En geometría , un punto real es un punto en el plano proyectivo complejo con coordenadas homogéneas ( x , y , z ) para el cual existe un número complejo distinto de cero λ tal que λx , λy y λz son todos números reales .
Esta definición se puede ampliar a un espacio proyectivo complejo de dimensión finita arbitraria de la siguiente manera:
son las coordenadas homogéneas de un punto real si existe un número complejo distinto de cero λ tal que las coordenadas de
son todos reales.
Un punto que no es real se llama punto imaginario . [1]
Las geometrías que son especializaciones de la geometría proyectiva real, como la geometría euclidiana , la geometría elíptica o la geometría conforme, pueden complejizarse , incrustando así los puntos de la geometría en un espacio proyectivo complejo, pero conservando la identidad del espacio real original como especial. Las líneas, planos, etc. se expanden a las líneas, etc. del espacio proyectivo complejo. Al igual que con la inclusión de puntos en el infinito y la complejización de polinomios reales, esto permite enunciar algunos teoremas de manera más simple sin excepciones y para un análisis algebraico más regular de la geometría.
Visto en términos de coordenadas homogéneas , un espacio vectorial real de coordenadas homogéneas de la geometría original se vuelve complejo. Un punto del espacio geométrico original está definido por una clase de equivalencia de vectores homogéneos de la forma λu , donde λ es un valor complejo distinto de cero y u es un vector real. Un punto de esta forma (y por lo tanto pertenece al espacio real original) se llama punto real , mientras que un punto que se ha agregado mediante la complejización y por lo tanto no tiene esta forma se llama punto imaginario .
Un subespacio de un espacio proyectivo es real si está atravesado por puntos reales. Cada punto imaginario pertenece exactamente a una recta real, la recta que pasa por el punto y su conjugado complejo . [1]
