Morfismo de esquemas

En geometría algebraica, un morfismo de esquemas generaliza un morfismo de variedades algebraicas del mismo modo que un esquema generaliza una variedad algebraica . Es, por definición, un morfismo en la categoría de esquemas.

Un morfismo de pilas algebraicas generaliza un morfismo de esquemas.

Definición

Por definición, un morfismo de esquemas es simplemente un morfismo de espacios localmente anillados .

Un esquema, por definición, tiene gráficos afines abiertos y, por lo tanto, un morfismo de esquemas también se puede describir en términos de dichos gráficos (compárese con la definición de morfismo de variedades ). ^[1] Sea ƒ: X → Y un morfismo de esquemas. Si x es un punto de X , dado que ƒ es continua, hay subconjuntos afines abiertos U = Spec A de X que contienen x y V = Spec B de Y tales que ƒ( U ) ⊆ V . Entonces ƒ: U → V es un morfismo de esquemas afines y, por lo tanto, es inducido por algún homomorfismo de anillo B → A (cf. caso #Affine). De hecho, se puede utilizar esta descripción para "definir" un morfismo de esquemas; se dice que ƒ: X → Y es un morfismo de esquemas si es inducido localmente por homomorfismos de anillos entre anillos de coordenadas de gráficos afines.

• Nota : No sería deseable definir un morfismo de esquemas como un morfismo de espacios anillados. Una razón trivial es que existe un ejemplo de morfismo de espacios anillados entre esquemas afines que no es inducido por un homomorfismo de anillos (por ejemplo, ^[2] un morfismo de espacios anillados:

  ${\displaystyle \operatorname {Spec} k(x)\to \operatorname {Spec} k[y]_{(y)}=\{\eta =(0),s=(y)\}}$

que envía el punto único a s y que viene con .) Más conceptualmente, la definición de un morfismo de esquemas necesita capturar la "naturaleza local de Zariski" o localización de anillos ; ^[3] este punto de vista (es decir, un espacio anillado local) es esencial para una generalización (topos). ${\displaystyle k[y]_{(y)}\to k(x),\,y\mapsto x}$

Sea f  : X → Y un morfismo de esquemas con . Entonces, para cada punto x de X , el homomorfismo en los tallos: ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

es un homomorfismo de anillo local : es decir, y por lo tanto induce un homomorfismo inyectivo de campos residuales ${\displaystyle \phi ({\mathfrak {m}}_{f(x)})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}}$

${\displaystyle \phi :k(f(x))\hookrightarrow k(x)}$.

(De hecho, φ asigna la n -ésima potencia de un ideal máximo a la n -ésima potencia del ideal máximo y, por lo tanto, induce el mapa entre los espacios cotangentes (de Zariski) .

Para cada esquema X , existe un morfismo natural

${\displaystyle \theta :X\to \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),}$

que es un isomorfismo si y sólo si X es afín; θ se obtiene pegando U → objetivo que proviene de restricciones para abrir subconjuntos afines U de X . Este hecho también se puede expresar de la siguiente manera: para cualquier esquema X y un anillo A , existe una biyección natural:

${\displaystyle \operatorname {Mor} (X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} (A,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

(Prueba: el mapa de derecha a izquierda es la biyección requerida. En resumen, θ es una conjunción). ${\displaystyle \phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta }$

Además, este hecho (relación adjunta) se puede utilizar para caracterizar un esquema afín : un esquema X es afín si y sólo si para cada esquema S , el mapa natural

${\displaystyle \operatorname {Mor} (S,X)\to \operatorname {Hom} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))}$

es biyectivo. ^[4] (Prueba: si los mapas son biyectivos, entonces y X es isomorfo según el lema de Yoneda ; lo contrario es claro). ${\displaystyle \operatorname {Mor} (-,X)\simeq \operatorname {Mor} (-,\operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Un morfismo como esquema relativo.

Fijar un esquema S , llamado esquema base . Entonces un morfismo se llama esquema sobre S o esquema S ; la idea de la terminología es que es un esquema X junto con un mapa del esquema base S. Por ejemplo, un paquete de vectores E → S sobre un esquema S es un S -esquema. ${\displaystyle p:X\to S}$

Un S -morfismo de p : X → S a q : Y → S es un morfismo ƒ: X → Y de esquemas tales que p = q ∘ ƒ. Dado un esquema S , viendo S como un esquema S sobre sí mismo a través del mapa de identidad, un morfismo S se llama sección S o simplemente sección . ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S\to X}$

Todos los esquemas S forman una categoría: un objeto en la categoría es un esquema S y un morfismo en la categoría un morfismo S. (En resumen, esta categoría es la categoría de sector de la categoría de esquemas con el objeto base S ).

caso afín

Sea un homomorfismo de anillo y sea ${\displaystyle \varphi :B\to A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{a}:\operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} B,\\{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\end{cases}}}$

ser el mapa inducido. Entonces

• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$es continuo. ^[5]
• Si es sobreyectivo, entonces es un homeomorfismo sobre su imagen. ^[6] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{a}}$
• Para cada ideal I de A , ^[7] ${\displaystyle {\overline {\varphi ^{a}(V(I))}}=V(\varphi ^{-1}(I)).}$
• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$tiene imagen densa si y sólo si el núcleo de consta de elementos nilpotentes. (Prueba: la fórmula anterior con I = 0.) En particular, cuando B se reduce, tiene imagen densa si y sólo si es inyectiva. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{a}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Sea f : Spec A → Spec B un morfismo de esquemas entre esquemas afines con el mapa de retroceso : B → A. Que sea un morfismo de espacios anillados localmente se traduce en la siguiente afirmación: si es un punto de la especificación A , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x={\mathfrak {p}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{f(x)}=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}_{x})}$.

(Prueba: En general, consta de g en A que tiene imagen cero en el campo residuo k ( x ); es decir, tiene la imagen en el ideal máximo . Así, trabajando en los anillos locales, . Si , entonces es un elemento unitario y también lo es un elemento unitario.) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle g(f(x))=0\Rightarrow \varphi (g)\in \varphi ({\mathfrak {m}}_{f(x))})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}\Rightarrow g\in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$ ${\displaystyle g(f(x))\neq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \varphi (g)}$

Por lo tanto, cada homomorfismo de anillo B → A define un morfismo de esquemas Spec A → Spec B y, a la inversa, todos los morfismos entre ellos surgen de esta manera.

Ejemplos

Los básicos

• Sea R un campo o Para cada R -álgebra A , especificar un elemento de A , digamos f en A , es dar un homomorfismo de R -álgebra tal que . De este modo, . Si X es un esquema sobre S = Spec R , entonces tomando y usando el hecho de que Spec es un adjunto derecho al funtor de sección global, obtenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle R[t]\to A}$ ${\displaystyle t\mapsto f}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Hom} _{R-{\text{alg}}}(R[t],A)}$ ${\displaystyle A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
  $${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {A} _{S}^{1})}$$
  dónde . Tenga en cuenta que la igualdad es la de los anillos. ${\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}$
• De manera similar, para cualquier S -esquema X , existe la identificación de los grupos multiplicativos:
  $${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {G} _{m})}$$
  ¿Dónde está el esquema de grupo multiplicativo? ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} (R[t,t^{-1}])}$
• Muchos ejemplos de morfismos provienen de familias parametrizadas por algún espacio base. Por ejemplo,
  $${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y][a,b,c]}{(ax^{2}+bxy+cy^{2})}}\right)\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [a,b,c])=\mathbb {P} _{a,b,c}^{2}}$$
  es un morfismo proyectivo de variedades proyectivas donde el espacio base parametriza cuádricas en . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Morfismo gráfico

Dado un morfismo de esquemas sobre un esquema S , el morfismo inducido por la identidad y f se llama morfismo gráfico de f . El morfismo gráfico de la identidad se llama morfismo diagonal . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$ ${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$

Tipos de morfismos

tipo finito

Los morfismos de tipo finito son una de las herramientas básicas para construir familias de variedades. Un morfismo es de tipo finito si existe una cubierta tal que las fibras puedan cubrirse mediante un número finito de esquemas afines que convierten los morfismos de anillo inducidos en morfismos de tipo finito . Un ejemplo típico de morfismo de tipo finito es una familia de esquemas. Por ejemplo, ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A_{i})\to S}$ ${\displaystyle X\times _{S}\operatorname {Spec} (A_{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B_{ij})}$ ${\displaystyle A_{i}\to B_{ij}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{(x^{n}+zy^{n},z^{5}-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [z]}{(z^{5}-1)}}\right)}$

es un morfismo de tipo finito. Un simple no ejemplo de morfismo de tipo finito es dónde hay un campo. Otra es una unión infinita y disjunta. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]))\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \coprod ^{\infty }X\to X}$

inmersión cerrada

Un morfismo de esquemas es una inmersión cerrada si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle i:Z\to X}$

1. ${\displaystyle i}$define un homeomorfismo de sobre su imagen ${\displaystyle Z}$
2. ${\displaystyle i^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$es sobreyectivo

Esta condición es equivalente a lo siguiente: dado un abierto afín existe un ideal tal que ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=U\subseteq X}$ ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle i^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$

Ejemplos

Por supuesto, cualquier cociente (calificado) define un subesquema de ( ). Considere el esquema cuasi afín y el subconjunto del eje contenido en . Entonces, si tomamos el subconjunto abierto, la gavilla ideal es mientras que en el afín abierto no hay ideal ya que el subconjunto no intersecta este gráfico. ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,y^{-1}])}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,x^{-1}])}$

Apartado

Los morfismos separados definen familias de esquemas que son "Hausdorff". Por ejemplo, dado un morfismo separado en los espacios analíticos asociados, ambos son Hausdorff. Decimos que un morfismo de esquema está separado si el morfismo diagonal es una inmersión cerrada. En topología, una condición análoga para que un espacio sea Hausdorff es si el conjunto diagonal ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )^{an}\to S(\mathbb {C} )^{an}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle \Delta _{X/S}:X\to X\times _{S}X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\in X\times X\}}$

es un subconjunto cerrado de . Sin embargo, la mayoría de los esquemas no son Hausdorff como espacios topológicos, ya que la topología de Zariski en general no es Hausdorff. ${\displaystyle X\times X}$

Ejemplos

Se separarán la mayoría de los morfismos encontrados en la teoría de esquemas. Por ejemplo, considere el esquema afín

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

terminado Dado que el esquema del producto es ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ).}$

${\displaystyle X\times _{\mathbb {C} }X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

el ideal que define la diagonal es generado por

${\displaystyle x\otimes 1-1\otimes x,y\otimes 1-1\otimes y}$

mostrando que el esquema diagonal es afín y cerrado. Este mismo cálculo se puede utilizar para mostrar que los esquemas proyectivos también están separados.

No ejemplos

El único momento en el que se debe tener cuidado es cuando se unen una familia de esquemas. Por ejemplo, si tomamos el diagrama de inclusiones

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\\&\searrow &\\&&\operatorname {Spec} (R[x])\\&\nearrow &\\\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\end{matrix}}}$

entonces obtenemos el análogo teórico de esquemas de la línea clásica con dos orígenes.

Adecuado

Un morfismo se llama propio si ${\displaystyle f:X\to S}$

1. esta separado
2. de tipo finito
3. universalmente cerrado

La última condición significa que dado un morfismo, el morfismo de cambio de base es una inmersión cerrada. La mayoría de los ejemplos conocidos de morfismos propios son, de hecho, proyectivos; pero se pueden encontrar ejemplos de variedades propias que no son proyectivas utilizando la geometría tórica . ${\displaystyle S'\to S}$ ${\displaystyle S'\times _{S}X}$

Descriptivo

Los morfismos proyectivos definen familias de variedades proyectivas sobre un esquema de base fija. Tenga en cuenta que hay dos definiciones: Hartshornes que establece que un morfismo se llama proyectivo si existe una inmersión cerrada y la definición de EGA que establece que un esquema es proyectivo si hay un módulo cuasi coherente de tipo finito tal que hay un inmersión cerrada . La segunda definición es útil porque se puede utilizar una secuencia exacta de módulos para definir morfismos proyectivos. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle X\in {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$

Morfismo proyectivo sobre un punto

Un morfismo proyectivo define un esquema proyectivo. Por ejemplo, ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

define una curva proyectiva de género sobre . ${\displaystyle (n-1)(n-1)/2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Familia de hipersuperficies proyectivas

Si dejamos entonces el morfismo proyectivo ${\displaystyle S=\mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{S}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}{\left(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-tx_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\right)}}\right)\to S}$

define una familia de variedades de Calabi-Yau que degeneran.

lápiz lefschetz

Otra clase útil de ejemplos de morfismos proyectivos son los lápices de Lefschetz: son morfismos proyectivos sobre algún campo . Por ejemplo, dadas hipersuperficies suaves definidas por polinomios homogéneos, existe un morfismo proyectivo ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} _{k}^{1}=\operatorname {Proj} (k[s,t])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}\subseteq \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{\mathbb {P} ^{1}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf_{1}+tf_{2})}}\right)\to \mathbb {P} ^{1}}$

dando el lápiz.

EGA proyectivo

Un buen ejemplo clásico de un esquema proyectivo es la construcción de morfismos proyectivos que se factorizan a través de pergaminos racionales. Por ejemplo, tomemos y el paquete de vectores . Esto se puede utilizar para construir un paquete sobre . Si queremos construir un morfismo proyectivo usando este haz, podemos tomar una secuencia exacta, como ${\displaystyle S=\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}(-d)\oplus {\mathcal {O}}_{S}(-e)\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

que define la estructura del haz del esquema proyectivo en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}}).}$

Departamento

Intuición

Los morfismos planos tienen una definición algebraica pero una interpretación geométrica muy concreta: las familias planas corresponden a familias de variedades que varían "continuamente". Por ejemplo,

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{(xy-t))}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

es una familia de curvas cuádricas afines suaves que degeneran al divisor de cruce normal

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\right)}$

Al origen.

Propiedades

Una propiedad importante que debe satisfacer un morfismo plano es que las dimensiones de las fibras deben ser las mismas. Un simple no ejemplo de morfismo plano es una explosión, ya que las fibras son puntos o copias de algunos . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Definición

Sea un morfismo de esquemas. Decimos que es plano en un punto si el morfismo inducido produce un funtor exacto. Entonces, es plano si es plano en cada punto de . También es fielmente plano si se trata de un morfismo sobreyectivo. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f(x)}\to {\mathcal {O}}_{x}}$ ${\displaystyle -\otimes _{{\mathcal {O}}_{f(x)}}{\mathcal {O}}_{x}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Sin ejemplo

Usando nuestra intuición geométrica, es obvio que

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

no es plano ya que la fibra que está encima está con el resto de fibras son solo un punto. Pero también podemos verificar esto usando la definición con álgebra local: Considere el ideal Ya que obtenemos un morfismo de álgebra local ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy)).}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {p}})=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}:\left(\mathbb {C} [x]\right)_{(x)}\to \left(\mathbb {C} [x,y]/(xy)\right)_{(x)}}$

si tensorizamos

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [x]_{(x)}{\overset {\cdot x}{\longrightarrow }}\mathbb {C} [x]_{(x)}}$

con el mapa ${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy)))_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

tiene un kernel distinto de cero debido a la desaparición de . Esto muestra que el morfismo no es plano. ${\displaystyle xy}$

no ramificado

Un morfismo de esquemas afines no está ramificado si . Podemos usar esto para el caso general de un morfismo de esquemas . Decimos que no está ramificado en si hay una vecindad abierta afín y una vecindad abierta afín tal que y Entonces, el morfismo no está ramificado si no está ramificado en todos los puntos de . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle \Omega _{U/V}=0.}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplo geométrico

Un ejemplo de un morfismo que es plano y genéricamente no ramificado, excepto en un punto, es

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

Podemos calcular los diferenciales relativos usando la secuencia

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\otimes _{\mathbb {C} [t]}\mathbb {C} [t]dt\to \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dt\oplus {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(nx^{n-1}dx-dt)\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

demostración

${\displaystyle \Omega _{X/Y}\cong \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\neq 0}$

si tomamos la fibra , entonces el morfismo se ramifica ya que ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \Omega _{X_{0}/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{x^{n}}}dx\right)/(x^{n-1}dx)}$

de lo contrario tenemos

${\displaystyle \Omega _{X_{\alpha }/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{n}-\alpha )}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(\alpha )}}dx\cong 0}$

demostrando que no tiene ramificaciones en ningún otro lugar.

Etale

Un morfismo de esquemas se llama étale si es plano y no ramificado. Estos son el análogo álgebro-geométrico de cubrir espacios. Los dos ejemplos principales en los que pensar son los espacios cubriendo y las extensiones de campos finitos separables. Se pueden construir ejemplos en el primer caso observando las coberturas ramificadas y restringiéndolos al locus no ramificado. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Morfismos como puntos

Por definición, si X , S son esquemas (sobre algún esquema base o anillo B ), entonces un morfismo de S a X (sobre B ) es un punto S de X y se escribe:

${\displaystyle X(S)=\{f\mid f:S\to X{\text{ over }}B\}}$

para el conjunto de todos los S -puntos de X . Esta noción generaliza la noción de soluciones a un sistema de ecuaciones polinómicas en geometría algebraica clásica. De hecho, sea X = Spec( A ) con . Para un B -álgebra R , dar un R -punto de X es dar un homomorfismo de álgebra A → R , lo que a su vez equivale a dar un homomorfismo ${\displaystyle A=B[t_{1},\dots ,t_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$

${\displaystyle B[t_{1},\dots ,t_{n}]\to R,\,t_{i}\mapsto r_{i}}$

eso mata a los f _i . Así, existe una identificación natural:

${\displaystyle X(\operatorname {Spec} R)=\{(r_{1},\dots ,r_{n})\in R^{n}|f_{1}(r_{1},\dots ,r_{n})=\cdots =f_{m}(r_{1},\dots ,r_{n})=0\}.}$

Ejemplo : si X es un esquema S con mapa de estructura π: X → S , entonces un punto S de X (sobre S ) es lo mismo que una sección de π.

En teoría de categorías , el lema de Yoneda dice que, dada una categoría C , el funtor contravariante

${\displaystyle C\to {\mathcal {P}}(C)=\operatorname {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Sets} ),\,X\mapsto \operatorname {Mor} (-,X)}$

es totalmente fiel (donde significa la categoría de presheaves en C ). Aplicando el lema a C = la categoría de esquemas sobre B , esto dice que un esquema sobre B está determinado por sus diversos puntos. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(C)}$

Resulta que, de hecho, es suficiente considerar S -puntos solo con esquemas afines S , precisamente porque los esquemas y morfismos entre ellos se obtienen pegando esquemas y morfismos afines entre ellos. Debido a esto, generalmente se escribe X ( R ) = X (Spec R ) y se ve X como un functor de la categoría de álgebras B conmutativas a Conjuntos .

Ejemplo : dados S -esquemas X , Y con mapas de estructura p , q ,

${\displaystyle (X\times _{S}Y)(R)=X(R)\times _{S(R)}Y(R)=\{(x,y)\in X(R)\times Y(R)\mid p(x)=q(y)\}}$.

Ejemplo : con B todavía denotando un anillo o esquema, para cada B -esquema X , hay una biyección natural

${\displaystyle \mathbf {P} _{B}^{n}(X)=}${ las clases de isomorfismo de paquetes de líneas L en X junto con n + 1 secciones globales que generan L . };

de hecho, las secciones si de _L definen un morfismo . (Ver también Construcción de proyectos#Proyecto global ). ${\displaystyle X\to \mathbf {P} _{B}^{n},\,x\mapsto (s_{0}(x):\dots :s_{n}(x))}$

Observación : El punto de vista anterior (que recibe el nombre de funtor de puntos y se debe a Grothendieck) ha tenido un impacto significativo en los fundamentos de la geometría algebraica. Por ejemplo, trabajar con un (pseudo)functor valorado por categoría en lugar de un funtor valorado por conjunto conduce a la noción de pila , que permite realizar un seguimiento de los morfismos entre puntos.

mapa racional

Un mapa racional de esquemas se define de la misma manera para las variedades. Por lo tanto, un mapa racional de un esquema reducido X a un esquema separado Y es una clase de equivalencia de un par que consta de un subconjunto denso abierto U de X y un morfismo . Si X es irreducible, una función racional sobre X es, por definición, una aplicación racional de X a la recta afín o la recta proyectiva. ${\displaystyle (U,f_{U})}$ ${\displaystyle f_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$

Un mapa racional es dominante si y sólo si envía el punto genérico al punto genérico. ^[8]

Un homomorfismo de anillo entre campos funcionales no necesita inducir un mapa racional dominante (ni siquiera un mapa racional). ^[9] Por ejemplo, Spec k [ x ] y Spec k ( x ) y tienen el mismo campo de función (es decir, k ( x )) pero no existe una aplicación racional del primero al segundo. Sin embargo, es cierto que cualquier inclusión de campos funcionales de variedades algebraicas induce un mapa racional dominante (ver morfismo de variedades algebraicas#Propiedades ).

Ver también

• Incrustación regular
• Conjunto construible (topología)
• Homeomorfismo universal

Notas

1. Vakil 2014, Ejercicio 6.3.C.
2. Vakil 2014, Ejercicio 6.2.E.
3. Geometría algebraica derivada V: espacios estructurados (PDF) , 22 de febrero de 2011, § 1.
4. Grothendieck y Dieudonné 1960, cap. I, Corolario 1.6.4.
5. Prueba: para todo f en A. ${\displaystyle {\varphi ^{a}}^{-1}(D(f))=D(\varphi (f))}$
6. Grothendieck y Dieudonné 1960, cap. I, Corolario 1.2.4.
7. Grothendieck y Dieudonné 1960, cap. Yo, 1.2.2.3.
8. Vakil 2014, Ejercicio 6.5.A
9. Vakil 2014, un párrafo después del ejercicio 6.5.B

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Milne, Revisión de geometría algebraica en grupos algebraicos: la teoría de esquemas de grupos de tipo finito sobre un campo.
• Vakil, Ravi (30 de diciembre de 2014), Fundamentos de la geometría algebraica (PDF) (borrador de edición)