Clasificación de Enriques-Kodaira

Clasificación matemática de superficies

En matemáticas , la clasificación de Enriques-Kodaira agrupa las superficies complejas compactas en diez clases, cada una parametrizada por un espacio de módulos . Para la mayoría de las clases, los espacios de módulos son bien conocidos, pero para la clase de superficies de tipo general los espacios de módulos parecen demasiado complicados para describirlos explícitamente, aunque se conocen algunos componentes.

Max Noether inició el estudio sistemático de las superficies algebraicas, y Guido Castelnuovo demostró partes importantes de la clasificación. Federigo Enriques  (1914, 1949) describió la clasificación de superficies proyectivas complejas. Kunihiko Kodaira  (1964, 1966, 1968a, 1968b) luego extendió la clasificación para incluir superficies compactas no algebraicas. La clasificación análoga de superficies en característica positiva fue iniciada por David Mumford  (1969) y completada por Enrico Bombieri y David Mumford (1976, 1977); es similar al caso proyectivo de característica 0, excepto que también se obtienen superficies de Enriques singulares y supersingulares en característica 2, y superficies cuasi-hiperelípticas en características 2 y 3.

Declaración de la clasificación

Números de Chern de superficies complejas mínimas

La clasificación de Enriques-Kodaira de superficies complejas compactas establece que cada superficie compleja compacta mínima no singular es exactamente de uno de los 10 tipos enumerados en esta página; en otras palabras, es una de las superficies de tipo racional, reglada (género > 0), tipo VII, K3, Enriques, Kodaira, tórica, hiperelíptica, propiamente cuasi-elíptica o general.

Para las 9 clases de superficies distintas del tipo general, existe una descripción bastante completa de cómo se ven todas las superficies (que para la clase VII depende de la conjetura de la capa esférica global , aún sin demostrar en 2024). Para las superficies de tipo general, no se sabe mucho sobre su clasificación explícita, aunque se han encontrado muchos ejemplos.

La clasificación de superficies algebraicas en característica positiva (Mumford 1969, Mumford & Bombieri 1976, 1977) es similar a la de superficies algebraicas en característica 0, excepto que no hay superficies de Kodaira ni superficies de tipo VII, y hay algunas familias extra de superficies de Enriques en característica 2, y superficies hiperelípticas en características 2 y 3, y en dimensión Kodaira 1 en características 2 y 3 también se permiten fibraciones cuasielípticas. Estas familias extra pueden entenderse de la siguiente manera: En característica 0 estas superficies son los cocientes de superficies por grupos finitos, pero en características finitas también es posible tomar cocientes por esquemas de grupos finitos que no sean étale .

Oscar Zariski construyó algunas superficies en característica positiva que son uniracionales pero no racionales, derivadas de extensiones inseparables ( superficies de Zariski ). En característica positiva Serre demostró que pueden diferir de , e Igusa demostró que incluso cuando son iguales pueden ser mayores que la irregularidad (la dimensión de la variedad Picard ). ${\displaystyle h^{0}(\Omega )}$ ${\displaystyle h^{1}({\mathcal {O}})}$

Invariantes de superficies

Números de Hodge y dimensión de Kodaira

Los invariantes más importantes de una superficie compleja compacta que se utilizan en la clasificación se pueden dar en términos de las dimensiones de varios grupos de cohomología de haces coherentes . Los básicos son los plurigenerados y los números de Hodge, definidos de la siguiente manera:

• K es el fibrado lineal canónico cuyas secciones son las 2-formas holomorfas.

• ${\displaystyle P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}),n\geqslant 1}$se llaman plurigeneras . Son invariantes biracionales , es decir, invariantes bajo explosión. Utilizando la teoría de Seiberg-Witten , Robert Friedman y John Morgan demostraron que para variedades complejas solo dependen de la 4-variedad suave orientada subyacente. Para superficies no Kähler, los plurigeneras están determinados por el grupo fundamental, pero para superficies Kähler hay ejemplos de superficies que son homeomorfas pero tienen diferentes plurigeneras y dimensiones de Kodaira. Los plurigeneras individuales no se utilizan a menudo; lo más importante sobre ellos es su tasa de crecimiento, medida por la dimensión de Kodaira .

• ${\displaystyle \kappa }$es la dimensión de Kodaira : es (a veces se escribe −1) si los plurigenerados son todos 0, y es en caso contrario el número más pequeño (0, 1 o 2 para superficies) tal que esté acotado. Enriques no utilizó esta definición: en su lugar, utilizó los valores de y . Estos determinan la dimensión de Kodaira dada la siguiente correspondencia: ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle P_{n}/n^{\kappa }}$ ${\displaystyle P_{12}}$ ${\displaystyle K\cdot K=c_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),}$donde está el haz de i -formas holomórficas , son los números de Hodge , a menudo ordenados en el diamante de Hodge: ${\displaystyle \Omega ^{i}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}}$

Por la dualidad de Serre y los números de Hodge de una superficie compleja dependen únicamente del anillo de cohomología real orientado de la superficie, y son invariantes bajo transformaciones biracionales excepto que aumenta en 1 al explotar un solo punto. ${\displaystyle h^{i,j}=h^{2-i,2-j}}$ ${\displaystyle h^{0,0}=h^{2,2}=1.}$ ${\displaystyle h^{1,1}}$

• Si la superficie es Kähler entonces y sólo hay tres números de Hodge independientes. ${\displaystyle h^{i,j}=h^{j,i}}$
• Si la superficie es compacta entonces es igual o ${\displaystyle h^{1,0}}$ ${\displaystyle h^{0,1}}$ ${\displaystyle h^{0,1}-1.}$

Invariantes relacionados con los números de Hodge

Hay muchos invariantes que (al menos para superficies complejas) pueden escribirse como combinaciones lineales de los números de Hodge, como sigue:

• Números de Betti : definidos por ${\displaystyle b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant i\leqslant 4.}$

${\displaystyle {\begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{cases}}}$

En la característica p  > 0, los números de Betti se definen utilizando cohomología l-ádica y no necesitan satisfacer estas relaciones.

• Característica de Euler o número de Euler :

${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}$

• La irregularidad se define como la dimensión de la variedad Picard y la variedad Albanese y se denota por q . Para superficies complejas (pero no siempre para superficies de característica principal)

${\displaystyle q=h^{0,1}.}$

• El género geométrico :

${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.}$

• El género aritmético :

${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.}$

• La característica de Euler holomórfica del fibrado trivial (normalmente difiere del número de Euler e definido anteriormente):

${\displaystyle \chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.}$

Por la fórmula de Noether también es igual al género Todd. ${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).}$

• La firma del segundo grupo de cohomología para superficies complejas se denota por : ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =4\chi -e=\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.}$

• ${\displaystyle b^{\pm }}$son las dimensiones de los subespacios definidos positivos y negativos máximos de modo que: ${\displaystyle H^{2},}$

${\displaystyle {\begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{cases}}}$

• c ₂ = e y son los números de Chern , definidos como las integrales de varios polinomios en las clases de Chern sobre la variedad. ${\displaystyle c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e}$

Otras invariantes

Existen otros invariantes de superficies complejas compactas que no se utilizan tanto en la clasificación. Estos incluyen invariantes algebraicos como el grupo de Picard Pic( X ) de divisores módulo equivalencia lineal , su cociente el grupo de Néron–Severi NS( X ) con rango el número de Picard ρ, invariantes topológicos como el grupo fundamental π _{1 y los grupos de homología y cohomología integrales, e invariantes de la} 4-variedad suave subyacente como los invariantes de Seiberg–Witten y los invariantes de Donaldson .

Modelos minimalistas y explosiones

Cualquier superficie es biracional con respecto a una superficie no singular, por lo que para la mayoría de los propósitos es suficiente clasificar las superficies no singulares.

Dado cualquier punto de una superficie, podemos formar una nueva superficie haciendo estallar este punto, lo que significa aproximadamente que lo reemplazamos por una copia de la línea proyectiva. Para el propósito de este artículo, una superficie no singular X se llama mínima si no se puede obtener de otra superficie no singular haciendo estallar un punto. Por el teorema de contracción de Castelnuovo , esto es equivalente a decir que X no tiene (−1)-curvas (curvas racionales suaves con número de autointersección −1). (En la terminología más moderna del programa de modelo mínimo , una superficie proyectiva suave X se llamaría mínima si su fibrado de líneas canónicas K _X es nef . Una superficie proyectiva suave tiene un modelo mínimo en ese sentido más fuerte si y solo si su dimensión de Kodaira es no negativa).

Toda superficie X es birracional respecto de una superficie mínima no singular, y esta superficie mínima no singular es única si X tiene dimensión de Kodaira al menos 0 o no es algebraica. Las superficies algebraicas de dimensión de Kodaira pueden ser birracionales respecto de más de una superficie mínima no singular, pero es fácil describir la relación entre estas superficies mínimas. Por ejemplo, P ¹ × P ¹ expandida en un punto es isomorfa a P ² expandida dos veces. Por lo tanto, para clasificar todas las superficies complejas compactas hasta el isomorfismo biracional es (más o menos) suficiente clasificar las mínimas no singulares. ${\displaystyle -\infty }$

Superficies de dimensión Kodaira −∞

Las superficies algebraicas de dimensión Kodaira se pueden clasificar de la siguiente manera. Si q > 0 entonces la función de la variedad Albanese tiene fibras que son líneas proyectivas (si la superficie es mínima) por lo que la superficie es una superficie reglada. Si q = 0 este argumento no funciona ya que la variedad Albanese es un punto, pero en este caso el teorema de Castelnuovo implica que la superficie es racional. ${\displaystyle -\infty }$

Para las superficies no algebraicas, Kodaira encontró una clase adicional de superficies, llamadas tipo VII, que todavía no se comprenden bien.

Superficies racionales

Superficie racional significa superficie biracional al plano proyectivo complejo P ² . Todas estas son algebraicas. Las superficies racionales mínimas son P ² misma y las superficies de Hirzebruch Σ _n para n = 0 o n ≥ 2. (La superficie de Hirzebruch Σ _n es el fibrado P ¹ sobre P ¹ asociado al haz O(0) + O( n ). La superficie Σ ₀ es isomorfa a P ¹ × P ¹ , y Σ ₁ es isomorfa a P ² expandido en un punto, por lo que no es mínima.)

Invariantes: Los plurigenerados son todos 0 y el grupo fundamental es trivial.

Diamante de Hodge:

Ejemplos: P ² , P ¹ × P ¹ = Σ ₀ , superficies de Hirzebruch Σ _n , cuádricas , superficies cúbicas , superficies de Del Pezzo , superficie de Veronese . Muchos de estos ejemplos no son mínimos.

Superficies regladas de género > 0

Las superficies regladas de género g tienen un morfismo suave con una curva de género g cuyas fibras son líneas P ¹ . Todas son algebraicas. (Las de género 0 son las superficies de Hirzebruch y son racionales.) Cualquier superficie reglada es biracionalmente equivalente a P ¹ × C para una única curva C , por lo que la clasificación de superficies regladas hasta la equivalencia biracional es esencialmente la misma que la clasificación de curvas. Una superficie reglada no isomorfa a P ¹ × P ¹ tiene una única regla ( P ¹ × P ¹ tiene dos).

Invariantes: Los plurigenerados son todos 0.

Diamante de Hodge:

Ejemplos: El producto de cualquier curva de género > 0 con P ¹ .

Superficies de clase VII

Estas superficies nunca son algebraicas ni de Kähler . Las mínimas con b ₂ = 0 han sido clasificadas por Bogomolov, y son superficies de Hopf o superficies de Inoue . Los ejemplos con un segundo número de Betti positivo incluyen superficies de Inoue-Hirzebruch , superficies de Enoki y, de manera más general, superficies de Kato . La conjetura de la capa esférica global implica que todas las superficies mínimas de clase VII con un segundo número de Betti positivo son superficies de Kato, lo que completaría más o menos la clasificación de las superficies de tipo VII.

Invariantes: q = 1, h ^1,0 = 0. Todos los plurigenerados son 0.

Diamante de Hodge:

Superficies de dimensión 0 de Kodaira

Estas superficies se clasifican comenzando con la fórmula de Noether. Para la dimensión de Kodaira 0, K tiene un número de intersección cero consigo mismo , por lo que al usar ${\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}.}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}=0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{aligned}}}$

Llegamos a:

${\displaystyle 10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}}$

Además, como κ = 0 tenemos:

${\displaystyle h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Combinando esto con la ecuación anterior obtenemos:

${\displaystyle 8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}={\begin{cases}22&K=0\\10&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

En general, 2 h ^0,1 ≥ b ₁ , por lo que los tres términos de la izquierda son números enteros no negativos y solo hay unas pocas soluciones para esta ecuación.

• Para superficies algebraicas 2 h ^0,1 − b ₁ es un entero par entre 0 y 2 p _g .
• Para superficies complejas compactas 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 o 1.
• Para superficies de Kähler 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 y h ^1,0 = h ^0,1 .

La mayoría de las soluciones a estas condiciones corresponden a clases de superficies, como en la siguiente tabla:

Superficies K3

Estas son las superficies complejas compactas mínimas de dimensión Kodaira 0 con q = 0 y fibrado lineal canónico trivial. Todas son variedades de Kähler . Todas las superficies K3 son difeomorfas, y su clase de difeomorfismo es un ejemplo importante de una 4-variedad con espín suave simplemente conexa.

Invariantes: El segundo grupo de cohomología H ² ( X , Z ) es isomorfo a la red unimodular par única II _3,19 de dimensión 22 y signatura −16.

Diamante de Hodge:

Ejemplos :

• Hipersuperficies de grado 4 en P ³ ( C )
• Superficies de Kummer . Se obtienen mediante el cociente de una superficie abeliana por el automorfismo a → − a y luego ampliando los 16 puntos singulares.

Una superficie K3 marcada es una superficie K3 junto con un isomorfismo de II _3,19 a H ² ( X , Z ). El espacio de módulos de superficies K3 marcadas es un espacio analítico suave no Hausdorff conexo de dimensión 20. Las superficies K3 algebraicas forman una colección contable de subvariedades de 19 dimensiones de este.

Superficies abelianas y toros complejos bidimensionales

Los toros complejos bidimensionales incluyen las superficies abelianas . Los toros complejos unidimensionales son simplemente curvas elípticas y son todos algebraicos, pero Riemann descubrió que la mayoría de los toros complejos de dimensión 2 no son algebraicos. Los algebraicos son exactamente las variedades abelianas bidimensionales . La mayor parte de su teoría es un caso especial de la teoría de toros de dimensiones superiores o variedades abelianas. Los criterios para ser un producto de dos curvas elípticas (hasta la isogenia ) fueron un estudio popular en el siglo XIX.

Invariantes: Los plurigenerados son todos 1. La superficie es difeomorfa a S ¹ × S ¹ × S ¹ × S ¹ por lo que el grupo fundamental es Z ⁴ .

Diamante de Hodge:

Ejemplos: Producto de dos curvas elípticas. El jacobiano de una curva de género 2. Cualquier cociente de ^C2 por una red.

Superficies de Kodaira

Estas superficies nunca son algebraicas, aunque tienen funciones meromórficas no constantes. Se suelen dividir en dos subtipos: superficies Kodaira primarias con fibrado canónico trivial, y superficies Kodaira secundarias que son cocientes de éstas por grupos finitos de órdenes 2, 3, 4 o 6, y que tienen fibrados canónicos no triviales. Las superficies Kodaira secundarias tienen la misma relación con las primarias que las superficies Enriques tienen con las superficies K3, o las superficies bielípticas tienen con las superficies abelianas.

Invariantes: Si la superficie es el cociente de una superficie primaria de Kodaira por un grupo de orden k = 1, 2, 3, 4, 6, entonces los plurigenerados P _n son 1 si n es divisible por k y 0 en caso contrario.

Diamante de Hodge:

Ejemplos: tome un fibrado lineal no trivial sobre una curva elíptica, elimine la sección cero y luego calcule el cociente de las fibras mediante Z, que actúa como multiplicación por potencias de algún número complejo z . Esto da una superficie Kodaira primaria.

Enriques superficies

Estas son las superficies complejas tales que q = 0 y el fibrado lineal canónico no es trivial, pero tiene cuadrado trivial. Las superficies de Enrique son todas algebraicas (y por lo tanto de Kähler ). Son cocientes de K3 superficies por un grupo de orden 2 y su teoría es similar a la de las K3 superficies algebraicas.

Invariantes: Los plurigenerados P _n son 1 si n es par y 0 si n es impar. El grupo fundamental tiene orden 2. El segundo grupo de cohomología H ² ( X , Z ) es isomorfo a la suma de la red unimodular par única II _1,9 de dimensión 10 y signatura −8 y un grupo de orden 2.

Diamante de Hodge:

Las superficies marcadas de Enriques forman una familia conectada de 10 dimensiones, que se ha descrito explícitamente.

En la característica 2 hay algunas familias adicionales de superficies de Enriques llamadas superficies de Enriques singulares y supersingulares; consulte el artículo sobre superficies de Enriques para obtener más detalles.

Superficies hiperelípticas (o bielípticas)

Sobre los números complejos, son cocientes de un producto de dos curvas elípticas por un grupo finito de automorfismos. El grupo finito puede ser Z /2 Z ,   Z /2 Z  +  Z /2 Z , Z /3 Z ,   Z /3 Z  +  Z /3 Z ,   Z /4 Z ,   Z /4 Z  +  Z /2 Z o Z /6 Z , dando siete familias de tales superficies.

Diamante de Hodge:

Sobre campos de características 2 o 3 hay algunas familias adicionales que se obtienen tomando cocientes mediante un esquema de grupo no étale; consulte el artículo sobre superficies hiperelípticas para obtener más detalles.

Superficies de dimensión 1 de Kodaira

Una superficie elíptica es una superficie equipada con una fibración elíptica (una función holomorfa sobreyectiva de una curva B tal que todas las fibras, salvo un número finito, son curvas suaves irreducibles de género 1). La fibra genérica en dicha fibración es una curva de género 1 sobre el cuerpo de funciones de B. A la inversa, dada una curva de género 1 sobre el cuerpo de funciones de una curva, su modelo mínimo relativo es una superficie elíptica. Kodaira y otros han dado una descripción bastante completa de todas las superficies elípticas. En particular, Kodaira dio una lista completa de las posibles fibras singulares . La teoría de superficies elípticas es análoga a la teoría de modelos regulares propios de curvas elípticas sobre anillos de valoración discretos (por ejemplo, el anillo de números enteros p -ádicos ) y dominios de Dedekind (por ejemplo, el anillo de números enteros de un cuerpo de números).

En las características finitas 2 y 3 también se pueden obtener superficies cuasi-elípticas , cuyas fibras pueden ser casi todas curvas racionales con un solo nodo, que son "curvas elípticas degeneradas".

Toda superficie de dimensión Kodaira 1 es una superficie elíptica (o una superficie cuasielíptica en características 2 o 3), pero lo inverso no es cierto: una superficie elíptica puede tener dimensión Kodaira , 0 o 1. Todas las superficies de Enriques , todas las superficies hiperelípticas , todas las superficies Kodaira , algunas superficies K3 , algunas superficies abelianas y algunas superficies racionales son superficies elípticas, y estos ejemplos tienen dimensión Kodaira menor que 1. Una superficie elíptica cuya curva base B es de género al menos 2 siempre tiene dimensión Kodaira 1, pero la dimensión Kodaira puede ser 1 también para algunas superficies elípticas con B de género 0 o 1. ${\displaystyle -\infty }$

Invariantes: ${\displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.}$

Ejemplo: Si E es una curva elíptica y B es una curva de género al menos 2, entonces E × B es una superficie elíptica de dimensión Kodaira 1.

Superficies de dimensión Kodaira 2 (superficies de tipo general)

Todas son algebraicas y, en cierto sentido, la mayoría de las superficies pertenecen a esta clase. Gieseker demostró que existe un esquema de módulos gruesos para superficies de tipo general; esto significa que para cualquier valor fijo de los números de Chern c²
₁y c ₂ , existe un esquema cuasi-proyectivo que clasifica las superficies de tipo general con esos números de Chern. Sin embargo, es un problema muy difícil describir estos esquemas explícitamente, y hay muy pocos pares de números de Chern para los que se haya hecho esto (¡excepto cuando el esquema está vacío!).

Invariantes: Hay varias condiciones que los números de Chern de una superficie compleja mínima de tipo general deben satisfacer:

• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}>0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$(la desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau )
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0}$(la desigualdad de Noether)
• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\bmod {1}}2.}$

La mayoría de los pares de números enteros que satisfacen estas condiciones son los números de Chern para alguna superficie compleja de tipo general.

Ejemplos: Los ejemplos más simples son el producto de dos curvas de género al menos 2, y una hipersuperficie de grado al menos 5 en P ³ . Se conoce una gran cantidad de otras construcciones. Sin embargo, no se conoce ninguna construcción que pueda producir superficies "típicas" de tipo general para grandes números de Chern; de hecho, ni siquiera se sabe si existe algún concepto razonable de superficie "típica" de tipo general. Se han encontrado muchos otros ejemplos, incluidas la mayoría de las superficies modulares de Hilbert , los planos proyectivos falsos , las superficies de Barlow , etc.

Véase también

• Lista de superficies algebraicas

Referencias

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• Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , London Mathematical Society Student Texts, vol. 34 (2.ª ed.), Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3, Sr.  1406314; ( ISBN 978-0-521-49842-5 tapa blanda) – incluye una introducción más elemental a la clasificación 
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Enlaces externos

• La superficie algebriche es una visualización interactiva de la clasificación de Enriques-Kodaira, de Pieter Belmans y Johan Commelin