En matemáticas, un plano proyectivo falso (o superficie de Mumford ) es una de las 50 superficies algebraicas complejas que tienen los mismos números de Betti que el plano proyectivo , pero no son isomorfas a él. Tales objetos son siempre superficies algebraicas de tipo general .
Severi preguntó si había una superficie compleja homeomorfa al plano proyectivo pero no biholomorfa al mismo. Yau (1977) demostró que no existía tal superficie, por lo que la aproximación más cercana al plano proyectivo que se puede tener sería una superficie con los mismos números de Betti ( b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) = (1,0,1,0,1) que el plano proyectivo. El primer ejemplo fue encontrado por Mumford (1979) usando uniformización p-ádica introducida independientemente por Kurihara y Mustafin. Mumford también observó que el resultado de Yau junto con el teorema de Weil sobre la rigidez de subgrupos cocompactos discretos de PU(1,2) implica que solo hay un número finito de planos proyectivos falsos. Ishida y Kato (1998) encontraron dos ejemplos más, usando métodos similares, y Keum (2006) encontraron un ejemplo con un automorfismo de orden 7 que es biracional a una cubierta cíclica de grado 7 de una superficie Dolgachev . Prasad y Yeung (2007), Prasad y Yeung (2010) encontraron una forma sistemática de clasificar todos los planos proyectivos falsos, al mostrar que hay veintiocho clases, cada una de las cuales contiene al menos un ejemplo de plano proyectivo falso hasta la isometría, y que puede haber como máximo cinco clases más que luego se demostró que no existen. El problema de enumerar todos los planos proyectivos falsos se reduce a enumerar todos los subgrupos de índice apropiado de una red explícitamente dada asociada a cada clase. Extendiendo estos cálculos, Cartwright y Steger (2010) demostraron que las veintiocho clases agotan todas las posibilidades de planos proyectivos falsos y que en total hay 50 ejemplos determinados hasta la isometría, o 100 planos proyectivos falsos hasta el biholomorfismo.
Una superficie de tipo general con los mismos números de Betti que una superficie mínima que no sea de tipo general debe tener los números de Betti de un plano proyectivo P 2 o de una cuádrica P 1 × P 1 . Shavel (1978) construyó algunas "cuádricas falsas": superficies de tipo general con los mismos números de Betti que las cuádricas. Las superficies de Beauville ofrecen más ejemplos.
Los análogos de dimensiones superiores de superficies proyectivas falsas se denominan espacios proyectivos falsos .
Como consecuencia del trabajo de Aubin y Yau sobre la solución de la conjetura de Calabi en el caso de curvatura de Ricci negativa, véase Yau (1977, 1978), cualquier plano proyectivo falso es el cociente de una bola unitaria compleja en 2 dimensiones por un subgrupo discreto , que es el grupo fundamental del plano proyectivo falso. Este grupo fundamental debe ser, por tanto, un subgrupo discreto cocompacto y libre de torsión de PU(2,1) de característica de Euler-Poincaré 3. Klingler (2003) y Yeung (2004) demostraron que este grupo fundamental también debe ser un grupo aritmético . Los resultados de rigidez fuerte de Mostow implican que el grupo fundamental determina el plano falso, en el sentido fuerte de que cualquier superficie compacta con el mismo grupo fundamental debe ser isométrica a él.
Se define que dos planos proyectivos falsos pertenecen a la misma clase si sus grupos fundamentales están contenidos en el mismo subgrupo aritmético máximo de automorfismos de la bola unidad. Prasad y Yeung (2007), Prasad y Yeung (2010) utilizaron la fórmula de volumen para grupos aritméticos de (Prasad 1989) para enumerar 28 clases no vacías de planos proyectivos falsos y demostrar que puede haber, como máximo, cinco clases adicionales que no se espera que existan. (Véase el apéndice del artículo donde se refinó la clasificación y se corrigieron algunos errores del artículo original). Cartwright y Steger (2010) verificaron que las cinco clases adicionales de hecho no existían y enumeraron todas las posibilidades dentro de las veintiocho clases. Hay exactamente 50 planos proyectivos falsos clasificados hasta la isometría y, por lo tanto, 100 planos proyectivos falsos distintos clasificados hasta el biholomorfismo.
El grupo fundamental del falso plano proyectivo es un subgrupo aritmético de PU(2,1). Escriba k para el cuerpo numérico asociado (un cuerpo totalmente real) y G para la forma k asociada de PU(2,1). Si l es la extensión cuadrática de k sobre la cual G es una forma interna, entonces l es un cuerpo totalmente imaginario. Existe un álgebra de división D con centro l y grado sobre l 3 o 1, con una involución de segunda especie que se restringe al automorfismo no trivial de l sobre k , y una forma hermítica no trivial sobre un módulo sobre D de dimensión 1 o 3 tal que G es el grupo unitario especial de esta forma hermítica. (Como consecuencia de Prasad & Yeung (2007) y el trabajo de Cartwright y Steger, D tiene grado 3 sobre l y el módulo tiene dimensión 1 sobre D. ) Hay un lugar real de k tal que los puntos de G forman una copia de PU(2,1), y sobre todos los demás lugares reales de k forman el grupo compacto PU(3).
A partir del resultado de Prasad y Yeung (2007), el grupo de automorfismos de un plano proyectivo falso es cíclico de orden 1, 3 o 7, o el grupo no cíclico de orden 9, o el grupo no abeliano de orden 21. Los cocientes de los planos proyectivos falsos por estos grupos fueron estudiados por Keum (2008) y también por Cartwright y Steger (2010).