En matemáticas, la irregularidad de una superficie compleja X es el número de Hodge , usualmente denotado por q. [1] La irregularidad de una superficie algebraica a veces se define como este número de Hodge, y a veces se define como la dimensión de la variedad de Picard , que es la misma en la característica 0 pero puede ser menor en la característica positiva. [2]
El nombre de "irregularidad" proviene del hecho de que en las primeras superficies investigadas en detalle, las superficies complejas lisas en P 3 , la irregularidad desaparece. La irregularidad apareció entonces como un nuevo término de "corrección" que mide la diferencia entre el género geométrico y el género aritmético de superficies más complicadas. A las superficies a veces se las llama regulares o irregulares dependiendo de si la irregularidad desaparece o no.
Para una variedad analítica compleja X de dimensión general, el número de Hodge se denomina irregularidad de , y se denota por q .
Para superficies proyectivas complejas no singulares (o de Kähler ), los siguientes números son todos iguales:
Para superficies con característica positiva o para superficies que no sean complejas de Kähler, no es necesario que todos los números anteriores sean iguales.
Henri Poincaré demostró que para superficies proyectivas complejas la dimensión de la variedad de Picard es igual al número de Hodge h 0,1 , y lo mismo es cierto para todas las superficies de Kähler compactas. La irregularidad de las superficies de Kähler compactas y suaves es invariante bajo transformaciones bimeromórficas. [3]
Para superficies complejas compactas generales, los dos números de Hodge h 1,0 y h 0,1 no necesitan ser iguales, pero h 0,1 es h 1,0 o h 1,0 +1, y es igual a h 1,0 para superficies de Kähler compactas .
Sobre campos de característica positiva , la relación entre q (definida como la dimensión de la variedad Picard o Albanese) y los números de Hodge h 0,1 y h 1,0 es más complicada, y dos de ellos pueden ser diferentes.
Existe una función canónica de una superficie F a su variedad albanesa A que induce un homomorfismo del espacio cotangente de la variedad albanesa (de dimensión q ) a H 1,0 ( F ). [4] Jun-Ichi Igusa encontró que esto es inyectivo, de modo que , pero poco después encontró una superficie en característica 2 con y variedad de Picard de dimensión 1, de modo que q puede ser estrictamente menor que ambos números de Hodge. [4] En característica positiva, ningún número de Hodge está siempre acotado por el otro. Serre demostró que es posible que h 1,0 se anule mientras que h 0,1 es positivo, mientras que Mumford demostró que para superficies de Enriques en característica 2 es posible que h 0,1 se anule mientras que h 1,0 es positivo. [5] [6]
Alexander Grothendieck dio una descripción completa de la relación de q con en todas las características. La dimensión del espacio tangente al esquema de Picard (en cualquier punto) es igual a . [7] En la característica 0 un resultado de Pierre Cartier mostró que todos los esquemas de grupos de tipo finito son no singulares, por lo que la dimensión de su espacio tangente es su dimensión. Por otra parte, en la característica positiva es posible que un esquema de grupo sea no reducido en cada punto de modo que la dimensión sea menor que la dimensión de cualquier espacio tangente, que es lo que sucede en el ejemplo de Igusa. Mumford muestra que el espacio tangente a la variedad de Picard es el subespacio de H 0,1 aniquilado por todas las operaciones de Bockstein desde H 0,1 hasta H 0,2 , por lo que la irregularidad q es igual a h 0,1 si y solo si todas estas operaciones de Bockstein se anulan. [6]
