Suma de Kloosterman

En matemáticas , una suma de Kloosterman es un tipo particular de suma exponencial . Se denominan así por el matemático holandés Hendrik Kloosterman , quien las introdujo en 1926 ^[1] cuando adaptó el método del círculo de Hardy-Littlewood para abordar un problema que involucraba formas cuadráticas diagonales definidas positivas en cuatro variables, fortaleciendo su investigación de tesis de 1924 sobre cinco o más variables. ^[2]

Sean a , b , m números naturales . Entonces

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{\stackrel {0\leq x\leq m-1}{\gcd(x,m)=1}}e^{{\frac {2\pi i}{m}}(ax+bx^{*})}.}$

Aquí x* es la inversa de x módulo m .

Contexto

Las sumas de Kloosterman son un análogo de anillo finito de las funciones de Bessel . Se dan (por ejemplo) en la expansión de Fourier de formas modulares .

Existen aplicaciones para valores medios que involucran la función zeta de Riemann , primos en intervalos cortos, primos en progresiones aritméticas, la teoría espectral de funciones automorfas y temas relacionados.

Propiedades de las sumas de Kloosterman

• Si a = 0 o b = 0 entonces la suma de Kloosterman se reduce a la suma de Ramanujan .
• K ( a , b ; m ) depende únicamente de la clase de residuo de a y b módulo m . Además K ( a , b ; m ) = K ( b , a ; m ) y K ( ac , b ; m ) = K ( a , bc ; m ) si mcd( c , m ) = 1 .
• Sea m = m ₁ m ₂ con m ₁ y m ₂ coprimos. Elija n ₁ y n ₂ tales que n ₁ m ₁ ≡ 1 mod m ₂ y n ₂ m ₂ ≡ 1 mod m ₁ . Entonces

${\displaystyle K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b;m_{2}\right).}$

Esto reduce la evaluación de las sumas de Kloosterman al caso donde m = p ^k para un número primo p y un entero k ≥ 1 .

• El valor de K ( a , b ; m ) es siempre un número real algebraico . De hecho, K ( a , b ; m ) es un elemento del subcuerpo que es el compuesto de los cuerpos ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p^{\alpha }}+\zeta _{p^{\alpha }}^{-1}\right)}$

donde p abarca todos los primos impares tales que p ^α || m y

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{2^{\alpha -1}}+\zeta _{2^{\alpha -1}}^{-1}\right)}$

para 2 ^α || m con α > 3 .

• La identidad de Selberg:

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{d\mid \gcd(a,b,m)}d\cdot K\left({\tfrac {ab}{d^{2}}},1;{\tfrac {m}{d}}\right).}$

Fue enunciada por Atle Selberg y demostrada por primera vez por Kuznetsov utilizando la teoría espectral de formas modulares . Hoy en día se conocen pruebas elementales de esta identidad. ^[3]

• Para p, un primo impar, no se conoce ninguna fórmula simple para K ( a , b ; p ) , y la conjetura de Sato-Tate sugiere que no existe ninguna. Sin embargo, las fórmulas de elevación que se indican a continuación suelen ser tan buenas como una evaluación explícita. Si mcd( a , p ) = 1, también se tiene la transformación importante:

${\displaystyle K(a,a;p)=\sum _{m=0}^{p-1}\left({\frac {m^{2}-4a^{2}}{p}}\right)e^{\frac {2\pi im}{p}},}$

donde denota el símbolo de Jacobi . ${\displaystyle \left({\tfrac {\ell }{m}}\right)}$

• Sea m = p ^k con k > 1, p primo y supongamos que mcd( p , 2 ab ) = 1 . Entonces:

${\displaystyle K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({\frac {\ell }{m}}\right){\sqrt {m}}{\text{ Re}}\left(\varepsilon _{m}e^{\frac {4\pi i\ell }{m}}\right)&\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

donde ℓ se elige de modo que ℓ ² ≡ ab mod m y ε _m se define de la siguiente manera (nótese que m es impar):

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&m\equiv 1{\bmod {4}}\\i&m\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Esta fórmula fue descubierta por primera vez por Hans Salie ^[4] y existen muchas pruebas simples en la literatura. ^[5]

Estimaciones

Dado que las sumas de Kloosterman se dan en la expansión de Fourier de formas modulares, las estimaciones de las sumas de Kloosterman también dan lugar a estimaciones de los coeficientes de Fourier de las formas modulares. La estimación más famosa se debe a André Weil y establece:

${\displaystyle |K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {\gcd(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.}$

Aquí está el número de divisores positivos de m . Debido a las propiedades multiplicativas de las sumas de Kloosterman, estas estimaciones pueden reducirse al caso en que m es un número primo p . Una técnica fundamental de Weil reduce la estimación ${\displaystyle \tau (m)}$

${\displaystyle |K(a,b;p)|\leq 2{\sqrt {p}},}$

cuando ab ≠ 0 a sus resultados sobre funciones zeta locales . Geométricamente, la suma se toma a lo largo de una 'hipérbola' XY = ab y consideramos que esto define una curva algebraica sobre el cuerpo finito con p elementos. Esta curva tiene un Artin-Schreier ramificado que cubre C , y Weil demostró que la función zeta local de C tiene una factorización; esta es la teoría de la función L de Artin para el caso de cuerpos globales que son cuerpos de funciones, para lo cual Weil da un artículo de 1938 de J. Weissinger como referencia (al año siguiente dio un artículo de 1935 de Hasse como referencia anterior para la idea; dada la observación bastante denigrante de Weil sobre las habilidades de los teóricos analíticos de números para resolver este ejemplo por sí mismos, en sus Collected Papers , estas ideas eran presumiblemente 'folclore' de bastante larga data). Los factores no polares son del tipo 1 − Kt , donde K es una suma de Kloosterman. La estimación se basa en el trabajo básico de Weil de 1940.

De hecho, esta técnica muestra de manera mucho más general que las sumas exponenciales completas 'a lo largo' de variedades algebraicas tienen buenas estimaciones, dependiendo de las conjeturas de Weil en dimensión > 1. Pierre Deligne , Gérard Laumon y Nicholas Katz la han llevado mucho más lejos .

Resumen breve de Kloosterman

Las sumas cortas de Kloosterman se definen como sumas trigonométricas de la forma

${\displaystyle \sum _{n\in A}\exp \left(2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right),}$

donde n recorre un conjunto A de números, coprimos con m , cuyo número de elementos es esencialmente menor que m , y el símbolo denota la clase de congruencia, inversa a n módulo m : ${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle n^{*}}$ ${\displaystyle nn^{*}\equiv 1{\bmod {m}}.}$

Hasta principios de los años 1990, las estimaciones para sumas de este tipo se conocían principalmente en el caso en que el número de sumandos era mayor que √ m . Tales estimaciones se debieron a HD Kloosterman , IM Vinogradov , H. Salie, L. Carlitz , S. Uchiyama y A. Weil . Las únicas excepciones fueron los módulos especiales de la forma m = p ^α , donde p es un primo fijo y el exponente α crece hasta el infinito (este caso fue estudiado por AG Postnikov mediante el método de Ivan Matveyevich Vinogradov ).

En la década de 1990, Anatolii Alexeevitch Karatsuba desarrolló ^{[6] [7] [8]} un nuevo método para estimar sumas cortas de Kloosterman. El método de Karatsuba permite estimar sumas de Kloosterman cuyo número de sumandos no supera , y en algunos casos incluso , donde es un número fijo arbitrariamente pequeño. El último artículo de AA Karatsuba sobre este tema ^[9] se publicó después de su muerte. ${\displaystyle m^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Varios aspectos del método de Karatsuba encontraron aplicaciones en la solución de los siguientes problemas de teoría analítica de números:

• Encontrar asintóticas de las sumas de partes fraccionarias de la forma:

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},{\sum _{p\leq x}}'\left\{{\frac {ap^{*}+bp}{m}}\right\},}$

donde n recorre, uno tras otro, los números enteros que satisfacen la condición , y p recorre los primos que no dividen al módulo m (AAKaratsuba); ${\displaystyle (n,m)=1}$

• Encontrar el límite inferior para el número de soluciones de las desigualdades de la forma:

${\displaystyle \alpha <\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\}\leq \beta }$

en los números enteros n , 1 ≤ n ≤ x , coprimos con m , (AA Karatsuba); ${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• la precisión de aproximación de un número real arbitrario en el segmento [0, 1] mediante partes fraccionarias de la forma:

${\displaystyle \left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},}$

donde (AA Karatsuba); ${\displaystyle 1\leq n\leq x,(n,m)=1,x<{\sqrt {m}}}$

• una constante c más precisa en el teorema de Brun-Titchmarsh  :

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$

donde es el número de primos p , no mayores que x y pertenecientes a la progresión aritmética ( J. Friedlander , H. Iwaniec ); ${\displaystyle \pi (x;q,l)}$ ${\displaystyle p\equiv l{\bmod {q}}}$

• un límite inferior para el mayor divisor primo del producto de números de la forma: n ³ + 2, N < n ≤ 2 N .( DR Heath-Brown );
• demostrando que hay infinitos números primos de la forma: a ² + b ⁴ .( J. Friedlander , H. Iwaniec );
• Propiedades combinatorias del conjunto de números (AAGlibichuk):

${\displaystyle n^{*}{\bmod {m}},1\leq n\leq m^{\varepsilon }.}$

Elevación de las sumas de Kloosterman

Aunque las sumas de Kloosterman no se pueden calcular en general, se pueden "elevar" a cuerpos de números algebraicos, lo que a menudo produce fórmulas más convenientes. Sea un entero sin cuadrados con Supongamos que para cualquier factor primo p de m tenemos ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \gcd(\tau ,m)=1.}$

${\displaystyle \left({\frac {\tau }{p}}\right)=-1.}$

Entonces, para todos los números enteros a , b coprimos con m, tenemos

${\displaystyle K(a,b;m)=(-1)^{\Omega (m)}\sum _{\stackrel {v,w{\bmod {m}}}{v^{2}-\tau w^{2}\equiv ab{\bmod {m}}}}e^{\frac {4\pi iv}{m}}.}$

Aquí Ω( m ) es el número de factores primos de m contando la multiplicidad. La suma de la derecha se puede reinterpretar como una suma sobre números enteros algebraicos en el campo Esta fórmula se debe a Yangbo Ye, inspirada por Don Zagier y que extiende el trabajo de Hervé Jacquet y Ye sobre la fórmula de traza relativa para GL(2) . ^[10] De hecho, se pueden levantar sumas exponenciales mucho más generales. ^[11] ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\tau }}).}$

Fórmula de trazas de Kuznetsov

La fórmula de Kuznetsov o fórmula de traza relativa conecta las sumas de Kloosterman a un nivel profundo con la teoría espectral de las formas automorfas . Originalmente esto podría haberse expresado de la siguiente manera. Sea una función suficientemente " bien comportada ". Entonces se denominan identidades del siguiente tipo fórmula de traza de Kuznetsov : ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{c\equiv 0{\bmod {N}}}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{ Integral transform }}\ +\ {\text{ Spectral terms}}.}$

La parte de la transformada integral es alguna transformada integral de g y la parte espectral es una suma de coeficientes de Fourier, tomada sobre espacios de formas modulares holomorfas y no holomorfas torcidas con alguna transformada integral de g . La fórmula de traza de Kuznetsov fue encontrada por Kuznetsov mientras estudiaba el crecimiento de funciones automorfas de peso cero. ^[12] Usando estimaciones en sumas de Kloosterman él fue capaz de derivar estimaciones para coeficientes de Fourier de formas modulares en casos donde la prueba de Pierre Deligne de las conjeturas de Weil no era aplicable.

Posteriormente, Jacquet la tradujo a un marco teórico de representación . Sea G un grupo reductivo sobre un cuerpo numérico F y sea un subgrupo. Mientras que la fórmula de traza habitual estudia el análisis armónico en G , la fórmula de traza relativa es una herramienta para estudiar el análisis armónico en el espacio simétrico G / H . Para obtener una descripción general y numerosas aplicaciones, consulte las referencias. ^[13] ${\displaystyle H\subset G}$

Historia

La estimación de Weil puede estudiarse ahora en WM Schmidt, Equations over finite fields: an elementary approach , 2.ª ed. (Kendrick Press, 2004). Las ideas subyacentes aquí se deben a S. Stepanov y se inspiran en el trabajo de Axel Thue en la aproximación diofántica .

Existen muchas conexiones entre las sumas de Kloosterman y las formas modulares . De hecho, las sumas aparecieron por primera vez (sin el nombre) en un artículo de 1912 de Henri Poincaré sobre las formas modulares. Hans Salié introdujo una forma de suma de Kloosterman que está torcida por un carácter de Dirichlet : ^[14] Estas sumas de Salié tienen una evaluación elemental. ^[4]

Después del descubrimiento de fórmulas importantes que conectaban las sumas de Kloosterman con formas modulares no holomorfas por parte de Kuznetsov en 1979, que contenían algunos "ahorros en promedio" sobre la estimación de la raíz cuadrada, hubo desarrollos adicionales por parte de Iwaniec y Deshouillers en un artículo seminal en Inventiones Mathematicae (1982). Varios autores, en particular Bombieri , Fouvry, Friedlander e Iwaniec, desarrollaron aplicaciones posteriores a la teoría analítica de números .

El campo sigue siendo algo inaccesible. Una introducción detallada a la teoría espectral necesaria para comprender las fórmulas de Kuznetsov se ofrece en RC Baker, Kloosterman Sums and Maass Forms , vol. I (Kendrick press, 2003). También es relevante para estudiantes e investigadores interesados ​​en el campo Iwaniec & Kowalski (2004).

Yitang Zhang utilizó sumas de Kloosterman en su prueba de brechas acotadas entre números primos. ^[15]

Véase también

• El límite de Hasse

Notas

1. Kloosterman, HD Sobre la representación de números en la forma ax ² + by ² + cz ² + dt ² , Acta Mathematica 49 (1926), págs. 407–464
2. Kloosterman, HD Over het splitsen van geheele positieve getallen in een some van kwadraten , Tesis (1924) Universiteit Leiden
3. Matthes, R. Una prueba elemental de una fórmula de Kuznecov para sumas de Kloosterman , Resultate Math. 18(1-2), páginas: 120–124, (1990).
4. Hans Salie, Uber die Kloostermanschen Summen S (u, v; q) , Matemáticas. Tiempo. 34 (1931–32) págs. 91–109.
5. Williams, Kenneth S. Nota sobre la suma de Kloosterman , Transactions of the American Mathematical Society 30(1), páginas: 61–62, (1971).
6. Karatsuba, AA (1995). "Análogos de las sumas de Kloostermans". Izv. Ross. Akád. Nauk, ser. Matemáticas. (59:5): 93-102.
7. Karatsuba, AA (1997). "Análogos de sumas de Kloosterman incompletas y sus aplicaciones". Tatra Mountains Math. Publ. (11): 89–120.
8. Karatsuba, AA (1999). "Kloosterman sumas dobles". Estera. Zametki (66:5): 682–687.
9. Karatsuba, AA (2010). "Nuevas estimaciones de sumas cortas de Kloosterman". Mat. Zametki (88:3–4): 347–359.
10. Ye, Y. El levantamiento de las sumas de Kloosterman , Journal of Number Theory 51, Páginas: 275-287, (1995).
11. Ye, Y. La elevación de una suma exponencial a un cuerpo de números algebraicos cíclicos de grado primo , Transactions of the American Mathematical Society 350(12), Páginas: 5003-5015, (1998).
12. NV Kuznecov, Conjetura de Petersson para formas de peso cero y conjetura de Linnik. Sumas de sumas de Kloosterman , Matemáticas de la URSS-Sbornik 39(3), (1981).
13. Cogdell, JW y I. Piatetski-Shapiro, El análisis aritmético y espectral de las series de Poincaré , volumen 13 de Perspectivas en matemáticas . Academic Press Inc., Boston, MA, (1990).
14. Lidl y Niederreiter (1997) p.253
15. Zhang, Yitang (1 de mayo de 2014). «Bounded gaps between primes» (PDF) . Anales de Matemáticas . 179 (3): 1121–1174. doi :10.4007/annals.2014.179.3.7. Archivado desde el original (PDF) el 9 de julio de 2020 . Consultado el 17 de noviembre de 2022 .

Referencias

• Arkhipov, GI; Chubarikov, VN; Karatsuba, AA (2004). Sumas trigonométricas en la teoría y el análisis de números . de Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 39. Berlín–Nueva York: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-016266-0.Zbl 1074.11043  .
• Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . Colloquium Publications. Vol. 53. American Mathematical Society . ISBN 0-8218-3633-1.Zbl 1059.11001  .
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Campos finitos . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 20 (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-39231-4.Zbl 0866.11069  .
• Weil, André (1948). "Sobre algunas sumas exponenciales". Proc. Natl. Acad. Sci . 34 : 204–207. Zbl  0032.26102.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Suma de Kloosterman". MathWorld .
• "Suma de Kloosterman". PlanetMath .
• "Límite de Bombieri-Weil - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org .