En geometría algebraica , un esquema suave sobre un campo es un esquema que se aproxima bien mediante un espacio afín cerca de cualquier punto. La suavidad es una forma de precisar la noción de un esquema sin puntos singulares . Un caso especial es la noción de variedad suave sobre un campo. Los esquemas suaves desempeñan un papel en la geometría algebraica de variedades en topología.
Primero, sea X un esquema afín de tipo finito sobre un campo k . De manera equivalente, X tiene una inmersión cerrada en un espacio afín An sobre k para algún número natural n . Entonces X es el subesquema cerrado definido por algunas ecuaciones g 1 = 0, ..., g r = 0, donde cada g i está en el anillo polinómico k [ x 1 ,..., x n ]. El esquema afín X es suave de dimensión m sobre k si X tiene dimensión al menos m en una vecindad de cada punto, y la matriz de derivadas (∂ g i /∂ x j ) tiene rango al menos n − m en todas partes de X . [1] (De ello se deduce que X tiene una dimensión igual a m en una vecindad de cada punto). La suavidad es independiente de la elección de inmersión de X en un espacio afín.
Se entiende que la condición en la matriz de derivadas significa que el subconjunto cerrado de X donde todos ( n − m ) × ( n − m ) menores de la matriz de derivadas son cero es el conjunto vacío. De manera equivalente, el ideal en el anillo polinómico generado por todos los g i y todos esos menores es el anillo polinómico completo.
En términos geométricos, la matriz de derivadas (∂ g i /∂ x j ) en un punto p en X da un mapa lineal F n → F r , donde F es el campo residual de p . El núcleo de este mapa se llama espacio tangente de Zariski de X en p . La suavidad de X significa que la dimensión del espacio tangente de Zariski es igual a la dimensión de X cerca de cada punto; en un punto singular , el espacio tangente de Zariski sería mayor.
De manera más general, un esquema X sobre un campo k es suave sobre k si cada punto de X tiene una vecindad abierta que es un esquema afín suave de alguna dimensión sobre k . En particular, un esquema suave sobre k es localmente de tipo finito .
Existe una noción más general de un morfismo suave de esquemas, que es más o menos un morfismo con fibras suaves. En particular, un esquema X es suave sobre un campo k si y solo si el morfismo X → Spec k es suave.
Un esquema suave sobre un campo es regular y, por tanto, normal . En particular, se reduce un esquema suave sobre un campo .
Defina una variedad sobre un campo k como un esquema integral separado de tipo finito sobre k . Entonces, cualquier esquema suave y separado de tipo finito sobre k es una unión finita disjunta de variedades suaves sobre k .
Para una variedad suave X sobre números complejos , el espacio X ( C ) de puntos complejos de X es una variedad compleja , utilizando la topología clásica (euclidiana). Asimismo, para una variedad suave X sobre los números reales, el espacio X ( R ) de puntos reales es una variedad real , posiblemente vacía.
Para cualquier esquema X que sea localmente de tipo finito sobre un campo k , existe un haz coherente Ω 1 de diferenciales en X. El esquema X es suave sobre k si y sólo si Ω 1 es un conjunto de vectores de rango igual a la dimensión de X cerca de cada punto. [2] En ese caso, Ω 1 se llama fibrado cotangente de X. El paquete tangente de un esquema suave sobre k se puede definir como el paquete dual, TX = (Ω 1 ) * .
La suavidad es una propiedad geométrica , lo que significa que para cualquier extensión de campo E de k , un esquema X es suave sobre k si y sólo si el esquema X E := X × Spec k Spec E es suave sobre E. Para un campo perfecto k , un esquema X es suave sobre k si y sólo si X es localmente de tipo finito sobre k y X es regular .
Se dice que un esquema X es genéricamente suave de dimensión n sobre k si X contiene un subconjunto denso abierto que es suave de dimensión n sobre k . Cada variedad sobre un campo perfecto (en particular un campo algebraicamente cerrado) es genéricamente suave. [3]