tamiz selberg

Atle Selberg

En teoría de números , la criba de Selberg es una técnica para estimar el tamaño de "conjuntos tamizados" de números enteros positivos que satisfacen un conjunto de condiciones que se expresan mediante congruencias . Fue desarrollado por Atle Selberg en la década de 1940.

Descripción

En términos de teoría del tamiz, el tamiz de Selberg es de tipo combinatorio : es decir, deriva de un uso cuidadoso del principio de inclusión-exclusión . Selberg reemplazó los valores de la función de Möbius que surgen en este caso por un sistema de pesos que luego se optimizan para adaptarse al problema dado. El resultado da un límite superior para el tamaño del conjunto tamizado.

Sea un conjunto de números enteros positivos y un conjunto de números primos. Denotemos el conjunto de elementos de divisible por cuando es un producto de números primos distintos de . Además, denotemos a nosotros mismos. Sea un número real positivo y denotemos el producto de los números primos en los que están . El objetivo del tamiz es estimar ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \leq x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{d}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \leq z}$

${\displaystyle S(A,P,z)=\left\vert A\setminus \bigcup _{p\mid P(z)}A_{p}\right\vert .}$

Suponemos que | Anuncio |_​ puede ser estimado por

${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {1}{f(d)}}X+R_{d}.}$

donde f es una función multiplicativa y X   = | Un |. Dejemos que la función g se obtenga de f mediante inversión de Möbius , es decir

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(n/d)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)}$

donde μ es la función de Möbius . Poner

${\displaystyle V(z)=\sum _{\begin{smallmatrix}d<z\\d\mid P(z)\end{smallmatrix}}{\frac {1}{g(d)}}.}$

Entonces

${\displaystyle S(A,P,z)\leq {\frac {X}{V(z)}}+O\left({\sum _{\begin{smallmatrix}d_{1},d_{2}<z\\d_{1},d_{2}\mid P(z)\end{smallmatrix}}\left\vert R_{[d_{1},d_{2}]}\right\vert }\right)}$

donde denota el mínimo común múltiplo de y . A menudo es útil estimar por el límite ${\displaystyle [d_{1},d_{2}]}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle V(z)}$

${\displaystyle V(z)\geq \sum _{d\leq z}{\frac {1}{f(d)}}.\,}$

Aplicaciones

• El teorema de Brun-Titchmarsh sobre el número de números primos en progresión aritmética ;
• El número de n ≤ x tal que n es coprimo de φ( n ) es asintótico de e ^−γ x / log log log ( x ) .

Referencias

• Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram (2005). Una introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 66. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 113-134. ISBN 0-521-61275-6. Zbl  1121.11063.
• Diamante, Harold G.; Halberstam, Heini (2008). Un método de tamiz de dimensiones superiores: con procedimientos para calcular funciones de tamiz . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 177. Con William F. Galway. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl  1207.11099.
• Grebas, George (2001). Tamices en teoría de números . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 43. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-41647-1. Zbl  1003.11044.
• Halberstam, Heini ; Richert, HE (1974). Métodos de tamiz . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 4. Prensa Académica. ISBN 0-12-318250-6. Zbl  0298.10026.
• Hooley, Christopher (1976). Aplicaciones de los métodos de tamiz a la teoría de números . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 70. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 7-12. ISBN 0-521-20915-3. Zbl  0327.10044.
• Selberg, Atle (1947). "Sobre un método elemental en la teoría de los números primos". Norské Vid. Selsk. Para H. Trondheim . 19 : 64–67. ISSN  0368-6302. Zbl  0041.01903.