Dimensión Iitaka

En geometría algebraica , la dimensión Iitaka de un paquete de líneas L en una variedad algebraica X es la dimensión de la imagen de la aplicación racional al espacio proyectivo determinada por L. Esto es 1 menos que la dimensión del anillo de sección de L

${\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes d}).}$

La dimensión Iitaka de L es siempre menor o igual a la dimensión de X. Si L no es efectivo, entonces su dimensión Iitaka generalmente se define como negativa o simplemente se dice que es negativa (algunas de las primeras referencias la definen como −1). La dimensión Iitaka de L a veces se llama dimensión L, mientras que la dimensión de un divisor D se llama dimensión D. La dimensión Iitaka fue introducida por Shigeru Iitaka  (1970, 1971). ${\displaystyle -\infty }$

Paquetes de líneas grandes

Un paquete de líneas es grande si tiene una dimensión Iitaka máxima, es decir, si su dimensión Iitaka es igual a la dimensión de la variedad subyacente. La grandeza es una invariante biracional : si f  : Y → X es un morfismo biracional de variedades, y si L es un paquete de líneas grandes en X , entonces f ^* L es un paquete de líneas grandes en Y .

Todos los paquetes de líneas amplias son grandes.

Los grandes paquetes de líneas no necesitan determinar isomorfismos birracionales de X con su imagen. Por ejemplo, si C es una curva hiperelíptica (como una curva de género dos), entonces su paquete canónico es grande, pero el mapa racional que determina no es un isomorfismo biracional. En cambio, es una cobertura de dos a uno de la curva canónica de C , que es una curva normal racional .

Dimensión de Kodaira

La dimensión Iitaka del paquete canónico de una variedad suave se llama dimensión Kodaira .

conjetura de Iitaka

El mapa m-pluricanónico de variedades complejas M a W induce una estructura espacial de fibras.

Consideremos las variedades algebraicas complejas a continuación.

Sea K el paquete canónico en M. La dimensión de H ⁰ (M,K ^m ), secciones holomorfas de K ^m , se denota por P _m (M), llamado género m . Dejar

${\displaystyle N(M)=\{m\geq 1|P_{m}(M)\geq 1\},}$

entonces N(M) pasa a ser todo el número entero positivo con género m distinto de cero. Cuando N(M) no está vacío, para el mapa m-pluricanónico se define como el mapa ${\displaystyle m\in N(M)}$ ${\displaystyle \Phi _{mK}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{mK}:&M\longrightarrow \ \ \ \ \ \ \mathbb {P} ^{N}\\&z\ \ \ \mapsto \ \ (\varphi _{0}(z):\varphi _{1}(z):\cdots :\varphi _{N}(z))\end{aligned}}}$

donde están las bases de H ⁰ (M,K ^m ). Entonces la imagen de , se define como la subvariedad de . ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{mK}}$ ${\displaystyle \Phi _{mK}(M)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

Con seguridad, sea el mapa m-pluricanónico donde W es la variedad compleja incrustada en el espacio proyectivo P ^N. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}}$

En el caso de superficies con κ(M)=1, la W anterior se reemplaza por una curva C, que es una curva elíptica (κ(C)=0). Queremos extender este hecho a la dimensión general y obtener la estructura analítica de la fibra que se muestra en la figura superior derecha.

El mapa m-pluricanónico es invariante biracional. P _m (M)=P _m (W)

Dado un mapa biracional , el mapa m-pluricanónico trae el diagrama conmutativo representado en la figura de la izquierda, lo que significa que , es decir, el género m-pluricanónico es biracionalmente invariante. ${\displaystyle \varphi :M\longrightarrow W}$ ${\displaystyle \Phi _{mK}(M)=\Phi _{mK}(W)}$

La existencia del mapa biracional ψ : W _m1 → W _m2 en el espacio proyectivo

Iitaka muestra que dada una variedad compleja compacta de n dimensiones M con su dimensión de Kodaira κ(M) que satisface 1 ≤ κ(M) ≤ n-1, hay suficientes m ₁ , m ₂ tales que y son biracionalmente equivalentes, lo que significa que existen los mapas biracionales . Es decir, el diagrama que se muestra en la figura de la derecha es conmutativo. ${\displaystyle \Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)}$ ${\displaystyle \Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}$ ${\displaystyle \varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}$

Además, se puede seleccionar que sea biracional con y que sea biracional con ambos y tal que ${\displaystyle M^{*}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle W^{*}}$ ${\displaystyle W_{m_{1}}}$ ${\displaystyle W_{m_{1}}}$

${\displaystyle \Phi :M^{*}\longrightarrow W^{*}}$

En un mapa biracional, las fibras de están simplemente conectadas y las fibras generales de ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle M_{w}^{*}:=\Phi ^{-1}(w),\ \ w\in W^{*}}$

tener Kodaira dimensión 0.

La estructura de fibras anterior se llama espacio de fibras de Iitaka. En el caso de la superficie S ( n = 2 = dim(S)), W ^* es la curva algebraica, la estructura de la fibra es de dimensión 1, y luego las fibras generales tienen la dimensión de Kodaira 0, es decir, una curva elíptica. Por tanto, S es la superficie elíptica. Estos hechos se pueden generalizar al general n . Por lo tanto, el estudio de la geometría biracional de dimensiones superiores se descompone en la parte de κ=-∞,0,n y el espacio de fibras cuyas fibras son de κ=0.

La siguiente fórmula adicional de Iitaka, llamada conjetura de Iitaka , es importante para la clasificación de variedades algebraicas o variedades complejas compactas.

Conjetura de Iitaka  :  sea el espacio de fibras desde el rango m-dimensional al rango n-dimensional y ambas fibras conectadas. Entonces ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V_{w}=f^{-1}(w)}$

${\displaystyle \kappa (V)\geq \kappa (V_{w})+\kappa (W).}$

Esta conjetura se ha resuelto sólo parcialmente, por ejemplo en el caso de las variedades de Moishezon . Se podría decir que la teoría de la clasificación es el esfuerzo por resolver la conjetura de Iitaka y conducir a otros teoremas de que la variedad tridimensional V es abeliana si y sólo si κ(V)=0 y q(V)=3 y su generalización, así sucesivamente. . El programa modelo mínimo podría derivarse de esta conjetura.

Referencias

• Iitaka, Shigeru (1970), "Sobre las dimensiones D de variedades algebraicas", Proc. Académico de Japón. , 46 : 487–489, doi : 10.3792/pja/1195520260 , SEÑOR  0285532
• Iitaka, Shigeru (1971), "Sobre las dimensiones D de variedades algebraicas", J. Math. Soc. Japón. , 23 : 356–373, doi : 10.2969/jmsj/02320356 , SEÑOR  0285531
• Ueno, Kenji (1975), Teoría de clasificación de variedades algebraicas y espacios complejos compactos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 439, Springer-Verlag , MR  0506253