En geometría algebraica , el género geométrico es un invariante biracional básico p g de variedades algebraicas y variedades complejas .
El género geométrico puede definirse para variedades proyectivas complejas no singulares y, más generalmente, para variedades complejas como el número de Hodge h n ,0 (igual a h 0, n por la dualidad de Serre ), es decir, la dimensión del sistema lineal canónico más uno.
En otras palabras, para una variedad V de dimensión compleja n es el número de n formas holomorfas linealmente independientes que se encuentran en V. [1] Esta definición, como la dimensión de
luego se traslada a cualquier campo base , cuando Ω se toma como el haz de diferenciales de Kähler y la potencia es la potencia exterior (superior) , el fibrado de líneas canónico .
El género geométrico es el primer invariante p g = P 1 de una secuencia de invariantes P n llamados plurigenerados .
En el caso de variedades complejas, (los lugares geométricos complejos de) curvas no singulares son superficies de Riemann . La definición algebraica de género concuerda con la noción topológica . En una curva no singular, el fibrado de líneas canónico tiene grado 2 g − 2 .
La noción de género ocupa un lugar destacado en el enunciado del teorema de Riemann-Roch (véase también el teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas ) y de la fórmula de Riemann-Hurwitz . Según el teorema de Riemann-Roch, una curva plana irreducible de grado d tiene género geométrico
donde s es el número de singularidades cuando se cuentan correctamente.
Si C es una hipersuperficie irreducible (y lisa) en el plano proyectivo recortado por una ecuación polinómica de grado d, entonces su fibrado lineal normal es el haz tortuoso de Serre ( d ) , por lo que por la fórmula de adjunción , el fibrado lineal canónico de C está dado por
La definición de género geométrico se traslada clásicamente a las curvas singulares C , al decretar que
es el género geométrico de la normalización C ′ . Es decir, dado que la función
es biracional , la definición se extiende mediante la invariancia biracional.
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{C}=\left[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)\right ]_{\vert C}={\mathcal {O}}(d-3)_{\vert C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e72412d378cbcdf6ddc2dfe5759602c314627ae)