En geometría algebraica , una variedad sobre un cuerpo k está reglada si es biracional al producto de la línea proyectiva con alguna variedad sobre k . Una variedad no está reglada si está cubierta por una familia de curvas racionales . (Más precisamente, una variedad X no está reglada si hay una variedad Y y una función racional dominante Y × P 1 – → X que no se factoriza a través de la proyección a Y ). El concepto surgió de las superficies regladas de la geometría del siglo XIX, es decir, superficies en el espacio afín o en el espacio proyectivo que están cubiertas por líneas. Las variedades no regladas pueden considerarse relativamente simples entre todas las variedades, aunque hay muchas de ellas.
Toda variedad no reglada sobre un cuerpo de característica cero tiene dimensión de Kodaira −∞. La inversa es una conjetura que se conoce en dimensión como máximo 3: una variedad de dimensión de Kodaira −∞ sobre un cuerpo de característica cero debería no tener regla. Una afirmación relacionada se conoce en todas las dimensiones: Boucksom, Demailly , Păun y Peternell demostraron que una variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo de característica cero no tiene regla si y solo si el fibrado canónico de X no es pseudoefectivo (es decir, no está en el cono convexo cerrado generado por divisores efectivos en el grupo de Néron-Severi tensado con los números reales). [1] Como caso muy especial, una hipersuperficie suave de grado d en P n sobre un cuerpo de característica cero no tiene regla si y solo si d ≤ n , por la fórmula de adjunción . (De hecho, una hipersuperficie suave de grado d ≤ n en P n es una variedad de Fano y, por lo tanto, está racionalmente conexa , lo que es más fuerte que no estar regulada).
Una variedad X sobre un cuerpo algebraicamente cerrado incontable k no tiene regla si y solo si hay una curva racional que pasa por cada punto k de X. Por el contrario, hay variedades sobre el cierre algebraico k de un cuerpo finito que no tienen regla pero tienen una curva racional que pasa por cada punto k . (La variedad Kummer de cualquier superficie abeliana no supersingular sobre F p con p impar tiene estas propiedades. [2] ) No se sabe si existen variedades con estas propiedades sobre el cierre algebraico de los números racionales .
La no regla es una propiedad geométrica (no cambia bajo extensiones de campo), mientras que la regla no lo es. Por ejemplo, la cónica x 2 + y 2 + z 2 = 0 en P 2 sobre los números reales R no tiene regla pero no la tiene. (La curva asociada sobre los números complejos C es isomorfa a P 1 y, por lo tanto, tiene regla). En la dirección positiva, toda variedad no reglada de dimensión como máximo 2 sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero tiene regla. Las 3-pliegues cúbicas suaves y las 3-pliegues cuárticas suaves en P 4 sobre C no tienen regla pero no la tienen.
La no regla se comporta de manera muy diferente en característica positiva. En particular, hay superficies no regladas (e incluso uniracionales ) de tipo general : un ejemplo es la superficie x p +1 + y p +1 + z p +1 + w p +1 = 0 en P 3 sobre F p , para cualquier número primo p ≥ 5. [3] Por lo tanto, la no regla no implica que la dimensión de Kodaira sea −∞ en característica positiva.
Una variedad X es separablemente unirregulada si hay una variedad Y con una función racional separable dominante Y × P 1 – → X que no se factoriza a través de la proyección a Y . ("Separable" significa que la derivada es sobreyectiva en algún punto; esto sería automático para una función racional dominante en característica cero). Una variedad separablemente unirregulada tiene dimensión Kodaira −∞. Lo inverso es cierto en dimensión 2, pero no en dimensiones superiores. Por ejemplo, hay una 3-pliegue proyectiva suave sobre F 2 que tiene dimensión Kodaira −∞ pero no es separablemente unirregulada. [4] No se sabe si cada variedad suave de Fano en característica positiva es separablemente unirregulada.