Dimensión de Kodaira

En geometría algebraica , la dimensión de Kodaira κ ( X ) mide el tamaño del modelo canónico de una variedad proyectiva  X.

Igor Shafarevich en un seminario introdujo un importante invariante numérico de superficies con la notación κ . ^[1] Shigeru Iitaka lo amplió y definió la dimensión Kodaira para variedades de dimensiones superiores (bajo el nombre de dimensión canónica), ^[2] y posteriormente le puso el nombre de Kunihiko Kodaira . ^[3]

Los plurigenerados

El paquete canónico de una variedad algebraica suave X de dimensión n sobre un campo es el paquete de líneas de n -formas,

${\displaystyle \,\!K_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X}^{1},}$

que es la n- ésima potencia exterior del fibrado cotangente de X. Para un número entero d , la d- ésima potencia tensorial de K _X es nuevamente un paquete de líneas. Para d ≥ 0, el espacio vectorial de secciones globales H ⁰ ( X , K _X ^d ) tiene la notable propiedad de que es un invariante biracional de variedades proyectivas suaves X . Es decir, este espacio vectorial se identifica canónicamente con el espacio correspondiente para cualquier variedad proyectiva suave que sea isomorfa a X fuera de los subconjuntos de dimensiones inferiores.

Para d ≥ 0, el d ésimo plurigenus de X se define como la dimensión del espacio vectorial de secciones globales de K _X ^d :

${\displaystyle P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\dim H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

Los plurigenerados son importantes invariantes biracionales de variedad algebraica. En particular, la forma más sencilla de demostrar que una variedad no es racional (es decir, no biracional al espacio proyectivo) es demostrar que algún plurigénero P _d con d > 0 no es cero. Si el espacio de secciones de K _X ^d es distinto de cero, entonces existe una aplicación racional natural de X al espacio proyectivo

${\displaystyle \mathbf {P} (H^{0}(X,K_{X}^{d}))=\mathbf {P} ^{P_{d}-1},}$

llamado mapa d - canónico . El anillo canónico R ( K _X ) de una variedad X es el anillo graduado

${\displaystyle R(K_{X}):=\bigoplus _{d\geq 0}H^{0}(X,K_{X}^{d}).}$

Véase también género geométrico y género aritmético .

La dimensión de Kodaira de X se define como si los plurigenera P _d son cero para todo d > 0; de lo contrario, es el mínimo κ tal que P _d /d ^κ está acotado. La dimensión de Kodaira de una variedad de n dimensiones es o un número entero en el rango de 0 a n . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Interpretaciones de la dimensión de Kodaira.

Los siguientes números enteros son iguales si no son negativos. Una buena referencia es Lazarsfeld (2004), Teorema 2.1.33.

• La dimensión de la construcción Proj , una variedad proyectiva llamada modelo canónico de X que depende únicamente de la clase de equivalencia biracional de X. (Esto se define sólo si el anillo canónico se genera de forma finita, lo cual es cierto en la característica cero y se conjetura en general. ) ${\displaystyle \operatorname {Proj} R(K_{X})}$ ${\displaystyle R=R(K_{X})}$
• La dimensión de la imagen del mapeo d -canónico para todos los múltiplos positivos d de algún entero positivo . ${\displaystyle d_{0}}$
• El grado de trascendencia del campo fraccionario de R , menos uno; es decir , donde t es el número de generadores algebraicamente independientes que se pueden encontrar. ${\displaystyle t-1}$
• La tasa de crecimiento de los plurigenera: es decir, el número más pequeño κ tal que está acotado. En notación O grande , es el mínimo κ tal que . ${\displaystyle P_{d}/d^{\kappa }}$ ${\displaystyle P_{d}=O(d^{\kappa })}$

Cuando uno de estos números no está definido o es negativo, todos lo son. En este caso, se dice que la dimensión de Kodaira es negativa o . Algunas referencias históricas lo definen como −1, pero la fórmula no siempre se cumple y el enunciado de la conjetura de Iitaka se vuelve más complicado. Por ejemplo, la dimensión de Kodaira es para todas las variedades  X . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \kappa (X\times Y)=\kappa (X)+\kappa (Y)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times X}$ ${\displaystyle -\infty }$

Solicitud

La dimensión de Kodaira proporciona una útil división aproximada de todas las variedades algebraicas en varias clases.

Las variedades con dimensiones Kodaira bajas pueden considerarse especiales, mientras que las variedades con dimensiones Kodaira máximas se consideran de tipo general.

Geométricamente, existe una correspondencia muy aproximada entre la dimensión de Kodaira y la curvatura: la dimensión de Kodaira negativa corresponde a la curvatura positiva, la dimensión de Kodaira cero corresponde a la planitud y la dimensión de Kodaira máxima (tipo general) corresponde a la curvatura negativa.

La especialidad de las variedades de baja dimensión de Kodaira es análoga a la especialidad de las variedades de Riemann de curvatura positiva (y el tipo general corresponde a la genericidad de la curvatura no positiva); consulte los teoremas clásicos , especialmente sobre curvatura seccional pellizcada y curvatura positiva .

Estas afirmaciones se precisan más a continuación.

Dimensión 1

Las curvas proyectivas suaves se clasifican discretamente por género , que puede ser cualquier número natural g = 0, 1, ....

Aquí "discretamente clasificado" significa que para un género determinado, existe un espacio de módulos irreducible de curvas de ese género.

La dimensión Kodaira de una curva X es:

• κ = : género 0 (la línea proyectiva P ¹ ): K _X no es efectivo, P _d = 0 para todo d > 0 . ${\displaystyle -\infty }$
• κ = 0: género 1 ( curvas elípticas ): K _X es un paquete trivial , P _d = 1 para todo d ≥ 0.
• κ = 1: género g ≥ 2: K _X es amplio , P _d = (2 d  − 1)( g  − 1) para todo  d  ≥ 2.

Compárese con el teorema de uniformización para superficies (superficies reales, ya que una curva compleja tiene una dimensión real 2): ​​la dimensión de Kodaira corresponde a la curvatura positiva, la dimensión de Kodaira 0 corresponde a la planitud, la dimensión de Kodaira 1 corresponde a la curvatura negativa. Tenga en cuenta que la mayoría de las curvas algebraicas son de tipo general: en el espacio de módulos de las curvas, dos componentes conectados corresponden a curvas que no son de tipo general, mientras que todos los demás componentes corresponden a curvas de tipo general. Además, el espacio de curvas de género 0 es un punto, el espacio de curvas de género 1 tiene dimensión (compleja) 1, y el espacio de curvas de género g  ≥ 2 tiene dimensión 3 g  − 3. ${\displaystyle -\infty }$

Dimensión 2

La clasificación Enriques-Kodaira clasifica superficies algebraicas: de forma aproximada según la dimensión de Kodaira, luego con más detalle dentro de una dimensión de Kodaira determinada. Para dar algunos ejemplos simples: el producto P ¹ × X tiene dimensión de Kodaira para cualquier curva X ; el producto de dos curvas de género 1 (una superficie abeliana) tiene dimensión de Kodaira 0; el producto de una curva de género 1 con una curva de género al menos 2 (una superficie elíptica) tiene dimensión de Kodaira 1; y el producto de dos curvas de género al menos 2 tiene dimensión Kodaira 2 y por tanto es de tipo general. ${\displaystyle -\infty }$

Para una superficie X de tipo general, la imagen del d -mapa canónico es biracional a X si  d  ≥ 5.

Cualquier dimensión

Las variedades racionales (variedades biracionales al espacio proyectivo) tienen dimensión Kodaira . Las variedades abelianas (los toros compactos y complejos que son proyectivos) tienen dimensión Kodaira cero. De manera más general, las variedades Calabi-Yau (en dimensión 1, curvas elípticas ; en dimensión 2, superficies abelianas , superficies K3 y cocientes de esas variedades por grupos finitos) tienen dimensión Kodaira cero (correspondiente a admitir métricas planas de Ricci). ${\displaystyle -\infty }$

Cualquier variedad en la característica cero que esté cubierta por curvas racionales (mapas no constantes de P ¹ ), llamada variedad sin reglas , tiene dimensión de Kodaira −∞. Por el contrario, las principales conjeturas de la teoría del modelo mínimo (en particular, la conjetura de la abundancia) implicarían que toda variedad de la dimensión de Kodaira −∞ no está reglamentada. Este converso es conocido por variedades de tamaño como máximo 3.

Siu (2002) demostró la invariancia de los plurigenerados bajo deformaciones para todas las variedades proyectivas complejas y lisas. En particular, la dimensión de Kodaira no cambia cuando la compleja estructura del colector cambia continuamente.

Una fibración de variedades proyectivas normales X → Y significa un morfismo sobreyectivo con fibras conectadas.

Para un X triple de tipo general, la imagen del d -mapa canónico es biracional a X si d ≥ 61. ^[4]

tipo general

Una variedad de tipo general X es una de dimensión Kodaira máxima (dimensión Kodaira igual a su dimensión):

${\displaystyle \kappa (X)=\dim X.}$

Las condiciones equivalentes son que el paquete de líneas sea grande , o que el d -mapa canónico sea genéricamente inyectivo (es decir, un mapa biracional a su imagen) para d suficientemente grande. ${\displaystyle K_{X}}$

Por ejemplo, una variedad con amplio paquete canónico es de tipo general.

En cierto sentido, la mayoría de las variedades algebraicas son de tipo general. Por ejemplo, una hipersuperficie suave de grado d en el espacio proyectivo n -dimensional es de tipo general si y solo si . En ese sentido, la mayoría de las hipersuperficies suaves en el espacio proyectivo son de tipo general. ${\displaystyle d>n+1}$

Las variedades de tipo general parecen demasiado complicadas para clasificarlas explícitamente, incluso para superficies. No obstante, hay algunos resultados positivos importantes sobre las variedades de tipo general. Por ejemplo, Enrico Bombieri demostró en 1973 que el mapa d -canónico de cualquier superficie compleja de tipo general es biracional para cada . De manera más general, Christopher Hacon y James McKernan , Shigeharu Takayama y Hajime Tsuji demostraron en 2006 que para cada entero positivo n , existe una constante tal que el mapa d -canónico de cualquier variedad compleja de n dimensiones de tipo general es biracional cuando . ${\displaystyle d\geq 5}$ ${\displaystyle c(n)}$ ${\displaystyle d\geq c(n)}$

El grupo de automorfismos birracionales de una variedad de tipo general es finito.

Aplicación a la clasificación

Sea X una variedad de dimensión de Kodaira no negativa sobre un campo de característica cero, y sea B el modelo canónico de X , B = Proj R ( X , K _X ); la dimensión de B es igual a la dimensión Kodaira de X. Existe una aplicación racional natural X – → B ; cualquier morfismo obtenido de él al hacer estallar X y B se llama fibración Iitaka . El modelo mínimo y las conjeturas de abundancia implicarían que la fibra general de la fibración Iitaka se puede organizar para que sea una variedad Calabi-Yau , que en particular tiene dimensión cero de Kodaira. Además, existe un Q -divisor Δ efectivo en B ( _no único) tal que el par ( B , Δ) es klt , KB + Δ es amplio y el anillo canónico de X es el mismo que el anillo canónico de ( B , Δ) en grados un múltiplo de algún d > 0. ^[5] En este sentido, X se descompone en una familia de variedades de Kodaira dimensión cero sobre una base ( B , Δ) de tipo general. (Tenga en cuenta que la variedad B por sí sola no tiene por qué ser de tipo general. Por ejemplo, hay superficies de dimensión 1 de Kodaira para las cuales la fibración Iitaka es una fibración elíptica sobre P ¹ ).

Dadas las conjeturas mencionadas, la clasificación de variedades algebraicas se reduciría en gran medida a los casos de dimensión de Kodaira , 0 y tipo general. Para la dimensión Kodaira y 0, existen algunos enfoques de clasificación. El modelo mínimo y las conjeturas de abundancia implicarían que cada variedad de dimensión de Kodaira no tiene reglas , y se sabe que cada variedad sin reglas en la característica cero es biracional a un espacio de fibra de Fano . El modelo mínimo y las conjeturas de abundancia implicarían que cada variedad de Kodaira dimensión 0 es biracional a una variedad Calabi-Yau con singularidades terminales . ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

La conjetura de Iitaka establece que la dimensión Kodaira de una fibración es al menos la suma de la dimensión Kodaira de la base y la dimensión Kodaira de una fibra general; véase Mori (1987) para un estudio. La conjetura de Iitaka ayudó a inspirar el desarrollo de la teoría del modelo mínimo en las décadas de 1970 y 1980. Ahora se conoce en muchos casos y, en general, se derivaría del modelo mínimo y de las conjeturas de abundancia.

La relación con las variedades de Moishezon

Nakamura y Ueno demostraron la siguiente fórmula de aditividad para variedades complejas (Ueno (1975)). Aunque no es necesario que el espacio base sea algebraico, la suposición de que todas las fibras son isomorfas es muy especial. Incluso con esta suposición, la fórmula puede fallar cuando la fibra no es Moishezon.

Sea π: V → W un haz de fibras analítico de variedades complejas compactas, lo que significa que π es localmente un producto (y por lo tanto todas las fibras son isomorfas como variedades complejas). Supongamos que la fibra F es una variedad de Moishezon . Entonces

${\displaystyle \kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W).}$

Ver también

• Lista de superficies complejas y algebraicas.
• Clasificación Enriques-Kodaira

Notas

1. Shafarevich y col. 1965.
2. Iitaka 1970.
3. Iitaka 1971.
4. JA Chen y M. Chen, Geometría biracional explícita de 3 y 4 pliegues de tipo general III, Teorema 1.4.
5. O. Fujino y S. Mori, J. Diff. Geom. 56 (2000), 167-188. Teoremas 5.2 y 5.4.

Referencias

• Chen, Jungkai A.; Chen, Meng (2014), "Geometría biracional explícita de 3 y 4 pliegues de tipo general, III", Compositio Mathematica , 151 (6): 1041–1082, arXiv : 1302.0374 , Bibcode : 2013arXiv1302.0374M, doi : 10.1112/S0010437X14007817, S2CID  119123326
• Dolgachev, Igor (2001) [1994], "Kodaira dimension", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Fujino, Osamu; Mori, Shigefumi (2000), "Una fórmula de paquete canónico", Journal of Differential Geometry , 56 (1): 167–188, doi : 10.4310/jdg/1090347529 , MR  1863025
• Iitaka, Shigeru (1970), "Sobre las dimensiones D de variedades algebraicas", Proc. Académico de Japón. , 46 (6): 487–489, doi : 10.3792/pja/1195520260 , SEÑOR  0285532
• Iitaka, Shigeru (1971), "Sobre las dimensiones D de variedades algebraicas", J. Math. Soc. Japón. , 23 (2): 356–373, doi : 10.2969/jmsj/02320356 , SEÑOR  0285531
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica , vol. 1, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 978-3-540-22533-1, señor  2095471
• Mori, Shigefumi (1987), "Clasificación de variedades de dimensiones superiores", Geometría algebraica (Bowdoin, 1985) , Actas de simposios en matemáticas puras, vol. 46, Parte 1, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, págs. 269–331, SEÑOR  0927961
• Shafarevich, Igor R .; Averbuh, BG; Vaĭnberg, Ju. R.; Zhizhchenko, AB; Manin, Yuri I .; Moĭshezon, Boris G .; Tjurina, GN; Tjurin, AN (1965), "Superficies algebraicas", Akademiya Nauk SSSR. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova , 75 : 1–215, ISSN  0371-9685, MR  0190143, Zbl  0154.21001
• Siu, Yum-Tong (2002), "Extensión de secciones pluricanónicas retorcidas con peso plurisubarmónico e invariancia de plurigéneros retorcidos semipositivamente para variedades no necesariamente de tipo general", Geometría compleja (Gottingen, 2000) , Berlín: Springer-Verlag , págs. 223–277, SEÑOR  1922108
• Ueno, Kenji (1975), Teoría de clasificación de variedades algebraicas y espacios complejos compactos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 439, Springer-Verlag , MR  0506253