Superficie de Enriques

Superficie algebraica con propiedades especiales de trivialidad

En matemáticas , las superficies de Enriques son superficies algebraicas tales que la irregularidad q = 0 y el fibrado canónico de líneas K no es trivial pero tiene un cuadrado trivial. Las superficies de Enriques son todas proyectivas (y por lo tanto de Kähler sobre los números complejos ) y son superficies elípticas de género 0. Sobre cuerpos de característica no 2 son cocientes de K3 superficies por un grupo de orden 2 que actúa sin puntos fijos y su teoría es similar a la de las K3 superficies algebraicas. Las superficies de Enriques fueron estudiadas por primera vez en detalle por Enriques  (1896) como respuesta a una pregunta discutida por Castelnuovo (1895) sobre si una superficie con q = p _g = 0 es necesariamente racional, aunque algunas de las congruencias de Reye introducidas anteriormente por Reye  (1882) también son ejemplos de superficies de Enriques.

Las superficies de Enriques también pueden definirse sobre otros cuerpos. Sobre cuerpos de característica distinta de 2, Artin (1960) demostró que la teoría es similar a la de los números complejos. Sobre cuerpos de característica 2 se modifica la definición y hay dos nuevas familias, llamadas superficies de Enriques singulares y supersingulares, descritas por Bombieri y Mumford (1976). Estas dos familias adicionales están relacionadas con los dos esquemas de grupos algebraicos no discretos de orden 2 en característica 2.

Invariantes de superficies complejas de Enriques

Los plurigenerados P _n son 1 si n es par y 0 si n es impar. El grupo fundamental tiene orden 2. El segundo grupo de cohomología H ² ( X , Z ) es isomorfo a la suma de la red unimodular par única II _1,9 de dimensión 10 y signatura -8 y un grupo de orden 2.

Diamante de Hodge:

Las superficies marcadas de Enriques forman una familia conectada de 10 dimensiones, que Kondo (1994) demostró que es racional.

Característica 2

En la característica 2 hay algunas nuevas familias de superficies de Enriques, a veces llamadas superficies cuasi Enriques o superficies de Enriques no clásicas o superficies de Enriques (super)singulares . (El término "singular" no significa que la superficie tenga singularidades, sino que significa que la superficie es "especial" de alguna manera.) En la característica 2 se modifica la definición de superficies de Enriques: se definen como superficies mínimas cuya clase canónica K es numéricamente equivalente a 0 y cuyo segundo número de Betti es 10. (En características distintas a la 2 esto es equivalente a la definición habitual.) Ahora hay 3 familias de superficies de Enriques:

• Clásico: dim(H ¹ (O)) = 0. Esto implica 2 K = 0 pero K es distinto de cero y Pic ^τ es Z /2 Z . La superficie es un cociente de una superficie de Gorenstein singular reducida por el esquema de grupo μ ₂ .
• Singular: dim(H ¹ (O)) = 1 y se actúa sobre él de forma no trivial mediante el endomorfismo de Frobenius. Esto implica que K = 0 y que Pic ^τ es μ ₂ . La superficie es un cociente de una superficie K3 según el esquema de grupo Z/2Z.
• Supersingular: dim(H ¹ (O)) = 1 y se ve afectada de forma trivial por el endomorfismo de Frobenius. Esto implica que K = 0 y que Pic ^τ es α ₂ . La superficie es un cociente de una superficie de Gorenstein singular reducida por el esquema de grupo α ₂ .

Todas las superficies de Enriques son elípticas o cuasi elípticas.

Ejemplos

• Una congruencia de Reye es la familia de líneas contenidas en al menos 2 cuadráticas de un sistema lineal tridimensional dado de cuadráticas en P ³ . Si el sistema lineal es genérico, entonces la congruencia de Reye es una superficie de Enriques. Estas fueron descubiertas por Reye (1882) y pueden ser los primeros ejemplos de superficies de Enriques.
• Tome una superficie de grado 6 en un espacio proyectivo tridimensional con líneas dobles a lo largo de los bordes de un tetraedro , como

${\displaystyle w^{2}x^{2}y^{2}+w^{2}x^{2}z^{2}+w^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}+wxyzQ(w,x,y,z)=0}$

para algún polinomio homogéneo general Q de grado 2. Entonces su normalización es una superficie de Enriques. Esta es la familia de ejemplos que encontró Enriques (1896).

• El cociente de una superficie K3 por una involución libre de punto fijo es una superficie de Enriques, y todas las superficies de Enriques con característica distinta de 2 se pueden construir de esta manera. Por ejemplo, si S es la superficie K3 w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ = 0 y T es el automorfismo de orden 4 que toma ( w , x , y , z ) por ( w , ix ,– y ,– iz ) entonces T ² tiene ocho puntos fijos. Ampliando estos ocho puntos y tomando el cociente por T ² se obtiene una superficie K3 con una involución libre de punto fijo T , y el cociente de esta por T es una superficie de Enriques. Alternativamente, la superficie de Enriques se puede construir tomando el cociente de la superficie original por el automorfismo de orden 4 T y resolviendo los ocho puntos singulares del cociente. Otro ejemplo se da tomando la intersección de 3 cuádricas de la forma P _i ( u , v , w ) + Q _i ( x , y , z ) = 0 y tomando el cociente por la involución tomando ( u : v : w : x : y : z ) por (– x :– y :– z : u : v : w ). Para cuádricas genéricas esta involución es una involución libre de punto fijo de una superficie K3 por lo que el cociente es una superficie de Enriques.

Véase también

• Lista de superficies algebraicas
• Clasificación de Enriques-Kodaira
• Variedad supersingular

Referencias

• Artin, Michael (1960), Sobre las superficies de Enrique , tesis doctoral, Harvard
• Superficies complejas compactas de Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven ISBN 3-540-00832-2 Este es el libro de referencia estándar para superficies complejas compactas. 
• Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), "La clasificación de superficies de Enriques en la pág. III." (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 (1): 197–232, Bibcode :1976InMat..35..197B, doi :10.1007/BF01390138, ISSN  0020-9910, MR  0491720, S2CID  122816845
• Castelnuovo, G. (1895), "Sulle superficie di genere zero", Mem. Delle Soc. Italiano. Delle Scienze , Serie III, 10 : 103-123
• Cossec, François R.; Dolgachev, Igor V. (1989), Superficies de Enrique. I , Progreso en Matemáticas, vol. 76, Boston: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3417-9, Sr.  0986969
• Dolgachev, Igor V. (2016), Una breve introducción a las superficies de Enriques (PDF)
• Enriques, Federigo (1896), "Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche.", Mem. Soc. Italiano. Delle Scienze , 10 : 1–81
• Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche (PDF) , Nicola Zanichelli, Bolonia, MR  0031770
• Kondo, Shigeyuki (1994), "La racionalidad del espacio de módulos de las superficies de Enrique", Compositio Mathematica , 91 (2): 159–173
• Reye, T. (1882), Die Geometrie der Lage, Leipzig: Baumgärtnerś Buchhandlung