Superficie cuártica

Superficie descrita por un polinomio de cuarto grado

En matemáticas , especialmente en geometría algebraica , una superficie cuártica es una superficie definida por una ecuación de grado 4.

Más específicamente, hay dos tipos de superficies cuárticas estrechamente relacionadas: afín y proyectiva. Una superficie cuártica afín es el conjunto solución de una ecuación de la forma

${\displaystyle f(x,y,z)=0\ }$

donde f es un polinomio de grado 4, como por ejemplo ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+xyz+z^{2}-1}$ . Esta es una superficie en el espacio afín A ³ .

Por otro lado, una superficie cuártica proyectiva es una superficie en el espacio proyectivo P ³ de la misma forma, pero ahora f es un polinomio homogéneo de 4 variables de grado 4, así por ejemplo ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x,y,z,w)=x^{4}+y^{4}+xyzw+z^{2}w^{2}-w^{4}}$ .

Si el campo base es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ la superficie se dice que es real o compleja respectivamente. Hay que tener cuidado de distinguir entre superficies de Riemann algebraicas , que son de hecho curvas cuárticas sobre ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , y superficies cuárticas sobre ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Por ejemplo, la cuártica de Klein es una superficie real dada como una curva cuártica sobre ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Si, por otro lado, el campo base es finito, entonces se dice que es una superficie cuártica aritmética .

Superficies cuárticas especiales

• Ciclidos de Dupin
• La cuártica de Fermat, dada por x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ + w ⁴ = 0 (un ejemplo de una superficie K3).
• De manera más general, ciertas superficies K3 son ejemplos de superficies cuárticas.
• Superficie de Kummer
• Superficie de Plücker
• Superficie de cuña

Véase también

• Superficie cuadrática (La unión de dos superficies cuadráticas es un caso especial de superficie cuártica)
• Superficie cúbica (La unión de una superficie cúbica y un plano es otro tipo particular de superficie cuártica)

Referencias

• Hudson, RWHT (1990), Superficie cuártica de Kummer, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39790-2, Sr.  1097176
• Jessop, CM (1916), Superficies cuárticas con puntos singulares, Biblioteca de la Universidad de Cornell, ISBN 978-1-4297-0393-2