Teorema de Hasse sobre curvas elípticas

Estima el número de puntos en una curva elíptica sobre un campo finito

El teorema de Hasse sobre curvas elípticas , también conocido como límite de Hasse, proporciona una estimación del número de puntos de una curva elíptica sobre un campo finito , acotando el valor tanto por encima como por debajo.

Si N es el número de puntos de la curva elíptica E sobre un campo finito con q elementos, entonces el resultado de Hasse establece que

${\displaystyle |N-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}.}$

La razón es que N difiere de q + 1, el número de puntos de la línea proyectiva sobre el mismo cuerpo, por un 'término de error' que es la suma de dos números complejos , cada uno de valor absoluto. ${\displaystyle {\sqrt {q}}.}$

Este resultado había sido originalmente conjeturado por Emil Artin en su tesis ^[1] . Hasse lo demostró en 1933, y la prueba se publicó en una serie de artículos en 1936. ^[2]

El teorema de Hasse es equivalente a la determinación del valor absoluto de las raíces de la función zeta local de E . De esta forma se puede ver que es el análogo de la hipótesis de Riemann para el campo de funciones asociado con la curva elíptica.

Límite Hasse-Weil

Una generalización del límite de Hasse a curvas algebraicas de género superior es el límite de Hasse-Weil. Este proporciona un límite para el número de puntos de una curva sobre un cuerpo finito. Si el número de puntos de la curva C de género g sobre el cuerpo finito de orden q es , entonces ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \#C(\mathbb {F} _{q})}$

${\displaystyle |\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

Este resultado es nuevamente equivalente a la determinación del valor absoluto de las raíces de la función zeta local de C , y es el análogo de la hipótesis de Riemann para el campo de funciones asociado con la curva.

El límite de Hasse-Weil se reduce al límite de Hasse habitual cuando se aplica a curvas elípticas, que tienen género g=1 .

El límite de Hasse-Weil es una consecuencia de las conjeturas de Weil , propuestas originalmente por André Weil en 1949 y demostradas por André Weil en el caso de las curvas. ^[3]

Véase también

• Conjetura de Sato-Tate
• Algoritmo de Schoof
• El límite de Weil

Notas

1. Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift , 19 (1): 207–246, doi :10.1007/BF01181075, ISSN  0025-5874, JFM  51.0144.05 , SEÑOR  1544652, S2CID  117936362
2. Hasse, Helmut (1936), "Zur Theorie der abstrakten elliptischen Funktionenkörper. I, II & III", Crelle's Journal , 1936 (175), doi :10.1515/crll.1936.175.193, ISSN  0075-4102, S2CID  118733025, Zbl  0014.14903
3. Weil, André (1949), "Números de soluciones de ecuaciones en cuerpos finitos", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN  0002-9904, MR  0029393

Referencias

• Hurt, Norman E. (2003), Muchos puntos racionales. Teoría de la codificación y geometría algebraica , Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 564, Dordrecht: Kluwer / Springer-Verlag , ISBN 1-4020-1766-9, Sr.  2042828
• Niederreiter, Harald ; Xing, Chaoping (2009), Geometría algebraica en la teoría de codificación y criptografía , Princeton: Princeton University Press , ISBN 978-0-6911-0288-7, Sr.  2573098
• Capítulo V de Silverman, Joseph H. (1994), La aritmética de curvas elípticas , Graduate Texts in Mathematics , vol. 106, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96203-0, Sr.  1329092
• Washington, Lawrence C. (2008), Curvas elípticas. Teoría de números y criptografía, 2.ª edición , Matemáticas discretas y sus aplicaciones, Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press , ISBN 978-1-4200-7146-7, Sr.  2404461