elemento identidad. Al igual que para el caso de la curva, por elección de un punto base en (desde el cual 'integrar'), un morfismo de Albanese ${\displaystyle h^{1,0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$

se define, a lo largo del cual las 1-formas se retraen. Este morfismo es único hasta una traducción en la variedad Albanese. Para variedades sobre campos de característica positiva, la dimensión de la variedad Albanese puede ser menor que los números de Hodge y (que no necesitan ser iguales). Para ver la nota anterior, la variedad Albanese es dual a la variedad Picard , cuyo espacio tangente en la identidad está dado por Eso es un resultado de Jun-ichi Igusa en la bibliografía. ${\displaystyle h^{1,0}}$ ${\displaystyle h^{0,1}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X}).}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Alb} (X)\leq h^{1,0}}$

Teorema de Roitman

Si el campo fundamental k está algebraicamente cerrado , se puede demostrar que el mapa de Albanese se factoriza sobre un homomorfismo de grupo (también llamado mapa de Albanese ). ${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$

${\displaystyle CH_{0}(V)\to \operatorname {Alb} (V)(k)}$

del grupo de Chow de ciclos de dimensión 0 en V al grupo de puntos racionales de , que es un grupo abeliano ya que es una variedad abeliana. ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

El teorema de Roitman , introducido por AA Rojtman (1980), afirma que, para l primo de char( k ), la función de Albanese induce un isomorfismo en los subgrupos de torsión l . ^{[1] [2]} La restricción sobre la primalidad del orden de torsión a la característica del cuerpo base fue eliminada por Milne ^[3] poco después: el subgrupo de torsión de y el subgrupo de torsión de los puntos de valor k de la variedad de Albanese de X coinciden. ${\displaystyle \operatorname {CH} _{0}(X)}$

Reemplazando el grupo de Chow por la homología singular algebraica de Suslin–Voevodsky después de la introducción de la cohomología motívica Se ha obtenido el teorema de Roitman y se lo ha reformulado en el marco motívico. Por ejemplo, se obtiene un resultado similar para variedades cuasi-proyectivas no singulares. ^[4] Existen versiones adicionales del teorema de Roitman para esquemas normales. ^[5] En realidad, las formulaciones más generales del teorema de Roitman (es decir, homológica, cohomológica y de Borel–Moore ) involucran el complejo motívico de Albanese y han sido demostradas por Luca Barbieri-Viale y Bruno Kahn (ver las referencias III.13). ${\displaystyle \operatorname {LAlb} (V)}$

Conexión con la variedad Picard

La variedad albanesa es dual a la variedad Picard (el componente conexo de cero del esquema Picard que clasifica los haces invertibles en V ):

${\displaystyle \operatorname {Alb} V=(\operatorname {Pic} _{0}V)^{\vee }.}$

Para las curvas algebraicas, el teorema de Abel-Jacobi implica que las variedades Albanese y Picard son isomorfas.

Véase también

• Jacobiano intermedio
• Esquema albanés
• Motívico Albanese

Notas y referencias

1. Rojtman, AA (1980). "La torsión del grupo de ciclos 0 módulo equivalencia racional". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 111 (3): 553–569. doi :10.2307/1971109. ISSN  0003-486X. JSTOR  1971109. MR  0577137.
2. Bloch, Spencer (1979). "Ciclos algebraicos de torsión y un teorema de Roitman". Compositio Mathematica . 39 (1). MR  0539002.
3. Milne, JS (1982). "Ciclos cero en variedades algebraicas en característica no nula: teorema de Rojtman". Compositio Mathematica . 47 (3): 271–287.
4. Spiess, Michael; Szamuely, Tamás (2003). "En el mapa de Albanese para variedades suaves cuasiproyectivas". Annalen Matemáticas . 325 : 1–17. arXiv : matemáticas/0009017 . doi :10.1007/s00208-002-0359-8. S2CID  14014858.
5. Geisser, Thomas (2015). "Teorema de Rojtman para esquemas normales". Mathematical Research Letters . 22 (4): 1129–1144. arXiv : 1402.1831 . doi :10.4310/MRL.2015.v22.n4.a8. S2CID  59423465.

• Barbieri-Viale, Luca; Kahn, Bruno (2016), Sobre la categoría derivada de los 1-motivos , Astérisque, vol. 381, SMF, arXiv : 1009.1900 , ISBN 978-2-85629-818-3, ISSN  0303-1179  , MR3545132
• Blanchard, André (1956), "Sur les variétés analytiques complexes", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 73 (2): 157–202, doi : 10.24033/asens.1045 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  0087184
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca Wiley Classics. Wiley Interscience. págs. 331, 552. ISBN 978-0-471-05059-9.
• Igusa, Jun-ichi (1955). "Una desigualdad fundamental en la teoría de las variedades de Picard". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 41 (5): 317–20. Bibcode :1955PNAS...41..317I. doi : 10.1073/pnas.41.5.317 . PMC  528086 . PMID  16589672.
• Parshin, Aleksei N. (2001) [1994], "Variedad albanesa", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press