Conjetura de Sato-Tate

Conjetura matemática sobre curvas elípticas

En matemáticas , la conjetura _de Sato-Tate es una afirmación estadística sobre la familia de curvas elípticas Ep obtenida a partir de una curva elíptica E sobre los números racionales mediante módulo de reducción de casi todos los números primos p . Mikio Sato y John Tate plantearon la conjetura de forma independiente alrededor de 1960.

Si N _p denota el número de puntos en la curva elíptica Ep _definida sobre el campo finito con p elementos, la conjetura da una respuesta a la distribución del término de segundo orden para N _p . Según el teorema de Hasse sobre las curvas elípticas ,

${\displaystyle N_{p}/p=1+\mathrm {O} (1/\!{\sqrt {p}})\ }$

como , y el objetivo de la conjetura es predecir cómo varía el término O. ${\displaystyle p\to \infty }$

La conjetura original y su generalización a todos los campos totalmente reales fue demostrada por Laurent Clozel , Michael Harris , Nicholas Shepherd-Barron y Richard Taylor bajo suposiciones suaves en 2008, y completada por Thomas Barnet-Lamb, David Geraghty, Harris y Taylor en 2011. Están abiertas varias generalizaciones a otras variedades y campos algebraicos.

Declaración

Sea E una curva elíptica definida sobre los números racionales sin multiplicación compleja . Para un número primo p , defina θ _p como la solución de la ecuación

${\displaystyle p+1-N_{p}=2{\sqrt {p}}\cos \theta _{p}~~(0\leq \theta _{p}\leq \pi ).}$

Entonces, por cada dos números reales y para los cuales ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 0\leq \alpha <\beta \leq \pi ,}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\#\{p\leq N:\alpha \leq \theta _{p}\leq \beta \}}{\#\{p\leq N\}}}={\frac {2}{\pi }}\int _{\alpha }^{\beta }\sin ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {1}{\pi }}\left(\beta -\alpha +\sin(\alpha )\cos(\alpha )-\sin(\beta )\cos(\beta )\right)}$

Detalles

Según el teorema de Hasse sobre las curvas elípticas , la relación

${\displaystyle {\frac {(p+1)-N_{p}}{2{\sqrt {p}}}}={\frac {a_{p}}{2{\sqrt {p}}}}}$

está entre -1 y 1. Por tanto, se puede expresar como cos  θ para un ángulo θ ; en términos geométricos hay dos valores propios que representan el resto y con el denominador dado son conjugados complejos y de valor absoluto  1. La conjetura de Sato-Tate , cuando E no tiene multiplicación compleja, ^[1] establece que la medida de probabilidad de θ es proporcional a

${\displaystyle \sin ^{2}\theta \,d\theta .}$^[2]

Esto se debe a Mikio Sato y John Tate (de forma independiente, alrededor de 1960, publicados algo después). ^[3]

Prueba

En 2008, Clozel, Harris, Shepherd-Barron y Taylor publicaron una prueba de la conjetura de Sato-Tate para curvas elípticas sobre campos totalmente reales que satisfacen una determinada condición: tener reducción multiplicativa en algún primo, ^[4] en una serie de tres papeles conjuntos. ^{[5] [6] [7]}

Otros resultados están condicionados a formas mejoradas de la fórmula de trazas de Arthur-Selberg . Harris tiene una prueba condicional de un resultado para el producto de dos curvas elípticas (no isógenas ) que se derivan de dicha fórmula de traza hipotética. ^[8] En 2011, Barnet-Lamb, Geraghty, Harris y Taylor demostraron una versión generalizada de la conjetura de Sato-Tate para una forma modular holomorfa arbitraria no CM de peso mayor o igual a dos, ^[9] mejorando la Posibles resultados de modularidad de artículos anteriores. ^[10] Los problemas anteriores relacionados con la fórmula de seguimiento fueron resueltos por Michael Harris , ^[11] y Sug Woo Shin . ^{[12] [13]}

En 2015, Richard Taylor recibió el premio Breakthrough Prize en Matemáticas "por numerosos resultados innovadores en (...) la conjetura de Sato-Tate". ^[14]

Generalizaciones

Hay generalizaciones que involucran la distribución de elementos de Frobenius en grupos de Galois involucrados en las representaciones de Galois en cohomología étale . En particular, existe una teoría conjetural para curvas de género  n  > 1.

Según el modelo de matriz aleatoria desarrollado por Nick Katz y Peter Sarnak , ^[15] existe una correspondencia conjetural entre polinomios característicos (unitarizados) de elementos de Frobenius y clases de conjugación en el grupo compacto de Lie USp(2 n ) =  Sp( n ) . La medida de Haar en USp(2 n ) da entonces la distribución conjeturada, y el caso clásico es USp(2) =  SU(2) .

Refinamientos

También hay declaraciones más refinadas. La conjetura de Lang-Trotter (1976) de Serge Lang y Hale Trotter establece el número asintótico de primos p con un valor dado de a _p , ^[16] la traza de Frobenius que aparece en la fórmula. Para el caso típico (sin multiplicación compleja , traza ≠ 0), su fórmula establece que el número de p hasta X es asintóticamente

${\displaystyle c{\sqrt {X}}/\log X\ }$

con una constante especificada c . Neal Koblitz (1988) proporcionó conjeturas detalladas para el caso de un número primo q de puntos en E _p , motivado por criptografía de curva elíptica . ^[17] En 1999, Chantal David y Francesco Pappalardi demostraron una versión promediada de la conjetura de Lang-Trotter. ^{[18] [19]}

Ver también

• Distribución del semicírculo de Wigner

Referencias

1. En el caso de una curva elíptica con multiplicación compleja, la función L de Hasse-Weil se expresa en términos de una función L de Hecke (un resultado de Max Deuring ). Los resultados analíticos conocidos sobre estos responden a preguntas aún más precisas.
2. Para normalizar, ponga 2/ π al frente.
3. Se menciona en J. Tate, Ciclos algebraicos y polos de funciones zeta en el volumen (OFG Schilling, editor), Geometría algebraica aritmética , páginas 93-110 (1965).
4. Es decir, para algunos p donde E tiene una mala reducción (y al menos para curvas elípticas sobre números racionales hay algunos de ese tipo p ), el tipo en la fibra singular del modelo de Néron es multiplicativo, en lugar de aditivo. En la práctica, este es el caso típico, por lo que se puede considerar que la afección es leve. En términos más clásicos, el resultado se aplica cuando el invariante j no es integral.
5. Taylor, Richard (2008). "Automorfia para algunos levantamientos l -ádicos de representaciones automórficas mod l Galois. II". Publ. Matemáticas. Inst. Altos estudios de ciencia . 108 : 183–239. CiteSeerX  10.1.1.116.9791 . doi :10.1007/s10240-008-0015-2. SEÑOR  2470688.
6. Clozel, Laurent; Harris, Michael; Taylor, Richard (2008). "Automorfia para algunos levantamientos l -ádicos de representaciones automórficas mod l Galois". Publ. Matemáticas. Inst. Altos estudios de ciencia . 108 : 1–181. CiteSeerX 10.1.1.143.9755 . doi :10.1007/s10240-008-0016-1. SEÑOR  2470687. 
7. Harris, Michael; Shepherd-Barron, Nicholas; Taylor, Richard (2010), "Una familia de variedades Calabi-Yau y automorfia potencial", Annals of Mathematics , 171 (2): 779–813, doi : 10.4007/annals.2010.171.779 , MR  2630056
8. Véase el seminario Bourbaki de Carayol del 17 de junio de 2007 para más detalles.
9. Barnet-Lamb, Thomas; Geraghty, David; Harris, Michael; Taylor, Richard (2011). "Una familia de variedades Calabi-Yau y posible automorfía. II". Publ. Res. Inst. Matemáticas. Ciencia . 47 (1): 29–98. doi : 10.2977/PRIMS/31 . SEÑOR  2827723.
10. Teorema B de Barnet-Lamb et al. 2011
11. Harris, M. (2011). "Una introducción a la fórmula de traza estable". En Clozel, L.; Harris, M.; Labesse, J.-P.; Ngô, BC (eds.). "La fórmula de trazas estables, variedades Shimura y aplicaciones aritméticas" . vol. I: Estabilización de la fórmula traza. Boston: Prensa internacional. págs. 3–47. ISBN 978-1-57146-227-5.
12. Shin, Sug Woo (2011). "Representaciones de Galois derivadas de algunas variedades compactas de Shimura". Anales de Matemáticas . 173 (3): 1645-1741. doi : 10.4007/anales.2011.173.3.9 .
13. Ver pág. 71 y Corolario 8.9 de Barnet-Lamb et al. 2011
14. "Richard Taylor, Instituto de Estudios Avanzados: Premio Revelación en Matemáticas 2015".
15. Katz, Nicholas M. & Sarnak, Peter (1999), Matrices aleatorias, valores propios de Frobenius y monodromía , Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-1017-0
16. Lang, Serge; Trotter, Hale F. (1976), Distribuciones Frobenius en extensiones GL ₂ , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-07550-1
17. Koblitz, Neal (1988), "Primalidad del número de puntos en una curva elíptica sobre un campo finito", Pacific Journal of Mathematics , 131 (1): 157–165, doi : 10.2140/pjm.1988.131.157 , MR  0917870.
18. "Matemático de Concordia reconocido por su excelencia en investigación". Sociedad Matemática Canadiense . 2013-04-15. Archivado desde el original el 1 de febrero de 2017 . Consultado el 15 de enero de 2018 .
19. David, Chantal; Pappalardi, Francesco (1 de enero de 1999). "Distribuciones medias de Frobenius de curvas elípticas". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 199 (4): 165–183.

enlaces externos

• Informe sobre Barry Mazur dando contexto
• Notas de Michael Harris, con declaración (PDF)
• La Conjecture de Sato–Tate [d'après Clozel, Harris, Shepherd-Barron, Taylor], seminario Bourbaki de junio de 2007 por Henri Carayol (PDF)
• Vídeo que presenta las curvas elípticas y su relación con la conjetura de Sato-Tate, Imperial College London, 2014 (Últimos 15 minutos)