En matemáticas , un esquema de módulos es un espacio de módulos que existe en la categoría de esquemas desarrollados por Alexander Grothendieck . Algunos problemas importantes de módulos de la geometría algebraica pueden resolverse satisfactoriamente mediante la teoría de esquemas únicamente, mientras que otros requieren alguna extensión del concepto de "objeto geométrico" ( espacios algebraicos , pilas algebraicas de Michael Artin ).
El trabajo de Grothendieck y David Mumford (ver teoría invariante geométrica ) abrió esta área a principios de los años 1960. El enfoque más algebraico y abstracto de los problemas de módulos es plantearlos como una pregunta de funtor representable y luego aplicar un criterio que seleccione los functores representables para los esquemas. Cuando este enfoque programático funciona, el resultado es un esquema de módulos fino . Bajo la influencia de ideas más geométricas, basta con encontrar un esquema que proporcione los puntos geométricos correctos . Esto se parece más a la idea clásica de que el problema de módulos es expresar la estructura algebraica que viene naturalmente con un conjunto (por ejemplo, clases de isomorfismo de curvas elípticas ).
El resultado es entonces un esquema de módulos aproximados . Su falta de refinamiento es, en términos generales, que no garantiza para las familias de objetos lo que es inherente al esquema de módulos finos. Como señaló Mumford en su libro Teoría de la invariante geométrica , uno podría querer tener la versión buena, pero hay un problema técnico ( estructura de niveles y otras 'marcas') que debe abordarse para obtener una pregunta con posibilidades de tener tal respuesta.
Teruhisa Matsusaka demostró un resultado, ahora conocido como el gran teorema de Matsusaka , estableciendo una condición necesaria en un problema de módulos para la existencia de un esquema de módulos aproximados. [1]
Mumford demostró que si g > 1, existe un esquema de módulos gruesos de curvas suaves de género g , que es cuasi proyectivo . [2] Según un estudio reciente de János Kollár , "tiene una geometría intrínseca rica e intrigante que está relacionada con cuestiones importantes en muchas ramas de las matemáticas y la física teórica". [3] Braungardt ha planteado la cuestión de si el teorema de Belyi puede generalizarse a variedades de dimensión superior en el campo de números algebraicos , con la formulación de que generalmente son biracionales a una cobertura de étale finita de un espacio de módulos de curvas. [4]
Utilizando la noción de paquete de vectores estable , se ha demostrado que existen esquemas de módulos gruesos para los paquetes de vectores en cualquier variedad compleja suave y que son cuasi proyectivos: la declaración utiliza el concepto de semiestabilidad . [5] Es posible identificar el espacio de módulos gruesos de haces instantáneos especiales , en física matemática, con objetos en la geometría clásica de las cónicas, en ciertos casos. [6]