superficie K3

Tipo de superficie compleja lisa de kodaira dimensión 0

Una superficie cuartica lisa en 3 espacios. La figura muestra parte de los puntos reales (de dimensión real 2) en una determinada superficie compleja K3 (de dimensión compleja 2, por tanto, dimensión real 4).

En la segunda parte de nuestra relación, se agitan las variedades kählériennes dites K3, además de los nominados en honor de Kummer, Kähler, Kodaira y la bella montaña K2 au Cachemire.

En la segunda parte de mi informe, nos ocupamos de las variedades Kähler conocidas como K3, nombradas en honor de Kummer , Kähler , Kodaira y de la hermosa montaña K2 en Cachemira .

André Weil (1958, p. 546), describiendo el motivo del nombre "superficie K3"

En matemáticas , una superficie analítica compleja K3 es una variedad compleja conectada compacta de dimensión 2 con un paquete canónico trivial e irregularidad cero. Una superficie K3 (algebraica) sobre cualquier campo significa una superficie algebraica lisa y adecuada geométricamente conectada que satisface las mismas condiciones. En la clasificación de superficies Enriques-Kodaira , las superficies K3 forman una de las cuatro clases de superficies mínimas de dimensión cero de Kodaira . Un ejemplo sencillo es la superficie cuártica de Fermat.

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$

en 3 espacios proyectivos complejos .

Junto con los toros complejos compactos bidimensionales , las superficies K3 son las variedades Calabi-Yau (y también las variedades Hyperkähler ) de dimensión dos. Como tales, están en el centro de la clasificación de superficies algebraicas, entre las superficies de Del Pezzo curvadas positivamente (que son fáciles de clasificar) y las superficies curvadas negativamente de tipo general (que son esencialmente inclasificables). Las superficies K3 pueden considerarse las variedades algebraicas más simples cuya estructura no se reduce a curvas o variedades abelianas y, sin embargo, donde es posible una comprensión sustancial. Una superficie K3 compleja tiene una dimensión real de 4 y juega un papel importante en el estudio de 4 variedades suaves . Las superficies K3 se han aplicado a las álgebras de Kac-Moody , la simetría especular y la teoría de cuerdas .

Puede resultar útil pensar en las superficies K3 algebraicas complejas como parte de la familia más amplia de superficies K3 analíticas complejas. Muchos otros tipos de variedades algebraicas no tienen deformaciones no algebraicas.

Definición

Hay varias formas equivalentes de definir superficies K3. Las únicas superficies complejas compactas con paquete canónico trivial son las superficies K3 y los toros complejos compactos, por lo que se puede agregar cualquier condición excluyendo esta última para definir las superficies K3. Por ejemplo, es equivalente a definir una superficie analítica compleja K3 como una variedad compleja compacta simplemente conectada de dimensión 2 con una forma 2 holomorfa que no desaparece en ninguna parte . (La última condición dice exactamente que el paquete canónico es trivial).

También existen algunas variantes de la definición. Sobre los números complejos, algunos autores consideran sólo las superficies algebraicas K3. (Una superficie algebraica K3 es automáticamente proyectiva . ^[1] ) O se puede permitir que las superficies K3 tengan singularidades du Val (las singularidades canónicas de la dimensión 2), en lugar de ser suaves.

Cálculo de los números de Betti

Los números de Betti de una superficie K3 analítica compleja se calculan de la siguiente manera. ^[2] (Un argumento similar da la misma respuesta para los números de Betti de una superficie algebraica K3 sobre cualquier campo, definida usando cohomología l-ádica ). Por definición, el paquete canónico es trivial y la irregularidad q ( X ) (la dimensión del grupo de cohomología de gavilla coherente ) es cero. Por la dualidad de Serre , ${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{2}}$ ${\displaystyle h^{1}(X,O_{X})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X})}$

${\displaystyle h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.}$

Como resultado, el género aritmético (o característica holomorfa de Euler ) de X es:

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.}$

Por otro lado, el teorema de Riemann-Roch (fórmula de Noether) dice:

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),}$

¿Dónde está la i -ésima clase de Chern del paquete tangente ? Como es trivial, su primera clase Chern es cero, y así . ${\displaystyle c_{i}(X)}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)}$ ${\displaystyle c_{2}(X)=24}$

A continuación, la secuencia exponencial da una secuencia exacta de grupos de cohomología , y así . Así, el número de Betti es cero, y por dualidad de Poincaré , también es cero. Finalmente, es igual a la característica topológica de Euler. ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0}$ ${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )=0}$ ${\displaystyle b_{1}(X)}$ ${\displaystyle b_{3}(X)}$ ${\displaystyle c_{2}(X)=24}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}b_{i}(X).}$

Desde y , se deduce que . ^[3] ${\displaystyle b_{0}(X)=b_{4}(X)=1}$ ${\displaystyle b_{1}(X)=b_{3}(X)=0}$ ${\displaystyle b_{2}(X)=22}$

Propiedades

• Dos superficies analíticas K3 complejas cualesquiera son difeomorfas como 4 variedades suaves, por Kunihiko Kodaira . ^[4]
• Cada superficie analítica compleja K3 tiene una métrica de Kähler , de Yum-Tong Siu . ^[5] (De manera análoga, pero mucho más fácil: cada superficie algebraica K3 sobre un campo es proyectiva). Por la solución de Shing-Tung Yau a la conjetura de Calabi , se deduce que cada superficie analítica compleja K3 tiene una métrica de Kähler plana de Ricci .
• Los números de Hodge de cualquier superficie K3 se enumeran en el diamante de Hodge:

  Una forma de mostrar esto es calcular el ideal jacobiano de una superficie K3 específica y luego usar una variación de la estructura de Hodge en los módulos de las superficies algebraicas K3 para mostrar que todas esas superficies K3 tienen los mismos números de Hodge. Se puede realizar un cálculo más sencillo utilizando el cálculo de los números de Betti junto con las partes de la estructura de Hodge calculadas para una superficie K3 arbitraria. En este caso, la simetría de Hodge fuerza , por lo tanto . Para superficies K3 en la característica p > 0, esto fue demostrado por primera vez por Alexey Rudakov e Igor Shafarevich . ^[6] ${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{0}(X;\Omega _{X}^{2})\cong \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong \mathbb {C} ^{20}}$

• Para una superficie K3 analítica compleja X , la forma de intersección (o producto de copa ) es una forma bilineal simétrica con valores en números enteros, conocida como red K3 . Esto es isomorfo a la red unimodular par , o equivalentemente , donde U es la red hiperbólica de rango 2 y es la red E8 . ^[7] ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$ ${\displaystyle \operatorname {II} _{3,19}}$ ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$ ${\displaystyle E_{8}}$
• La conjetura 11/8 de Yukio Matsumoto predice que cada X de 4 variedades orientadas suavemente con forma de intersección par tiene un segundo número de Betti al menos 11/8 veces el valor absoluto de la firma . Esto sería óptimo si fuera cierto, ya que la igualdad se cumple para una superficie K3 compleja, que tiene una firma 3−19 = −16. La conjetura implicaría que cada 4-variedad suave simplemente conectada con forma de intersección par es homeomorfa a una suma conectada de copias de la superficie K3 y de . ^[8] ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$
• Toda superficie compleja que es difeomorfa con respecto a una superficie K3 es una superficie K3, de Robert Friedman y John Morgan . Por otro lado, existen superficies lisas complejas (algunas de ellas proyectivas) que son homeomorfas pero no difeomorfas a una superficie K3, de Kodaira y Michael Freedman . ^[9] Todas estas "superficies homotópicas K3" tienen dimensión Kodaira 1.

Ejemplos

• La doble cubierta X del plano proyectivo ramificado a lo largo de una curva sextica suave (grado 6) es una superficie K3 de género 2 (es decir, grado 2 g −2 = 2). (Esta terminología significa que la imagen inversa en X de un hiperplano general en es una curva suave de género 2.) ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$
• Una superficie cuartica lisa (grado 4) es una superficie K3 de género 3 (es decir, grado 4). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$
• Una superficie de Kummer es el cociente de una variedad abeliana bidimensional A por la acción . Esto da como resultado 16 singularidades, en los 2 puntos de torsión de A. La resolución mínima de esta superficie singular también puede denominarse superficie de Kummer; esa resolución es una superficie K3. Cuando A es el jacobiano de una curva de género 2, Kummer demostró que el cociente se puede incrustar como una superficie cuártica con 16 nodos . ${\displaystyle a\mapsto -a}$ ${\displaystyle A/(\pm 1)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$
• De manera más general: para cualquier superficie cuártica Y con singularidades de du Val, la resolución mínima de Y es una superficie algebraica K3.
• La intersección de una cuádrica y una cúbica es una superficie K3 de género 4 (es decir, grado 6). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$
• La intersección de tres cuádricas es una superficie K3 de género 5 (es decir, grado 8). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$
• Existen varias bases de datos de superficies K3 con singularidades du Val en espacios proyectivos ponderados . ^[10]

La celosía de Picard

El grupo Picard Pic( X ) de una superficie K3 analítica compleja X significa el grupo abeliano de haces de líneas analíticas complejas en X . Para una superficie algebraica K3, Pic( X ) significa el grupo de paquetes de líneas algebraicas en X. Las dos definiciones concuerdan para una superficie algebraica compleja K3, según el teorema GAGA de Jean-Pierre Serre .

El grupo Picard de una superficie K3 X es siempre un grupo abeliano libre generado finitamente ; su rango se llama número de Picard . En el caso complejo, Pic( X ) es un subgrupo de . Una característica importante de las superficies K3 es que pueden aparecer muchos números Picard diferentes. Para X , una superficie K3 algebraica compleja, puede ser cualquier número entero entre 1 y 20. En el caso analítico complejo, también puede ser cero. (En ese caso, X no contiene ninguna curva compleja cerrada. Por el contrario, una superficie algebraica siempre contiene muchas familias continuas de curvas.) Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica p > 0, existe una clase especial de superficies K3, supersingulares . Superficies K3 , con Picard número 22. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$

La red Picard de una superficie K3 significa el grupo abeliano Pic( X ) junto con su forma de intersección, una forma bilineal simétrica con valores en números enteros. (Sobre , la forma de intersección significa la restricción de la forma de intersección en . Sobre un campo general, la forma de intersección se puede definir usando la teoría de intersección de curvas en una superficie, identificando el grupo Picard con el grupo de clases divisor .) El Picard La red de una superficie K3 siempre es par , lo que significa que el número entero es par para cada una . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle u^{2}}$ ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$

El teorema del índice de Hodge implica que la red de Picard de una superficie algebraica K3 tiene firma . Muchas propiedades de una superficie K3 están determinadas por su red de Picard, como una forma bilineal simétrica sobre los números enteros. Esto conduce a una fuerte conexión entre la teoría de las superficies K3 y la aritmética de formas bilineales simétricas. Como primer ejemplo de esta conexión: una superficie analítica compleja K3 es algebraica si y sólo si hay un elemento con . ^[11] ${\displaystyle (1,\rho -1)}$ ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle u^{2}>0}$

En términos generales, el espacio de todas las superficies K3 analíticas complejas tiene una dimensión compleja 20, mientras que el espacio de las superficies K3 con número de Picard tiene una dimensión (excluyendo el caso supersingular). En particular, las superficies algebraicas K3 se producen en familias de 19 dimensiones. A continuación se proporcionan más detalles sobre los espacios de módulos de las superficies K3. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 20-\rho }$

La descripción precisa de qué redes pueden ocurrir como redes Picard de superficies K3 es complicada. Una afirmación clara, debida a Viacheslav Nikulin y David Morrison , es que cada red par de firma es la red Picard de alguna superficie proyectiva compleja K3. ^[12] El espacio de tales superficies tiene dimensión . ${\displaystyle (1,\rho -1)}$ ${\displaystyle \rho \leq 11}$ ${\displaystyle 20-\rho }$

Superficies elípticas K3

Una subclase importante de superficies K3, más fácil de analizar que el caso general, consiste en las superficies K3 con una fibración elíptica . "Elíptica" significa que todas, excepto un número finito de fibras de este morfismo, son curvas suaves del género 1. Las fibras singulares son uniones de curvas racionales , con los posibles tipos de fibras singulares clasificados por Kodaira. Siempre hay algunas fibras singulares, ya que la suma de las características topológicas de Euler de las fibras singulares es . Una superficie elíptica general K3 tiene exactamente 24 fibras singulares, cada una de ellas de tipo (una curva cúbica nodal). ^[13] ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \chi (X)=24}$ ${\displaystyle I_{1}}$

Si una superficie K3 es elíptica se puede leer en su red Picard. Es decir, en la característica no 2 o 3, una superficie K3 X tiene una fibración elíptica si y solo si hay un elemento distinto de cero con . ^[14] (En las características 2 o 3, la última condición también puede corresponder a una fibración cuasi-elíptica ). De ello se deduce que tener una fibración elíptica es una condición de codimensión-1 en una superficie K3. Por lo tanto, hay familias de 19 dimensiones de superficies K3 analíticas complejas con una fibración elíptica y espacios de módulos de 18 dimensiones de superficies K3 proyectivas con una fibración elíptica. ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$ ${\displaystyle u^{2}=0}$

Ejemplo: Cada superficie cuartica lisa X que contiene una línea L tiene una fibración elíptica , dada al proyectarse lejos de L. El espacio de módulos de todas las superficies cuárticas suaves (hasta el isomorfismo) tiene dimensión 19, mientras que el subespacio de superficies cuárticas que contienen una línea tiene dimensión 18. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$

Curvas racionales en superficies K3.

A diferencia de las variedades con curvatura positiva, como las superficies de Del Pezzo, una superficie algebraica compleja X K3 no está libre de reglas ; es decir, no está cubierto por una familia continua de curvas racionales. Por otro lado, a diferencia de las variedades con curvatura negativa, como las superficies de tipo general, X contiene un gran conjunto discreto de curvas racionales (posiblemente singulares). En particular, Fedor Bogomolov y David Mumford demostraron que cada curva en X es linealmente equivalente a una combinación lineal positiva de curvas racionales. ^[15]

Otro contraste con las variedades con curvatura negativa es que la métrica de Kobayashi en una superficie analítica compleja X de K3 es idénticamente cero. La prueba utiliza que una superficie algebraica K3 X siempre está cubierta por una familia continua de imágenes de curvas elípticas. ^[16] (Estas curvas son singulares en X , a menos que X sea una superficie K3 elíptica.) Una pregunta más importante que permanece abierta es si toda superficie K3 compleja admite un mapa holomórfico no degenerado de (donde "no degenerado" significa que la derivada de el mapa es un isomorfismo en algún punto). ^[17] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

El mapa de la época.

Defina una marca de una superficie X analítica compleja de K3 como un isomorfismo de las redes desde la red K3 . El espacio N de superficies K3 complejas marcadas es una variedad compleja no de Hausdorff de dimensión 20. ^[18] El conjunto de clases de isomorfismo de superficies K3 analíticas complejas es el cociente de N por el grupo ortogonal , pero este cociente no es un valor geométricamente significativo. espacio de módulos, porque la acción de está lejos de ser propiamente discontinua . ^[19] (Por ejemplo, el espacio de superficies cuárticas suaves es irreducible de dimensión 19 y, sin embargo, cada superficie analítica compleja K3 en la familia N de 20 dimensiones tiene deformaciones arbitrariamente pequeñas que son isomorfas a las superficies cuárticas suaves. ^[20] ) Para el Por la misma razón, no existe un espacio de módulos significativo de toros complejos compactos de dimensión al menos 2. ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$ ${\displaystyle O(\Lambda )}$ ${\displaystyle O(\Lambda )}$

El mapeo del período envía una superficie K3 a su estructura de Hodge . Cuando se plantea con cuidado, el teorema de Torelli se cumple: una superficie K3 está determinada por su estructura de Hodge. El dominio del período se define como la variedad compleja de 20 dimensiones.

${\displaystyle D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathbb {C} ):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}}>0\}.}$

El mapeo del período envía una superficie K3 X marcada a la línea compleja . Esto es sobreyectivo y un isomorfismo local, pero no un isomorfismo (en particular porque D es Hausdorff y N no lo es). Sin embargo, el teorema global de Torelli para superficies K3 dice que el mapa de cocientes de conjuntos ${\displaystyle N\to D}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )\cong \Lambda \otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle N/O(\Lambda )\to D/O(\Lambda )}$

es biyectivo. De ello se deduce que dos superficies analíticas K3 complejas X e Y son isomorfas si y solo si hay una isometría de Hodge desde a , es decir, un isomorfismo de grupos abelianos que preserva la forma de intersección y envía a . ^[21] ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H^{0}(Y,\Omega ^{2})}$

Espacios de módulo de superficies proyectivas K3.

Una superficie K3 polarizada X del género g se define como una superficie K3 proyectiva junto con un haz de líneas amplio L tal que L es primitivo (es decir, no 2 o más veces otro haz de líneas) y . Esto también se llama superficie K3 polarizada de grado 2 g −2. ^[22] ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$

Bajo estos supuestos, L está libre de puntos base . En característica cero, el teorema de Bertini implica que hay una curva suave C en el sistema lineal | L |. Todas estas curvas tienen género g , lo que explica por qué se dice que ( X , L ) tiene género g .

El espacio vectorial de secciones de L tiene dimensión g + 1, por lo que L da un morfismo de X al espacio proyectivo . En la mayoría de los casos, este morfismo es una incrustación, de modo que X es isomorfo a una superficie de grado 2 g −2 in . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$

Hay un espacio de módulos gruesos irreducible de superficies K3 complejas polarizadas de género g para cada una ; puede verse como un subconjunto abierto de Zariski de una variedad Shimura para el grupo SO (2,19) . Para cada g , hay una variedad compleja cuasi-proyectiva de dimensión 19. ^[23] Shigeru Mukai demostró que este espacio de módulos es uniracional si o . Por el contrario, Valery Gritsenko, Klaus Hulek y Gregory Sankaran demostraron que es de tipo general si o . Voisin (2008) realizó un estudio de esta área. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle g\leq 13}$ ${\displaystyle g=18,20}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle g\geq 63}$ ${\displaystyle g=47,51,55,58,59,61}$

Los diferentes espacios de módulos de 19 dimensiones se superponen de forma intrincada. De hecho, existe un conjunto infinitamente numerable de subvariedades de codimensión-1, cada una de las cuales corresponde a superficies K3 de número Picard al menos 2. Esas superficies K3 tienen polarizaciones de infinitos grados diferentes, no solo 2 g –2. Entonces se puede decir que se encuentran una infinidad de otros espacios de módulos . Esto es impreciso, ya que no existe un espacio con buen comportamiento que contenga todos los espacios de módulos . Sin embargo, una versión concreta de esta idea es el hecho de que dos superficies algebraicas K3 cualesquiera son equivalentes en deformación a través de superficies K3 algebraicas. ^[24] ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$

De manera más general, una superficie K3 cuasi polarizada de género g significa una superficie K3 proyectiva con una nef primitiva y un haz de líneas grande L tal que . Tal paquete de líneas todavía da un morfismo a , pero ahora puede contraer un número finito de (−2) curvas, de modo que la imagen Y de X es singular. (Una curva (−2) en una superficie significa una curva isomórfica con autointersección −2.) El espacio de módulos de superficies K3 cuasi polarizadas del género g todavía es irreducible de dimensión 19 (contiene el espacio de módulos anterior como un subconjunto abierto). Formalmente, funciona mejor ver esto como un espacio de módulos de superficies K3 Y con singularidades de du Val. ^[25] ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

El cono amplio y el cono de curvas

Una característica notable de las superficies algebraicas K3 es que la red de Picard determina muchas propiedades geométricas de la superficie, incluido el cono convexo de divisores amplios (hasta los automorfismos de la red de Picard). El cono amplio está determinado por la red de Picard de la siguiente manera. Según el teorema del índice de Hodge, la forma de intersección en el espacio vectorial real tiene firma . De ello se deduce que el conjunto de elementos con autointersección positiva tiene dos componentes conectados . Llame al cono positivo el componente que contiene cualquier divisor amplio en X. ${\displaystyle N^{1}(X):=\operatorname {Pic} (X)\otimes \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,\rho -1)}$ ${\displaystyle N^{1}(X)}$

Caso 1: No hay ningún elemento u de Pic( X ) con . Entonces el cono amplio es igual al cono positivo. Por tanto, es el cono redondo estándar. ${\displaystyle u^{2}=-2}$

Caso 2: En caso contrario, sea , el conjunto de raíces de la red de Picard. Los complementos ortogonales de las raíces forman un conjunto de hiperplanos que pasan por el cono positivo. Entonces el cono amplio es un componente conexo del complemento de estos hiperplanos en el cono positivo. Dos de estos componentes son isomórficos a través del grupo ortogonal de la red Pic ( X ), ya que contiene la reflexión a través de cada hiperplano raíz. En este sentido, la red de Picard determina el cono amplio hasta el isomorfismo. ^[26] ${\displaystyle \Delta =\{u\in \operatorname {Pic} (X):u^{2}=-2\}}$

Una afirmación relacionada, debida a Sándor Kovács, es que conocer un divisor amplio A en Pic( X ) determina todo el cono de curvas de X. Es decir, supongamos que X tiene el número Picard . Si el conjunto de raíces está vacío, entonces el cono cerrado de curvas es el cierre del cono positivo. De lo contrario, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado abarcado por todos los elementos con . En el primer caso, X no contiene curvas (−2); en el segundo caso, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado abarcado por todas las (−2)-curvas. ^[27] (Si , existe otra posibilidad: el cono de curvas puede estar abarcado por una curva (−2) y una curva con autointersección 0.) Entonces, el cono de curvas es el cono redondo estándar o de lo contrario, tiene "esquinas afiladas" (porque cada curva (−2) abarca un rayo extremo aislado del cono de curvas). ${\displaystyle \rho \geq 3}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle u\in \Delta }$ ${\displaystyle A\cdot u>0}$ ${\displaystyle \rho =2}$

Grupo de automorfismo

Las superficies K3 son algo inusuales entre las variedades algebraicas porque sus grupos de automorfismos pueden ser infinitos, discretos y altamente nobelianos. Según una versión del teorema de Torelli, la red de Picard de una superficie algebraica compleja X K3 determina el grupo de automorfismos de X hasta la conmensurabilidad . Es decir, sea el grupo de Weyl W el subgrupo del grupo ortogonal O (Pic( X )) generado por reflexiones en el conjunto de raíces . Entonces W es un subgrupo normal de O (Pic( X )), y el grupo de automorfismo de X es conmensurable con el grupo cociente O (Pic( X ))/ W . Una afirmación relacionada, debida a Hans Sterk, es que Aut( X ) actúa sobre el cono nef de X con un dominio fundamental poliédrico racional . ^[28] ${\displaystyle \Delta }$

Relación con la dualidad de cuerdas

Las superficies K3 aparecen de forma casi ubicua en la dualidad de cuerdas y proporcionan una herramienta importante para comprenderla. Las compactaciones de cuerdas en estas superficies no son triviales, pero son lo suficientemente simples como para analizar la mayoría de sus propiedades en detalle. La cuerda tipo IIA, la cuerda tipo IIB, la cuerda heterótica E ₈ × E ₈ , la cuerda heterótica Spin(32)/Z2 y la teoría M están relacionadas por compactación en una superficie K3. Por ejemplo, la cuerda Tipo IIA compactada sobre una superficie K3 es equivalente a la cuerda heterótica compactada sobre un toro 4 (Aspinwall (1996)).

Historia

Las superficies cuárticas fueron estudiadas por Ernst Kummer , Arthur Cayley , Friedrich Schur y otros geómetras del siglo XIX. De manera más general, Federigo Enriques observó en 1893 que para varios números g , existen superficies de grado 2 g −2 in con fibrado canónico trivial e irregularidad cero. ^[29] En 1909, Enriques demostró que tales superficies existen para todos , y Francesco Severi demostró que el espacio de módulos de tales superficies tiene dimensión 19 para cada g . ^[30] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$ ${\displaystyle g\geq 3}$

André Weil (1958) dio su nombre a las superficies K3 (ver la cita anterior) e hizo varias conjeturas influyentes sobre su clasificación. Kunihiko Kodaira completó la teoría básica alrededor de 1960, en particular realizando el primer estudio sistemático de superficies K3 analíticas complejas que no son algebraicas. Demostró que dos superficies K3 analíticas complejas cualesquiera son equivalentes a la deformación y, por lo tanto, difeomorfas, lo cual era nuevo incluso para las superficies algebraicas K3. Un importante avance posterior fue la demostración del teorema de Torelli para superficies K3 algebraicas complejas por Ilya Piatetski-Shapiro e Igor Shafarevich (1971), ampliado a superficies K3 analíticas complejas por Daniel Burns y Michael Rapoport (1975).

Ver también

• superficie enriques
• conjetura de tate
• Mathieu moonshine , una misteriosa relación entre las superficies K3 y el grupo Mathieu M24 .

Notas

1. Huybrechts (2016), Observación 1.1.2
2. Huybrechts (2016), sección 2.3.
3. Huybrechts (2016), sección 2.4.
4. Huybrechts (2016), Teorema 7.1.1.
5. Barth y col. (2004), sección IV.3.
6. Huybrechts (2016), Teorema 9.5.1.
7. Huybrechts (2016), Proposición 3.3.5.
8. Scorpan (2005), sección 5.3.
9. Huybrechts (2016), Observación 1.3.6 (ii).
10. Base de datos de anillos graduados; Base de datos K3 para Magma.
11. Barth y col. (2004), Teorema 6.1.
12. Huybrechts (2016), Corolario 14.3.1 y Observación 14.3.7.
13. Huybrechts (2016), Observación 11.1.12.
14. Huybrechts (2016), Proposición 11.1.3.
15. Huybrechts (2016), Corolario 13.1.5.
16. Kamenova y col. (2014), Corolario 2.2; Huybrechts (2016), Corolario 13.2.2.
17. Huybrechts (2016), sección 13.0.3.
18. Huybrechts (2016), sección 6.3.3.
19. Huybrechts (2016), sección 6.3.1 y observación 6.3.6.
20. Huybrechts (2016), sección 7.1.3.
21. Huybrechts (2016), Teorema 7.5.3.
22. Huybrechts (2016), Definición 2.4.1.
23. Huybrechts (2016), Corolario 6.4.4.
24. Huybrechts (2016), sección 7.1.1.
25. Huybrechts (2016), sección 5.1.4 y observación 6.4.5.
26. Huybrechts (2016), Corolario 8.2.11.
27. Huybrechts (2016), Corolario 8.3.12.
28. Huybrechts (2016), Teorema 8.4.2.
29. Enriques (1893), apartado III.6.
30. Enriques (1909); Severi (1909).

Referencias

• Aspinwall, Paul (1996), "Superficies K3 y dualidad de cuerdas", Campos, cuerdas y dualidad (Boulder, CO, 1996) , World Scientific, págs. 421–540, arXiv : hep-th/9611137 , MR  1479699
• Barth, Lobo P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / Una serie de estudios modernos en matemáticas, vol. 4, Springer , doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, SEÑOR  2030225
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enlaces externos

• Página de inicio de Graded Ring Database para un catálogo de superficies K3
• Base de datos K3 para el sistema de álgebra informática Magma
• La geometría de las superficies K3, conferencias de David Morrison (1988).