Curva elíptica supersingular

En geometría algebraica , las curvas elípticas supersingulares forman una cierta clase de curvas elípticas sobre un campo de característica p > 0 con anillos de endomorfismo  inusualmente grandes . Las curvas elípticas sobre campos que no son supersingulares se denominan ordinarias y estas dos clases de curvas elípticas se comportan de manera fundamentalmente diferente en muchos aspectos. Hasse (1936) descubrió curvas elípticas supersingulares durante su trabajo sobre la hipótesis de Riemann para curvas elípticas al observar que las curvas elípticas características positivas podrían tener anillos de endomorfismo de rango 4 inusualmente grandes, y Deuring (1941) desarrolló su teoría básica.

El término "supersingular" no tiene nada que ver con puntos singulares de curvas , y todas las curvas elípticas supersingulares son no singulares. Proviene de la frase " valores singulares del invariante j" que se usa para los valores del invariante j para los cuales una curva elíptica compleja tiene una multiplicación compleja . Las curvas elípticas complejas con multiplicación compleja son aquellas para las cuales el anillo de endomorfismo tiene el máximo rango posible 2. En característica positiva es posible que el anillo de endomorfismo sea aún mayor: puede ser un orden en un álgebra de cuaterniones de dimensión 4, en en cuyo caso la curva elíptica es supersingular. Los primos p tales que cada curva elíptica supersingular en la característica p se puede definir sobre el subcampo primo en lugar de se llaman primos supersingulares . ${\displaystyle F_{p}}$ ${\displaystyle F_{p^{m}}}$

Definición

Se han utilizado muchas formas diferentes pero equivalentes de definir curvas elípticas supersingulares. Algunas de las formas de definirlos se dan a continuación. Sea un campo con cierre algebraico y E una curva elíptica sobre K . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$

• Los puntos valorados tienen la estructura de un grupo abeliano . Para cada n, tenemos un mapa de multiplicación . Su núcleo se denota por . Ahora supongamos que la característica de K es p  > 0. Entonces se puede demostrar que ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle E({\overline {K}})}$ ${\displaystyle [n]:E\to E}$ ${\displaystyle E[n]}$

${\displaystyle E[p^{r}]({\overline {K}})\cong {\begin{cases}0&{\mbox{or}}\\\mathbb {Z} /p^{r}\mathbb {Z} \end{cases}}}$

para r = 1, 2, 3,... En el primer caso, E se llama supersingular . De lo contrario se llama ordinario . En otras palabras, una curva elíptica es supersingular si y sólo si el grupo de puntos geométricos de orden p es trivial.

• Las curvas elípticas supersingulares tienen muchos endomorfismos sobre el cierre algebraico en el sentido de que una curva elíptica es supersingular si y sólo si su álgebra de endomorfismo (sobre ) es un orden en un álgebra de cuaterniones. Por lo tanto, su álgebra de endomorfismo (sobre ) tiene rango 4, mientras que el grupo de endomorfismo de cualquier otra curva elíptica tiene solo rango 1 o 2. El anillo de endomorfismo de una curva elíptica supersingular puede tener rango menor que 4, y puede ser necesario tomar una extensión finita del campo base K para hacer que el rango del anillo de endomorfismo sea 4. En particular, el anillo de endomorfismo de una curva elíptica sobre un campo de orden primo nunca es de rango 4, incluso si la curva elíptica es supersingular. ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$
• Sea G el grupo formal asociado a  E . Dado que K es de característica positiva, podemos definir su altura ht( G ), que es 2 si y sólo si E es supersingular y en caso contrario es 1.
• Tenemos un morfismo de Frobenius , que induce un mapa en cohomología. ${\displaystyle F:E\to E}$

${\displaystyle F^{*}:H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})\to H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})}$.

La curva elíptica E es supersingular si y sólo si es igual a 0. ${\displaystyle F^{*}}$

• Tenemos un operador Verschiebung , que induce un mapa en las 1 formas globales. ${\displaystyle V:E\to E}$

${\displaystyle V^{*}:H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})\to H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})}$.

La curva elíptica E es supersingular si y sólo si es igual a 0. ${\displaystyle V^{*}}$

• Una curva elíptica es supersingular si y sólo si su invariante de Hasse es 0.
• Una curva elíptica es supersingular si y sólo si el esquema de grupo de puntos de orden p es conexo.
• Una curva elíptica es supersingular si y sólo si el dual del mapa de Frobenius es puramente inseparable.
• Una curva elíptica es supersingular si y sólo si el mapa de "multiplicación por p " es puramente inseparable y el j -invariante de la curva se encuentra en una extensión cuadrática del campo primo de K , un campo finito de orden p ² .
• Supongamos que E está en la forma de Legendre , definida por la ecuación , y p es impar. Entonces para , E es supersingular si y sólo si la suma ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}\lambda ^{i}}$

desaparece, donde . Usando esta fórmula, se puede demostrar que solo hay un número finito de curvas elípticas supersingulares sobre K (hasta el isomorfismo). ${\displaystyle n=(p-1)/2}$

• Supongamos que E está dada como una curva cúbica en el plano proyectivo dado por un polinomio cúbico homogéneo f ( x , y , z ). Entonces E es supersingular si y sólo si el coeficiente de ( xyz ) ^{p –1} en f ^{p –1} es cero.
• Si el campo K es un campo finito de orden q , entonces una curva elíptica sobre K es supersingular si y sólo si la traza del endomorfismo de Frobenius de potencia q es congruente con cero módulo p .

Cuando q = p es un primo mayor que 3 esto equivale a tener la traza de Frobenius igual a cero (por la cota de Hasse ); esto no es válido para p =2 o 3.

Ejemplos

• Si K es un campo de característica 2, toda curva definida por una ecuación de la forma

${\displaystyle y^{2}+a_{3}y=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

con un ₃ distinto de cero es una curva elíptica supersingular y, a la inversa, toda curva supersingular es isomorfa a una de esta forma (ver Washington 2003, p. 122).

• Sobre el campo con 2 elementos, cualquier curva elíptica supersingular es isomorfa exactamente a una de las curvas elípticas supersingulares.

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+x+1}$

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+1}$

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}+x}$

con 1, 3 y 5 puntos. Esto da ejemplos de curvas elípticas supersingulares sobre un campo primo con diferente número de puntos.

• Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 2 hay (hasta el isomorfismo) exactamente una curva elíptica supersingular, dada por

${\displaystyle y^{2}+y=x^{3}}$,

con j -invariante 0. Su anillo de endomorfismos es el anillo de cuaterniones de Hurwitz , generado por los dos automorfismos y donde hay una raíz cúbica primitiva de la unidad. Su grupo de automorfismos es el grupo de unidades de los cuaterniones de Hurwitz, que tiene orden 24, contiene un subgrupo normal de orden 8 isomorfo al grupo de cuaterniones , y es el grupo tetraédrico binario ${\displaystyle x\rightarrow x\omega }$ ${\displaystyle y\rightarrow y+x+\omega ,x\rightarrow x+1}$ ${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0}$

• Si K es un campo de característica 3, toda curva definida por una ecuación de la forma

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+a_{4}x+a_{6}}$

con un ₄ distinto de cero es una curva elíptica supersingular y, a la inversa, toda curva supersingular es isomorfa a una de esta forma (ver Washington 2003, p. 122).

• Sobre el campo con 3 elementos, cualquier curva elíptica supersingular es isomorfa exactamente a una de las curvas elípticas supersingulares.

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x+1}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x+2}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x}$

• Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 3 hay (hasta el isomorfismo) exactamente una curva elíptica supersingular, dada por

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$,

con j -invariante 0. Su anillo de endomorfismos es el anillo de cuaterniones de la forma a + bj con a y b enteros de Eisenstein . , generado por los dos automorfismos y donde i es una raíz cuarta primitiva de la unidad. Su grupo de automorfismos es el grupo de unidades de estos cuaterniones, que tiene orden 12 y contiene un subgrupo normal de orden 3 con cociente de un grupo cíclico de orden 4. ${\displaystyle x\rightarrow x+1}$ ${\displaystyle y\rightarrow iy,x\rightarrow -x}$

• Porque con p>3 la curva elíptica definida por con j -invariante 0 es supersingular si y sólo si y la curva elíptica definida por con j -invariante 1728 es supersingular si y sólo si (ver Washington2003, 4.35). ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+1}$ ${\displaystyle p\equiv 2{\text{(mod 3)}}}$ ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x}$ ${\displaystyle p\equiv 3{\text{(mod 4)}}}$
• La curva elíptica dada por es no singular sobre for . Es supersingular para p = 23 y ordinario para todos los demás (ver Hartshorne 1977, 4.23.6). ${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x+2)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2,3}$ ${\displaystyle p\leq 73}$
• La curva modular X ₀ (11) tiene j -invariante −2 ¹² 11 ⁻⁵ 31 ³ y es isomorfa a la curva y ² + y = x ³ − x ² − 10 x − 20. Los primos p para los cuales es supersingulares son aquellos para los cuales el coeficiente de q ^p en η(τ) ² η(11τ) ² desaparece mod p , y están dados por la lista

2, 19, 29, 199, 569, 809, 1289, 1439, 2539, 3319, 3559, 3919, 5519, 9419, 9539, 9929,... OEIS : A006962

• Si una curva elíptica sobre los racionales tiene multiplicación compleja, entonces el conjunto de números primos para los cuales es supersingular tiene densidad 1/2. Si no tiene multiplicación compleja, Serre demostró que el conjunto de números primos para los cuales es supersingular tiene densidad cero. Elkies (1987) demostró que cualquier curva elíptica definida sobre los racionales es supersingular para un número infinito de números primos.

Clasificación

Para cada característica positiva sólo hay un número finito de posibles j -invariantes de curvas elípticas supersingulares. Sobre un campo algebraicamente cerrado K una curva elíptica está determinada por su j -invariante, por lo que sólo hay un número finito de curvas elípticas supersingulares. Si cada una de estas curvas está ponderada por 1/|Aut( E )| entonces el peso total de las curvas supersingulares es ( p –1)/24. Las curvas elípticas tienen grupos de automorfismos de orden 2 a menos que su j -invariante sea 0 o 1728, por lo que las curvas elípticas supersingulares se clasifican de la siguiente manera. Hay exactamente ⌊ p /12⌋ curvas elípticas supersingulares con grupos de automorfismos de orden 2. Además, si p ≡3 mod 4 hay una curva elíptica supersingular (con j -invariante 1728) cuyo grupo de automorfismos es cíclico o de orden 4 a menos que p = 3 en cuyo caso tiene orden 12, y si p ≡2 mod 3 hay una curva elíptica supersingular (con j -invariante 0) cuyo grupo de automorfismos es cíclico de orden 6 a menos que p =2 en cuyo caso tiene orden 24.

Birch y Kuyk (1975) dan una tabla de todos los j -invariantes de curvas supersingulares para primos hasta 307. Para los primeros primos, las curvas elípticas supersingulares se dan de la siguiente manera. El número de valores supersingulares de j distintos de 0 o 1728 es la parte entera de (p−1)/12.

Ver también

• Primo supersingular (teoría algebraica de números)
• Primo supersingular (teoría del alcohol ilegal)
• Variedad supersingular

Referencias

• Abedul, BJ ; Kuyk, W., eds. (1975), "Tabla 6", Funciones modulares de una variable. IV , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 476, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 142-144, doi :10.1007/BFb0097591, ISBN 978-3-540-07392-5, SEÑOR  0376533, Zbl  0315.14014
• Deuring, Max (1941), "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 14 : 197–272, doi : 10.1007/BF02940746, SEÑOR  0005125
• Elkies, Noam D. (1987), "La existencia de infinitos números primos supersingulares para cada curva elíptica sobre Q", Inventiones Mathematicae , 89 (3): 561–567, doi :10.1007/BF01388985, ISSN  0020-9910, SEÑOR  0903384 , Zbl  0631.14024
• Robin Hartshorne (1977), Geometría algebraica , Springer. ISBN 1-4419-2807-3 
• Hasse (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper I. Die Struktur der Gruppe der Divisorenklassen endlicher Ordnung. II. Automorphismen und Meromorphismen. Das Additionstheorem. III. Die Struktur des Meromorphismenrings. Die Riemannsche Vermutung.", J. Reine Angew. Matemáticas. , 175 : 55–62, 69–88, 193–208
• Joseph H. Silverman (2009), La aritmética de las curvas elípticas , Springer. ISBN 0-387-09493-8 
• Lawrence C. Washington (2003), Curvas elípticas , Chapman & Hall. ISBN 1-58488-365-0