Por lo tanto, en términos del plano afín su ecuación es:
Una solución entera de la ecuación de Fermat correspondería a una solución racional distinta de cero de la ecuación afín, y viceversa. Pero gracias al último teorema de Fermat ahora se sabe que (para n > 2) no hay soluciones enteras no triviales de la ecuación de Fermat; por lo tanto, la curva de Fermat no tiene puntos racionales no triviales.
Esto significa género 0 para el caso n = 2 (una cónica ) y género 1 solo para n = 3 (una curva elíptica ). La variedad jacobiana de la curva de Fermat ha sido estudiada en profundidad. Es isógena a un producto de variedades abelianas simples con multiplicación compleja .
Las ecuaciones de estilo Fermat en más variables definen como variedades proyectivas las variedades de Fermat .
Estudios relacionados
Baker, Matthew; Gonzalez-Jimenez, Enrique; Gonzalez, Josep; Poonen, Bjorn (2005), "Resultados de finitud para curvas modulares de género al menos 2", American Journal of Mathematics , 127 (6): 1325–1387, arXiv : math/0211394 , doi :10.1353/ajm.2005.0037, JSTOR 40068023, S2CID 8578601
Gross, Benedict H.; Rohrlich, David E. (1978), "Algunos resultados sobre el grupo de Mordell-Weil del jacobiano de la curva de Fermat" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 44 (3): 201–224, doi :10.1007/BF01403161, S2CID 121819622, archivado desde el original (PDF) el 2011-07-13
Klassen, Mateo J.; Debarre, Olivier (1994), "Puntos de bajo grado en curvas planas suaves", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1994 (446): 81–88, arXiv : alg-geom/9210004 , doi :10.1515/crll.1994.446 .81, S2CID 7967465
