En geometría algebraica , el programa de modelo mínimo forma parte de la clasificación biracional de variedades algebraicas . Su objetivo es construir un modelo biracional de cualquier variedad proyectiva compleja que sea lo más simple posible. La materia tiene su origen en la geometría biracional clásica de superficies estudiada por la escuela italiana , y actualmente es un área de investigación activa dentro de la geometría algebraica.
La idea básica de la teoría es simplificar la clasificación biracional de variedades encontrando, en cada clase de equivalencia biracional, una variedad que sea "lo más simple posible". El significado preciso de esta frase ha evolucionado con el desarrollo del tema; Originalmente para superficies, significaba encontrar una variedad suave para la cual cualquier morfismo biracional con una superficie lisa es un isomorfismo .
En la formulación moderna, el objetivo de la teoría es el siguiente. Supongamos que se nos da una variedad proyectiva , que por simplicidad se supone no singular. Hay dos casos según su dimensión Kodaira : [1]
La cuestión de si las variedades y que aparecen arriba no son singulares es importante. Parece natural esperar que si comenzamos con liso , siempre podamos encontrar un modelo mínimo o espacio de fibra Fano dentro de la categoría de variedades lisas. Sin embargo, esto no es cierto, por lo que es necesario considerar también las variedades singulares. Las singularidades que aparecen se denominan singularidades terminales .
Cada curva algebraica compleja irreducible es biracional a una curva proyectiva suave única, por lo que la teoría de las curvas es trivial. El caso de las superficies fue investigado por primera vez por los geómetras de la escuela italiana hacia 1900; El teorema de contracción de Guido Castelnuovo describe esencialmente el proceso de construcción de un modelo mínimo de cualquier superficie. El teorema establece que cualquier morfismo biracional no trivial debe contraer una curva −1 hasta un punto suave y, a la inversa, cualquier curva de este tipo puede contraerse suavemente. Aquí una curva −1 es una curva racional suave C con autointersección. Cualquier curva de este tipo debe tener lo que muestra que si la clase canónica es nef entonces la superficie no tiene curvas −1.
El teorema de Castelnuovo implica que para construir un modelo mínimo para una superficie lisa, simplemente contraemos todas las curvas −1 de la superficie, y la variedad resultante Y es un modelo mínimo (único) con K nef o una superficie reglada (que es lo mismo que un espacio de fibra de Fano bidimensional y es un plano proyectivo o una superficie reglada sobre una curva). En el segundo caso, la superficie reglada biracional a X no es única, aunque hay una única isomorfa al producto de la recta proyectiva y una curva. Un punto algo sutil es que aunque una superficie pueda tener infinitas curvas -1, sólo es necesario contraer un número finito de ellas para obtener una superficie sin curvas -1.
En dimensiones mayores que 2, la teoría se vuelve mucho más complicada. En particular, existen variedades suaves que no son biracionales a ninguna variedad suave con clase canónica nef . El principal avance conceptual de los años setenta y principios de los ochenta fue que la construcción de modelos mínimos todavía es factible, siempre que se tenga cuidado con los tipos de singularidades que ocurren. (Por ejemplo, queremos decidir si es nef, por lo que se deben definir los números de intersección. Por lo tanto, como mínimo, nuestras variedades deben ser un divisor Cartier para algún número entero positivo ).
El primer resultado clave es el teorema del cono de Shigefumi Mori , que describe la estructura del cono de curvas de . Brevemente, el teorema muestra que a partir de , se puede construir inductivamente una secuencia de variedades , cada una de las cuales está "más cerca" que la anterior de tener nef. Sin embargo, el proceso puede encontrar dificultades: en algún momento la variedad puede volverse "demasiado singular". La solución conjetural a este problema es el flip , una especie de operación quirúrgica de codimensión 2 . No está claro que los cambios requeridos existan, ni que siempre terminen (es decir, que se alcance un modelo mínimo en un número finito de pasos). Mori (1988) demostró que existen volteos en el caso tridimensional.
La existencia de los cambios de registro más generales fue establecida por Vyacheslav Shokurov en las dimensiones tres y cuatro. Posteriormente, Caucher Birkar , Paolo Cascini, Christopher Hacon y James McKernan generalizaron esto a dimensiones superiores, basándose en trabajos anteriores de Shokurov, Hacon y McKernan. También demostraron varios otros problemas, incluida la generación finita de anillos canónicos de registros y la existencia de modelos mínimos para variedades de tipos generales de registros.
El problema de la terminación de los volteos de troncos en dimensiones superiores sigue siendo objeto de investigación activa.
