Teorema de Hasse sobre curvas elípticas

Estima el número de puntos en una curva elíptica sobre un campo finito

El teorema de Hasse sobre curvas elípticas , también conocido como límite de Hasse, proporciona una estimación del número de puntos en una curva elíptica sobre un campo finito , limitando el valor tanto por arriba como por abajo.

Si N es el número de puntos de la curva elíptica E sobre un campo finito con q elementos, entonces el resultado de Hasse establece que

${\displaystyle |N-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}.}$

La razón es que N difiere de q + 1, el número de puntos de la línea proyectiva sobre el mismo campo, por un 'término de error' que es la suma de dos números complejos , cada uno de valor absoluto. ${\displaystyle {\sqrt {q}}.}$

Este resultado había sido conjeturado originalmente por Emil Artin en su tesis. ^[1] Hasse lo demostró en 1933, y la prueba se publicó en una serie de artículos en 1936. ^[2]

El teorema de Hasse equivale a la determinación del valor absoluto de las raíces de la función zeta local de E. De esta forma, puede verse como un análogo de la hipótesis de Riemann para el campo funcional asociado con la curva elíptica.

Hasse-Weil obligado

Una generalización del límite de Hasse a curvas algebraicas de género superior es el límite de Hasse-Weil. Esto proporciona un límite al número de puntos de una curva sobre un campo finito. Si el número de puntos de la curva C de género g sobre el campo finito de orden q es , entonces ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \#C(\mathbb {F} _{q})}$

${\displaystyle |\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

Este resultado es nuevamente equivalente a la determinación del valor absoluto de las raíces de la función zeta local de C , y es análogo a la hipótesis de Riemann para el campo funcional asociado con la curva.

El límite de Hasse-Weil se reduce al límite de Hasse habitual cuando se aplica a curvas elípticas, que tienen género g=1 .

La cota de Hasse-Weil es una consecuencia de las conjeturas de Weil , propuestas originalmente por André Weil en 1949 y demostradas por André Weil en el caso de curvas. ^[3]

Ver también

• Conjetura de Sato-Tate
• algoritmo de Schoof
• Weil está obligado

Notas

1. Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift , 19 (1): 207–246, doi :10.1007/BF01181075, ISSN  0025-5874, JFM  51.0144.05 , SEÑOR  1544652, S2CID  117936362
2. Hasse, Helmut (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III", Crelle's Journal , 1936 (175), doi :10.1515/crll.1936.175.193, ISSN  0075-4102, S2CID  118733025, Zbl  0014.14903
3. Weil, André (1949), "Números de soluciones de ecuaciones en campos finitos", Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN  0002-9904, SEÑOR  0029393

Referencias

• Hurt, Norman E. (2003), Muchos puntos racionales. Teoría de la codificación y geometría algebraica , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 564, Dordrecht: Kluwer / Springer-Verlag , ISBN 1-4020-1766-9, señor  2042828
• Niederreiter, Harald ; Xing, Chaoping (2009), Geometría algebraica en teoría de codificación y criptografía , Princeton: Princeton University Press , ISBN 978-0-6911-0288-7, señor  2573098
• Capítulo V de Silverman, Joseph H. (1994), La aritmética de curvas elípticas , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 106, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96203-0, señor  1329092
• Washington, Lawrence C. (2008), Curvas elípticas. Teoría de números y criptografía, 2.ª edición , Matemáticas discretas y sus aplicaciones, Boca Ratón: Chapman & Hall / CRC Press , ISBN 978-1-4200-7146-7, señor  2404461