En geometría algebraica , una superficie cuártica de Kummer , estudiada por primera vez por Ernst Kummer (1864), es una superficie nodal irreducible de grado 4 en con el máximo número posible de 16 puntos dobles. Cualquier superficie de este tipo es la variedad de Kummer de la variedad jacobiana de una curva hiperelíptica suave de género 2; es decir, un cociente del jacobiano por la involución de Kummer x ↦ − x . La involución de Kummer tiene 16 puntos fijos: los 16 puntos de 2-torsión del jacobiano, y son los 16 puntos singulares de la superficie cuártica. Resolviendo los 16 puntos dobles del cociente de un toro (posiblemente no algebraico) por la involución de Kummer se obtiene una superficie K3 con 16 curvas racionales disjuntas; estas superficies K3 también se denominan a veces superficies de Kummer.
Otras superficies estrechamente relacionadas con las superficies de Kummer incluyen las superficies de Weddle , las superficies de onda y los tetraedros .
Sea una superficie cuártica con un punto doble ordinario p , cerca del cual K parece un cono cuadrático. Cualquier línea proyectiva que pase por p se encuentra con K con multiplicidad dos en p , y por lo tanto se encontrará con la superficie cuártica K en solo otros dos puntos. Identificando las líneas en que pasan por el punto p con , obtenemos una cobertura doble a partir de la explosión de K en p a ; esta cobertura doble se da enviando q ≠ p ↦ , y cualquier línea en el cono tangente de p en K a sí misma. El lugar geométrico de ramificación de la cobertura doble es una curva plana C de grado 6, y todos los nodos de K que no son p se asignan a nodos de C .
Por la fórmula del grado de género , el número máximo posible de nodos en una curva séxtica se obtiene cuando la curva es una unión de líneas, en cuyo caso tenemos 15 nodos. Por lo tanto, el número máximo de nodos en una cuártica es 16, y en este caso todos son nodos simples (para demostrar que es un proyecto simple a partir de otro nodo). Una cuártica que obtiene estos 16 nodos se llama cuártica de Kummer, y nos concentraremos en ellas a continuación.
Como es un nodo simple, el cono tangente a este punto se mapea a una cónica bajo la doble cobertura. Esta cónica es, de hecho, tangente a las seis líneas (prueba de wo). A la inversa, dada una configuración de una cónica y seis líneas que son tangentes a ella en el plano, podemos definir la doble cobertura del plano ramificado sobre la unión de estas 6 líneas. Esta doble cobertura se puede mapear a , bajo una función que derriba la doble cobertura de la cónica especial, y es un isomorfismo en otro lugar (prueba de wo).
Partiendo de una curva suave de género 2, podemos identificar el jacobiano con bajo la función . Ahora observamos dos hechos: como es una curva hiperelíptica, la función del producto simétrico a , definida por , es la reducción del gráfico de la involución hiperelíptica a la clase divisora canónica . Además, la función canónica es una doble cobertura. Por lo tanto, obtenemos una doble cobertura .
Esta doble cubierta es la que ya apareció arriba: Las 6 líneas son las imágenes de los divisores theta simétricos impares en , mientras que la cónica es la imagen del 0 ampliado. La cónica es isomorfa al sistema canónico a través del isomorfismo , y cada una de las seis líneas es naturalmente isomorfa al sistema canónico dual a través de la identificación de divisores theta y traslaciones de la curva . Hay una correspondencia 1-1 entre pares de divisores theta simétricos impares y puntos de 2-torsión en el jacobiano dada por el hecho de que , donde son puntos de Weierstrass (que son las características theta impares en este en género 2). Por lo tanto, los puntos de ramificación de la función canónica aparecen en cada una de estas copias del sistema canónico como los puntos de intersección de las líneas y los puntos de tangencia de las líneas y la cónica.
Finalmente, como sabemos que cada superficie cuártica de Kummer es una variedad de Kummer de un jacobiano de una curva hiperelíptica, mostramos cómo reconstruir la superficie cuártica de Kummer directamente a partir del jacobiano de una curva de género 2: El jacobiano de se aplica al sistema lineal completo (ver el artículo sobre variedades abelianas ). Este mapa se factoriza a través de la variedad de Kummer como un mapa de grado 4 que tiene 16 nodos en las imágenes de los puntos de torsión 2 en .
Hay varios puntos cruciales que relacionan los aspectos geométricos, algebraicos y combinatorios de la configuración de los nodos del cuartico de Kummer:
Por lo tanto, tenemos una configuración de cónicas en ; donde cada una contiene 6 nodos, y tal que la intersección de cada dos es a lo largo de 2 nodos. Esta configuración se llama configuración o configuración de Kummer .
Los puntos de 2-torsión de una variedad abeliana admiten una forma bilineal simpléctica llamada emparejamiento de Weil. En el caso de los jacobianos de curvas de género dos, cada punto de 2-torsión no trivial se expresa de forma única como una diferencia entre dos de los seis puntos de Weierstrass de la curva. El emparejamiento de Weil se da en este caso por . Se pueden recuperar muchos de los invariantes teóricos del grupo a través de la geometría de la configuración.
A continuación se muestra una lista de invariantes teóricos de grupos y su encarnación geométrica en la configuración 16 6 .
Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Superficie Kummer", que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .
