Functor representado por un esquema

En geometría algebraica , un funtor representado por un esquema X es un funtor contravariante con valores conjuntos en la categoría de esquemas tal que el valor del funtor en cada esquema S es (hasta biyecciones naturales) el conjunto de todos los morfismos . Entonces se dice que el esquema X representa el funtor F y clasifica objetos geométricos sobre S dado por F . ^[1] ${\displaystyle S\to X}$

El ejemplo más conocido es el esquema de Hilbert de un esquema X (sobre algún esquema de base fija), que, cuando existe, representa un functor que envía un esquema S a una familia plana de subesquemas cerrados de . ^[2] ${\displaystyle X\times S}$

En algunas aplicaciones, puede que no sea posible encontrar un esquema que represente un funtor determinado. Esto llevó a la noción de pila , que no es exactamente un functor pero aún puede tratarse como si fuera un espacio geométrico. (Un esquema de Hilbert es un esquema, pero no una pila porque, en términos generales, la teoría de la deformación es más simple para esquemas cerrados).

Algunos problemas de módulos se resuelven dando soluciones formales (a diferencia de soluciones algebraicas polinómicas) y, en ese caso, el functor resultante está representado por un esquema formal . Entonces se dice que un esquema formal de este tipo es algebraizable si existe otro esquema que pueda representar el mismo funtor, salvo algunos isomorfismos.

Motivación

La noción es análoga a un espacio de clasificación en topología algebraica . En topología algebraica, el hecho básico es que cada paquete G principal sobre un espacio S es (hasta isomorfismos naturales ) el retroceso de un paquete universal a lo largo de algún mapa desde S hasta . En otras palabras, dar un paquete G principal sobre un espacio S es lo mismo que dar un mapa (llamado mapa de clasificación) desde un espacio S al espacio de clasificación de G. ${\displaystyle EG\to BG}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle BG}$

Un fenómeno similar en geometría algebraica viene dado por un sistema lineal : dar un morfismo de una variedad V a un espacio proyectivo equivale a dar un sistema lineal sin puntos de base en V. ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

El lema de Yoneda dice que un esquema X determina y está determinado por sus puntos. ^[3]

Funtor de puntos

Sea X un esquema . Su funtor de puntos es el funtor.

Hom(−, X ) : (Esquemas afines) ^op  ⟶ Conjuntos

enviando un esquema afín Y al conjunto de mapas de esquema . ^[4] ${\displaystyle Y\to X}$

Un esquema está determinado hasta el isomorfismo por su funtor de puntos. Esta es una versión más sólida del lema de Yoneda , que dice que a X está determinada por el mapa Hom(−, X ): Esquemas ^op  → Conjuntos.

Por el contrario, un funtor F  : (Esquemas afines) ^op  → Conjuntos es el funtor de puntos de algún esquema si y sólo si F es un haz con respecto a la topología de Zariski en (Esquemas afines), y F admite una cobertura abierta por esquemas afines . ^[5]

Ejemplos

Puntos como personajes

Sea X un esquema sobre el anillo base B. Si x es un punto teórico de conjuntos de X , entonces el campo residual es el campo residual del anillo local (es decir, el cociente por el ideal máximo). Por ejemplo, si X es un esquema afín Spec( A ) y x es un ideal primo , entonces el campo residual de x es el campo funcional del subesquema cerrado . ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {p}})}$

Para simplificar, supongamos . Entonces, la inclusión de un punto teórico de conjuntos x en X corresponde al homomorfismo de anillo: ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$

${\displaystyle A\to k(x)}$

(que es si .) ${\displaystyle A\to A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle x={\mathfrak {p}}}$

Puntos como secciones

Por la propiedad universal del producto de fibra , cada punto R de un esquema X determina un morfismo de los esquemas R

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\to X_{R}{\overset {\mathrm {def} }{=}}X\times _{\operatorname {Spec} (B)}\operatorname {Spec} (R)}$;

es decir, una sección de la proyección . Si S es un subconjunto de X ( R ), entonces se escribe para el conjunto de las imágenes de las secciones determinadas por elementos en S . ^[6] ${\displaystyle X_{R}\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle |S|\subset X_{R}}$

Especificaciones del anillo de números duales.

Sea , la especificación del anillo de números duales sobre un campo k y X un esquema sobre k . Entonces cada uno equivale al vector tangente a X en el punto que es la imagen del punto cerrado del mapa. ^[1] En otras palabras, es el conjunto de vectores tangentes a X. ${\displaystyle D=\operatorname {Spec} (k[t]/(t^{2}))}$ ${\displaystyle D\to X}$ ${\displaystyle X(D)}$

objeto universal

Sea F el functor representado por un esquema X. Bajo el isomorfismo , existe un elemento único que corresponde al mapa de identidad . Se llama objeto universal o familia universal (cuando los objetos que se están clasificando son familias). ^[1] ${\displaystyle F(X)\simeq \operatorname {Mor} (X,X)}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$

Ver también

• restricción de bienestar
• punto racional
• descenso por torsores .

Notas

1. Shafarevich 1994, cap. VI § 4.1.
2. Shafarevich 1994, cap. VI § 4.4.
3. De hecho, X está determinado por sus R -puntos con varios anillos R : en términos precisos, dados los esquemas X , Y , cualquier transformación natural del funtor al funtor determina un morfismo de los esquemas X → Y de forma natural. ${\displaystyle R\mapsto X(R)}$ ${\displaystyle R\mapsto Y(R)}$
4. El proyecto Stacks, 01J5
5. El funtor de puntos, lema de Yoneda, espacios de módulos y propiedades universales (Brian Osserman), Cor. 3.6
6. Esto parece una notación estándar; consulte, por ejemplo, "Dualidad nonabeliana de Poincaré en geometría algebraica (Conferencia 9)" (PDF) .

Referencias

• David Mumford (1999). El Libro Rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre las curvas y sus jacobianos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1358 (2ª ed.). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN 3-540-63293-X.
• Lurie, Jacob. "Conferencia 14: Existencia de reducciones de Borel (I)" (PDF) .
• Shafarevich, Igor (1994). Geometría algebraica básica, segunda edición revisada y ampliada, vol. 2 . Springer-Verlag.
• Shafarevich, Igor R. (2013). Geometría Algebraica Básica 2 . doi :10.1007/978-3-642-38010-5. ISBN 978-3-642-38009-9.

enlaces externos

• http://www.math.washington.edu/~zhang/Shanghai2011/Slides/ardakov.pdf