Teorema de Brun-Titchmarsh

En teoría analítica de números , el teorema de Brun-Titchmarsh , que lleva el nombre de Viggo Brun y Edward Charles Titchmarsh , es un límite superior de la distribución de números primos en progresión aritmética .

Declaración

Cuentemos el número de números primos p congruentes con un módulo  q con p  ≤  x . Entonces ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}}$

para todo q  <  x .

Historia

El resultado fue probado mediante métodos de tamiz por Montgomery y Vaughan; un resultado anterior de Brun y Titchmarsh obtuvo una versión más débil de esta desigualdad con un factor multiplicativo adicional de . ${\displaystyle 1+o(1)}$

Mejoras

Si q es relativamente pequeño, por ejemplo , entonces existe una cota mejor: ${\displaystyle q\leq x^{9/20}}$

${\displaystyle \pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}}$

Esto se debe a Y. Motohashi (1973). Usó una estructura bilineal en el término de error en el tamiz de Selberg , descubierto por él mismo. Posteriormente, esta idea de explotar estructuras en errores de tamizado se convirtió en un método importante en la teoría analítica de números, debido a la extensión de H. Iwaniec al tamiz combinatorio.

Comparación con el teorema de Dirichlet

Por el contrario, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas da un resultado asintótico, que puede expresarse en la forma

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)}$

pero sólo se puede demostrar que esto es válido para el rango más restringido q  < (log  x ) ^c para c constante : este es el teorema de Siegel-Walfisz .

Referencias

• Motohashi, Yoichi (1983), Métodos de tamiz y teoría de números primos , Tata IFR y Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8
• Hooley, Christopher (1976), Aplicaciones de los métodos de tamiz a la teoría de números , Cambridge University Press, pág. 10, ISBN 0-521-20915-3
• Mikawa, H. (2001) [1994], "Teorema de Brun-Titchmarsh", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Montgomery, HL ; Vaughan, RC (1973), "El tamiz grande", Mathematika , 20 (2): 119–134, doi :10.1112/s0025579300004708, hdl : 2027.42/152543.