superficie romana

Mapeo autointersectante y altamente simétrico del plano proyectivo real en el espacio 3D

Una animación de la superficie romana.

En matemáticas , la superficie romana o superficie de Steiner es un mapeo autointersectante del plano proyectivo real en un espacio tridimensional , con un grado inusualmente alto de simetría . Este mapeo no es una inmersión del plano proyectivo; sin embargo, la cifra que resulta de quitar seis puntos singulares es uno. Su nombre surge porque fue descubierto por Jakob Steiner cuando se encontraba en Roma en 1844. ^[1]

La construcción más simple es la imagen de una esfera centrada en el origen debajo del mapa. Esto da una fórmula implícita de ${\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy).}$

${\displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$

Además, tomando una parametrización de la esfera en términos de longitud ( θ ) y latitud ( φ ), se obtienen ecuaciones paramétricas para la superficie romana de la siguiente manera:

${\displaystyle x=r^{2}\cos \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r^{2}\cos \theta \sin \theta \cos ^{2}\varphi }$

El origen es un punto triple, y cada uno de los planos xy , yz y xz son tangenciales a la superficie de allí. Los otros lugares de autointersección son puntos dobles, que definen segmentos a lo largo de cada eje de coordenadas que terminan en seis puntos de pellizco. Toda la superficie tiene simetría tetraédrica . Se trata de un tipo particular (llamado tipo 1) de superficie de Steiner, es decir, una proyección lineal tridimensional de la superficie de Veronese .

Derivación de fórmula implícita

Por simplicidad consideramos sólo el caso r = 1. Dada la esfera definida por los puntos ( x , y , z ) tal que

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

aplicamos a estos puntos la transformación T definida por digamos. ${\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$

Pero luego tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}}$

y así como se desee. ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,}$

Por el contrario , supongamos que tenemos ( U , V , W ) que satisfacen

(*) ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0.\,}$

Probamos que existe ( x , y , z ) tal que

(**) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

para cual ${\displaystyle U=xy,V=yz,W=zx,\,}$

con una excepción: En el caso 3.b. A continuación mostramos que esto no se puede probar.

1. En el caso de que ninguno de U , V , W sea 0, podemos establecer

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {WU}{V}}},\ y={\sqrt {\frac {UV}{W}}},\ z={\sqrt {\frac {VW}{U}}}.\,}$

(Tenga en cuenta que (*) garantiza que los tres U, V, W son positivos o que exactamente dos son negativos. Entonces, estas raíces cuadradas son de números positivos).

Es fácil de usar (*) para confirmar que (**) es válido para x , y , z definido de esta manera.

2. Supongamos que W es 0. De (*) esto implica ${\displaystyle U^{2}V^{2}=0\,}$

y por tanto al menos uno de U , V debe ser 0 también. Esto muestra que es imposible que exactamente uno de U , V , W sea 0.

3. Supongamos que exactamente dos de U , V , W son 0. Sin pérdida de generalidad , asumimos

(***) ${\displaystyle U\neq 0,V=W=0.\,}$

Resulta que ${\displaystyle z=0,\,}$

(ya que implica eso y por lo tanto contradice (***).) ${\displaystyle z\neq 0,\,}$ ${\displaystyle x=y=0,\,}$ ${\displaystyle U=0,\,}$

a. En el subcaso donde

${\displaystyle |U|\leq {\frac {1}{2}},}$

si determinamos x e y por

${\displaystyle x^{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}}}$

y ${\displaystyle y^{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}},}$

esto asegura que (*) se mantenga. Es fácil comprobar que ${\displaystyle x^{2}y^{2}=U^{2},\,}$

y por lo tanto , elegir los signos de xey adecuadamente garantizará ${\displaystyle xy=U.\,}$

ya que también ${\displaystyle yz=0=V{\text{ and }}zx=0=W,\,}$

esto muestra que este subcaso conduce al inverso deseado.

b. En este subcaso restante del caso 3. , tenemos ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}.}$

Desde ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\,}$

es fácil comprobarlo ${\displaystyle xy\leq {\frac {1}{2}},}$

y así en este caso, donde ${\displaystyle |U|>1/2,\ V=W=0,}$

no hay ningún ( x , y , z ) satisfactorio ${\displaystyle U=xy,\ V=yz,\ W=zx.}$

De ahí las soluciones ( U , 0, 0) de la ecuación (*) con ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}}$

y asimismo, (0, V , 0) con ${\displaystyle |V|>{\frac {1}{2}}}$

y (0, 0, W ) con ${\displaystyle |W|>{\frac {1}{2}}}$

(cada uno de los cuales es una porción no compacta de un eje de coordenadas, en dos pedazos) no corresponden a ningún punto de la superficie romana .

4. Si ( U , V , W ) es el punto (0, 0, 0), entonces si dos de x , y , z son cero y el tercero tiene valor absoluto 1, claramente como se desea. ${\displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,}$

Esto cubre todos los casos posibles.

Derivación de ecuaciones paramétricas.

Sea una esfera que tenga radio r , longitud φ y latitud θ . Entonces sus ecuaciones paramétricas son

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\sin \theta .}$

Luego, aplicando la transformación T a todos los puntos de esta esfera se obtiene

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$

que son los puntos de la superficie romana. Sea φ un rango de 0 a 2π, y sea θ un rango de 0 a π/2 .

Relación con el plano proyectivo real

La esfera, antes de transformarse, no es homeomorfa con respecto al plano proyectivo real, RP ² . Pero la esfera centrada en el origen tiene la propiedad de que si el punto (x,y,z) pertenece a la esfera, también lo es el punto antípoda (-x,-y,-z) y estos dos puntos son diferentes: se encuentran en lados opuestos del centro de la esfera.

La transformación T convierte ambos puntos antípodas en el mismo punto,

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),}$

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).}$

Dado que esto es cierto para todos los puntos de S ² , entonces está claro que la superficie romana es una imagen continua de una "esfera módulo antípodas". Debido a que algunos pares distintos de antípodas se llevan a puntos idénticos en la superficie romana, no es homeomorfo a RP ² , sino que es un cociente del plano proyectivo real RP ² = S ² / (x~-x) . Además, la aplicación T (arriba) desde S ² hasta este cociente tiene la propiedad especial de que es localmente inyectiva lejos de seis pares de puntos antípodas. O desde RP ² el mapa resultante hace que esto sea una inmersión de RP ² (menos seis puntos) en 3 espacios.

Estructura de la superficie romana

La superficie romana tiene cuatro "lóbulos" bulbosos, cada uno en una esquina diferente de un tetraedro.

Se puede construir una superficie romana empalmando tres paraboloides hiperbólicos y luego suavizando los bordes según sea necesario para que se ajuste a la forma deseada (por ejemplo, parametrización).

Sean estos tres paraboloides hiperbólicos:

• x = yz ,
• y = zx ,
• z = xy .

Estos tres paraboloides hiperbólicos se cruzan externamente a lo largo de los seis bordes de un tetraedro e internamente a lo largo de los tres ejes. Las intersecciones internas son lugares de puntos dobles. Los tres lugares geométricos de puntos dobles: x = 0, y = 0 y z = 0, se cruzan en un punto triple en el origen .

Por ejemplo, dado x = yz e y = zx , el segundo paraboloide es equivalente a x = y / z . Entonces

${\displaystyle yz={y \over z}}$

y y = 0 o z ² = 1 de modo que z = ±1. Sus dos intersecciones externas son

• x = y , z = 1;
• x = − y , z = −1.

Asimismo, las otras intersecciones externas son

• x = z , y = 1;
• x = − z , y = −1;
• y = z , x = 1;
• y = − z , x = −1.

Veamos cómo se juntan las piezas. Une los paraboloides y = xz y x = yz . El resultado se muestra en la Figura 1.

Figura 1.

El paraboloide y = xz se muestra en azul y naranja. El paraboloide x = yz se muestra en cian y violeta. En la imagen se ve que los paraboloides se cruzan a lo largo del eje z = 0 . Si los paraboloides están extendidos, también se debe ver que se cruzan a lo largo de las líneas

• z = 1, y = x ;
• z = −1, y = − x .

Los dos paraboloides juntos parecen un par de orquídeas unidas espalda con espalda.

Ahora pasa el tercer paraboloide hiperbólico, z = xy , a través de ellos. El resultado se muestra en la Figura 2.

Figura 2.

En las direcciones oeste-suroeste y este-noreste en la Figura 2 hay un par de aberturas. Estas aberturas son lóbulos y deben cerrarse. Cuando se cierran las aberturas, el resultado es la superficie romana que se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Superficie romana.

Se puede ver un par de lóbulos en las direcciones Oeste y Este de la Figura 3. Otro par de lóbulos están ocultos debajo del tercer paraboloide ( z = xy ) y se encuentran en las direcciones Norte y Sur.

Si los tres paraboloides hiperbólicos que se cruzan se dibujan lo suficientemente lejos como para que se crucen a lo largo de los bordes de un tetraedro, entonces el resultado es el que se muestra en la Figura 4.

Figura 4.

Uno de los lóbulos se ve frontalmente (de frente) en la Figura 4. Se puede ver que el lóbulo es una de las cuatro esquinas del tetraedro.

Si la superficie continua de la Figura 4 tiene sus bordes afilados redondeados (suavizados), entonces el resultado es la superficie romana de la Figura 5.

Uno de los lóbulos de la superficie romana se ve frontalmente en la Figura 5, y su forma bulbosa –como un globo– es evidente.

Si la superficie de la Figura 5 se gira 180 grados y luego se pone boca abajo, el resultado es el que se muestra en la Figura 6.

Figura 6. Superficie romana.

La figura 6 muestra tres lóbulos vistos de lado. Entre cada par de lóbulos hay un lugar geométrico de puntos dobles correspondientes a un eje de coordenadas. Los tres loci se cruzan en un punto triple en el origen. El cuarto lóbulo está oculto y apunta en la dirección directamente opuesta al espectador. La superficie romana que se muestra en la parte superior de este artículo también tiene tres lóbulos en vista lateral.

Unilateralidad

La superficie romana no es orientable , es decir, unilateral. Esto no es del todo obvio. Para ver esto, mire nuevamente la Figura 3.

Imagine una hormiga encima del "tercer" paraboloide hiperbólico , z = xy . Deja que esta hormiga se mueva hacia el norte. A medida que se mueve, atravesará los otros dos paraboloides, como un fantasma atravesando una pared. Estos otros paraboloides sólo parecen obstáculos debido a la naturaleza de intersección de la inmersión. Deje que la hormiga ignore todos los puntos dobles y triples y los atraviese. Entonces la hormiga se mueve hacia el Norte y cae del borde del mundo, por así decirlo. Ahora se encuentra en el lóbulo norte, escondido debajo del tercer paraboloide de la Figura 3. La hormiga está parada boca abajo, en el "exterior" de la superficie romana.

Deja que la hormiga se mueva hacia el suroeste. Subirá una pendiente (al revés) hasta encontrarse "dentro" del lóbulo occidental. Ahora deje que la hormiga se mueva en dirección sureste a lo largo del interior del lóbulo occidental hacia el eje z = 0 , siempre por encima del plano xy . Tan pronto como pase por el eje z = 0, la hormiga estará en el "exterior" del lóbulo oriental, colocándose boca arriba.

Luego déjelo moverse hacia el norte, sobre "la colina", luego hacia el noroeste para que comience a deslizarse hacia el eje x = 0 . Tan pronto como la hormiga cruce este eje se encontrará "dentro" del lóbulo norte, de pie hacia arriba. Ahora deja que la hormiga camine hacia el Norte. Subirá por la pared y luego por el "techo" del lóbulo norte. La hormiga está de nuevo en el tercer paraboloide hiperbólico, pero esta vez debajo y boca abajo. (Compárese con la botella de Klein ).

Puntos dobles, triples y de pellizco.

La superficie romana tiene cuatro "lóbulos". Los límites de cada lóbulo son un conjunto de tres líneas de puntos dobles. Entre cada par de lóbulos hay una línea de puntos dobles. La superficie tiene en total tres líneas de puntos dobles, que se encuentran (en la parametrización dada anteriormente) en los ejes de coordenadas. Las tres líneas de puntos dobles se cruzan en un punto triple que se encuentra en el origen. La punta triple corta las líneas de puntas dobles en un par de medias líneas, y cada media línea se encuentra entre un par de lóbulos. De las afirmaciones anteriores se podría esperar que pudiera haber hasta ocho lóbulos, uno en cada octante del espacio que ha sido dividido por los planos coordenados. Pero los lóbulos ocupan octantes alternos: cuatro octantes están vacíos y cuatro están ocupados por lóbulos.

Si la superficie romana se inscribiera dentro del tetraedro con el menor volumen posible, se encontraría que cada arista del tetraedro es tangente a la superficie romana en un punto, y que cada uno de estos seis puntos resulta ser una singularidad de Whitney . Todas estas singularidades, o puntos de pellizco, se encuentran en los bordes de las tres líneas de puntos dobles y están definidas por esta propiedad: que no hay ningún plano tangente a ninguna superficie en la singularidad.

Ver también

• La superficie del niño : una inmersión del plano proyectivo sin cruces.
• Tetrahemihexaedro : un poliedro muy similar a la superficie romana.

Referencias

1. Coffman, Adán. "Superficies romanas de Steiner". Banco Nacional de la Curva . Universidad de Indiana - Universidad Purdue Fort Wayne.

Referencias generales

• A. Coffman, A. Schwartz y C. Stanton: el álgebra y la geometría de Steiner y otras superficies cuadráticamente parametrizables . En Diseño geométrico asistido por computadora (3) 13 (abril de 1996), pág. 257-286
• Bert Jüttler, Ragni Piene: modelado geométrico y geometría algebraica . Springer 2008, ISBN 978-3-540-72184-0 , pág. 30 ( copia restringida en línea , p. 30, en Google Books ) 

enlaces externos

• A. Coffman, " Superficies Steiner"
• Weisstein, Eric W. "Superficie romana". MundoMatemático .
• Superficies romanas en el National Curve Bank (sitio web de la Universidad Estatal de California)
• Ashay Dharwadker, Heptaedro y superficie romana, modelos de geometría electrónica, 2004.