Anatoly Karatsuba

Matemático ruso (1937-2008)

Anatoly Alexeyevich Karatsuba (su nombre a menudo se escribe Anatolii ) ( ruso : Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба ; Grozny , Unión Soviética , 31 de enero de 1937 – Moscú , Rusia , 28 de septiembre de 2008 ^[1] ) fue un matemático ruso que trabajó en el campo de la teoría analítica de números. , números p -ádicos y series de Dirichlet .

Durante la mayor parte de su vida estudiantil y profesional estuvo asociado con la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú , defendiendo un D.Sc. allí titulado "El método de las sumas trigonométricas y los teoremas de valores intermedios" en 1966. ^[2] Posteriormente ocupó un puesto en el Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia de Ciencias . ^[2]

Su libro de texto Fundamentos de la teoría analítica de números tuvo dos ediciones, 1975 y 1983. ^[2]

El algoritmo de Karatsuba es el algoritmo de multiplicación de divide y vencerás más antiguo conocido y sigue vivo como un caso especial de su generalización directa, el algoritmo de Toom-Cook . ^[3]

Los principales trabajos de investigación de Anatoly Karatsuba se publicaron en más de 160 artículos de investigación y monografías. ^[4]

Su hija, Yekaterina Karatsuba, también matemática, construyó el método FEE .

trabajar en informatica

Como estudiante de la Universidad Estatal Lomonosov de Moscú, Karatsuba asistió al seminario de Andrey Kolmogorov y encontró soluciones a dos problemas planteados por Kolmogorov. Esto fue esencial para el desarrollo de la teoría de los autómatas y dio inicio a una nueva rama de las Matemáticas, la teoría de los algoritmos rápidos.

Autómatas

En el artículo de Edward F. Moore , ^[5] , un autómata (o una máquina) se define como un dispositivo con estados, símbolos de entrada y símbolos de salida. Se demuestran nueve teoremas sobre la estructura y los experimentos . Posteriormente, estas máquinas recibieron el nombre de máquinas de Moore . Al final del artículo, en el capítulo «Nuevos problemas», Moore formula el problema de mejorar las estimaciones que obtuvo en los Teoremas 8 y 9: ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Teorema 8 (Moore). Dada una máquina arbitraria , tal que cada dos estados se puedan distinguir entre sí, existe un experimento de longitud que identifica el estado al final de este experimento. ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle S}$

En 1957, Karatsuba demostró dos teoremas que resolvieron completamente el problema de Moore al mejorar la estimación de la duración del experimento en su Teorema 8 .

Teorema A (Karatsuba). Si una máquina es tal que cada dos estados se pueden distinguir entre sí, entonces existe un experimento ramificado de longitud como máximo , mediante el cual se puede encontrar el estado al final del experimento. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$ ${\displaystyle S}$

Teorema B (Karatsuba). Existe una máquina, cuyos estados se pueden distinguir entre sí, de modo que la duración del experimento más corto para encontrar el estado de la máquina al final del experimento es igual a . ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$

Karatsuba demostró estos dos teoremas en su cuarto año como base de su proyecto de cuarto año; el artículo correspondiente fue enviado a la revista "Uspekhi Mat. Nauk" el 17 de diciembre de 1958 y publicado en junio de 1960. ^[6] Hasta el día de hoy (2011) este resultado de Karatsuba que luego adquirió el título "el teorema de Moore-Karatsuba ", sigue siendo el único resultado no lineal preciso (el único orden no lineal preciso de la estimación) tanto en la teoría de los autómatas como en problemas similares de la teoría de la complejidad de los cálculos.

Trabajar en teoría de números.

Los principales trabajos de investigación de AA Karatsuba se publicaron en más de 160 artículos de investigación y monografías. ^{[7] [8] [9] [10]}

El método p -ádico

AAKaratsuba construyó un nuevo método -ádico en la teoría de sumas trigonométricas. ^[11] Las estimaciones de las llamadas sumas de la forma ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\cdots +a_{n}x^{n}/p)},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,}$

llevó a ^[12] a los nuevos límites para ceros de la serie de Dirichlet módulo una potencia de un número primo, a la fórmula asintótica para el número de congruencia de Waring de la forma ${\displaystyle L}$

${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},}$

a una solución del problema de distribución de partes fraccionarias de un polinomio con coeficientes enteros módulo . AA Karatsuba fue el primero en realizar ^[13] en la forma -ádica el «principio de incrustación» de Euler-Vinogradov y en calcular un análogo -ádico de los números de Vinogradov al estimar el número de soluciones de una congruencia del tipo Waring. ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u}$

Supongamos que: y además: donde es un número primo. Karatsuba demostró que en ese caso para cualquier número natural existe un tal que para cualquier todo número natural se puede representar en la forma (1) para , y para existe tal que la congruencia (1) no tiene soluciones. ${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)}$ ${\displaystyle P^{r}\leq Q<P^{r+1},\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12}}{\sqrt {n}},\quad Q=p^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 144}$ ${\displaystyle p_{0}=p_{0}(n)}$ ${\displaystyle p_{0}>p_{0}(n)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle t\geq 20r+1}$ ${\displaystyle t<r}$ ${\displaystyle N}$

Este nuevo enfoque, encontrado por Karatsuba, condujo a una nueva prueba ádica del teorema del valor medio de Vinogradov , que desempeña un papel central en el método de sumas trigonométricas de Vinogradov. ${\displaystyle p}$

Otro componente del método -ádico de AA Karatsuba es la transición de sistemas de ecuaciones incompletos a sistemas completos a expensas del cambio local -ádico de incógnitas. ^[14] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Sea un número natural arbitrario, . Determinar un número entero por las desigualdades . Considere el sistema de ecuaciones. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m_{t}\leq r\leq m_{t+1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}}\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}}\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}\end{cases}}}$

${\displaystyle 1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots <m_{s}<m_{s+1}=n.}$

Karatsuba demostró que el número de soluciones de este sistema de ecuaciones satisface la estimación. ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle k\geq 6rn\log n}$

${\displaystyle I_{k}\ll P^{2k-\delta },\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.}$

Para sistemas de ecuaciones incompletos, en los que las variables pasan por números con divisores primos pequeños, Karatsuba aplicó la traducción multiplicativa de variables. Esto condujo a una estimación esencialmente nueva de sumas trigonométricas y a un nuevo teorema del valor medio para tales sistemas de ecuaciones.

El problema de Hua Luogeng sobre el exponente de convergencia de la integral singular en el problema de Terry

${\displaystyle p}$-El método adic de AAKaratsuba incluye las técnicas de estimación de la medida de un conjunto de puntos con pequeños valores de funciones en términos de los valores de sus parámetros (coeficientes, etc.) y, a la inversa, las técnicas de estimación de esos parámetros en términos de la medida. de este conjunto en las métricas real y -ádica. Este aspecto del método de Karatsuba se manifestó especialmente claramente en la estimación de integrales trigonométricas, lo que llevó a la solución del problema de Hua Luogeng . En 1979 Karatsuba, junto con sus alumnos GI Arkhipov y VN Chubarikov obtuvieron una solución completa ^[15] del problema de Hua Luogeng de encontrar el exponente de convergencia de la integral: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \vartheta _{0}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\cdots +\alpha _{1}x)}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}\ldots d\alpha _{1},}$

donde es un número fijo. ${\displaystyle n\geq 2}$

En este caso, el exponente de convergencia significa el valor , tal que converge y diverge para , donde es arbitrariamente pequeño. Se demostró que la integral converge y diverge para . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ${\displaystyle 2k>\gamma +\varepsilon }$ ${\displaystyle 2k<\gamma -\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ${\displaystyle 2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$ ${\displaystyle 2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$

Al mismo tiempo, se resolvió el problema similar para la integral: dónde están los números enteros que satisfacen las condiciones: ${\displaystyle \vartheta _{1}=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots +\alpha _{r}x^{r})}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}d\alpha _{m}\ldots d\alpha _{r},}$ ${\displaystyle n,m,\ldots ,r}$ ${\displaystyle 1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Karatsuba y sus alumnos demostraron que la integral converge, si y diverge, si . ${\displaystyle \vartheta _{1}}$ ${\displaystyle 2k>n+m+\ldots +r}$ ${\displaystyle 2k\leq n+m+\ldots +r}$

Las integrales y surgen en el estudio del llamado problema de Prouhet-Tarry-Escott . Karatsuba y sus alumnos obtuvieron una serie de nuevos resultados relacionados con el análogo multidimensional del problema de Tarry. En particular, demostraron que si es un polinomio en variables ( ) de la forma : con el término libre cero, , es el vector -dimensional, formado por los coeficientes de , entonces la integral : converge para , donde es el mayor de los números . Este resultado, al no ser definitivo, generó una nueva área en la teoría de las integrales trigonométricas, relacionada con la mejora de los límites del exponente de convergencia (IA Ikromov, MA Chahkiev y otros). ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ${\displaystyle \vartheta _{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\geq 2}$ ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{r})\,=\,\sum \limits _{\nu _{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{\nu _{r}=0}^{n_{r}}\alpha (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})x_{1}^{\nu _{1}}\ldots x_{r}^{\nu _{r}},}$ ${\displaystyle m=(n_{1}+1)\ldots (n_{r}+1)-1}$ ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \vartheta _{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}\cdots \int \limits _{0}^{1}e^{2\pi iF(x_{1},\ldots ,x_{r})}dx_{1}\ldots dx_{r}{\biggr |}^{2k}d{\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle 2k>mn}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ ${\displaystyle \vartheta _{2}}$

Múltiples sumas trigonométricas

En 1966-1980, Karatsuba desarrolló ^{[16] [17]} (con la participación de sus alumnos GI Arkhipov y VN Chubarikov) la teoría de las sumas trigonométricas múltiples de Hermann Weyl , es decir, las sumas de la forma

${\displaystyle S=S(A)=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\dots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}$, dónde , ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}\dots \sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}\dots x_{r}^{t_{r}}}$

${\displaystyle A}$es un sistema de coeficientes reales . El punto central de esa teoría, como en la teoría de las sumas trigonométricas de Vinogradov, es el siguiente teorema del valor medio . ${\displaystyle \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})}$

Sean números naturales, , . Además, sea el cubo -dimensional de la forma :: , , en el espacio euclidiano : y :: . : Entonces para cualquiera y el valor se puede estimar de la siguiente manera ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}}$ ${\displaystyle P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})}$ ${\displaystyle m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1}$ ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}}$ ${\displaystyle J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int }}|S(A)|^{2K}dA}$ ${\displaystyle \tau \geq 0}$ ${\displaystyle K\geq K_{\tau }=m\tau }$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J\leq K_{\tau }^{2m\tau }\varkappa ^{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}2^{8m\varkappa \tau }(P_{1}\dots P_{r})^{2K}P^{-\varkappa \Delta (\tau )}}$, :

donde , , , , y los números naturales son tales que: :: , . ${\displaystyle \varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}}$ ${\displaystyle \gamma \varkappa =1}$ ${\displaystyle \Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{\tau })}$ ${\displaystyle P=(P_{1}^{n_{1}}\dots P_{r}^{n_{r}})^{\gamma }}$ ${\displaystyle \nu _{1},\dots ,\nu _{r}}$ ${\displaystyle -1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0}$ ${\displaystyle s=1,\dots ,r}$

El teorema del valor medio y el lema sobre la multiplicidad de intersección de paralelepípedos multidimensionales forman la base de la estimación de una suma trigonométrica múltiple, que fue obtenida por Karatsuba (el caso bidimensional fue deducido por GI Arkhipov [ ^18] ). Denotando por el mínimo común múltiplo de los números con la condición , para la estimación se cumple ${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle q(t_{1},\dots ,t_{r})}$ ${\displaystyle t_{1}+\dots t_{r}\geq 1}$ ${\displaystyle Q_{0}\geq P^{1/6}}$

${\displaystyle |S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu (Q_{0})}(\tau (Q_{0}))^{r-1}P_{1}\dots P_{r}Q^{-0.1\mu }+2^{8r}(r\mu ^{-1})^{r-1}P_{1}\dots P_{r}P^{-0.05\mu }}$,

donde es el número de divisores del número entero y es el número de divisores primos distintos del número . ${\displaystyle \tau (Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \nu (Q)}$ ${\displaystyle Q}$

La estimación de la función de Hardy en el problema de Waring.

Aplicando su forma -ádica del método de Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov para estimar sumas trigonométricas, en las que la suma se realiza sobre números con divisores primos pequeños, Karatsuba obtuvo ^[19] una nueva estimación de la conocida función de Hardy en el método de Waring. problema (para ): ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G(n)}$ ${\displaystyle n\geq 400}$

${\displaystyle \!G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.}$

Análogo multidimensional del problema de Waring

En su investigación posterior del problema de Waring, Karatsuba obtuvo ^[20] la siguiente generalización bidimensional de ese problema:

Considere el sistema de ecuaciones.

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}}$ , , ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$

donde se dan números enteros positivos con el mismo orden o crecimiento, y son incógnitas, que también son números enteros positivos. Este sistema tiene soluciones, si y si , entonces existen tales que el sistema no tiene soluciones. ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$ ${\displaystyle x_{\varkappa },y_{\varkappa }}$ ${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$ ${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$ ${\displaystyle N_{i}}$

El problema de Artin de la representación local del cero mediante una forma.

Emil Artin había planteado el problema de la representación -ádica del cero mediante una forma de grado arbitrario d . Artin inicialmente conjeturó un resultado, que ahora se describiría como que el campo p-ádico es un campo C 2 ; en otras palabras, se produciría una representación no trivial de cero si el número de variables fuera al menos d ² . El ejemplo de Guy Terjanian demostró que este no era el caso . Karatsuba demostró que, para tener una representación no trivial del cero mediante una forma, el número de variables debería crecer más rápido que polinomialmente en el grado d ; De hecho, este número debería tener un crecimiento casi exponencial, dependiendo del grado. Karatsuba y su alumno Arkhipov demostraron, ^[21] que para cualquier número natural existe , tal que para cualquiera existe una forma con coeficientes integrales de grado menor que , cuyo número de variables es , , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(r)}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq 2^{u}}$

${\displaystyle u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)} _{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}} _{r+1}}}}$

que tiene sólo una representación trivial de cero en los números 2-ádicos. También obtuvieron un resultado similar para cualquier módulo primo impar . ${\displaystyle p}$

Estimaciones de sumas cortas de Kloosterman

Karatsuba desarrolló ^{[22] [23] [24]} (1993—1999) un nuevo método para estimar sumas cortas de Kloosterman , es decir, sumas trigonométricas de la forma

${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr )}},}$

donde recorre un conjunto de números, coprimo a , cuyo número de elementos es esencialmente menor que , y el símbolo denota la clase de congruencia, inversa al módulo : . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n^{*}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle nn^{*}\equiv 1(\mod m)}$

Hasta principios de los años 1990, las estimaciones de este tipo se conocían, principalmente, para sumas en las que el número de sumandos era superior ( HD Kloosterman , IM Vinogradov , H. Salié, L. Carlitz , S. Uchiyama, A. Weil ) . La única excepción fueron los módulos especiales de la forma , donde hay un número primo fijo y el exponente aumenta hasta el infinito (este caso fue estudiado por AG Postnikov mediante el método de Vinogradov). El método de Karatsuba permite estimar sumas de Kloosterman cuando el número de sumandos no excede ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle m=p^{\alpha }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle m^{\varepsilon },}$

y en algunos casos incluso

${\displaystyle \exp {\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}},}$

donde es un número fijo arbitrariamente pequeño. El artículo final de Karatsuba sobre este tema ^[25] se publicó póstumamente. ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Varios aspectos del método de Karatsuba han encontrado aplicaciones en los siguientes problemas de la teoría analítica de números:

• encontrar asintóticas de las sumas de partes fraccionarias de la forma :  : donde pasa, uno tras otro, por los números enteros que satisfacen la condición , y pasa por los números primos que no dividen el módulo (Karatsuba); ${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{p\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{*}+bp}{m}}{\biggr \}},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n,m)=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$

• encontrar un límite inferior para el número de soluciones de desigualdades de la forma :  : en los números enteros , , coprimos a , (Karatsuba); ${\displaystyle \alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$
• la precisión de aproximación de un número real arbitrario en el segmento por partes fraccionarias de la forma: ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},}$ : donde , , (Karatsuba); ${\displaystyle 1\leq n\leq x}$ ${\displaystyle (n,m)=1}$ ${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• una constante más precisa en el teorema de Brun-Titchmarsh  : ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$ : donde es el número de números primos que no exceden y pertenecen a la progresión aritmética ( J. Friedlander , H. Iwaniec ); ${\displaystyle \pi (x;q,l)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {q}}}$

• un límite inferior para el máximo divisor primo del producto de números de la forma:

${\displaystyle n^{3}+2}$, ( RD Heath-Brown ); ${\displaystyle N<n\leq 2N}$

• demostrando que hay infinitos números primos de la forma:

${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ ( J. Friedlander , H. Iwaniec );

• propiedades combinatorias del conjunto de números:

${\displaystyle n^{*}{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq m^{\varepsilon }}$ (AA Glibichuk).

La función zeta de Riemann

Los ceros de Selberg

En 1984, Karatsuba demostró, ^{[26] [27]} que para un intervalo fijo que satisface la condición , un intervalo suficientemente grande y , contiene al menos ceros reales de la función zeta de Riemann . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$ ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$ ${\displaystyle (T,T+H)}$ ${\displaystyle cH\ln T}$ ${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}$

El caso especial fue demostrado por Atle Selberg a principios de 1942. ^[28] Las estimaciones de Atle Selberg y Karatsuba no pueden mejorarse con respecto al orden de crecimiento como . ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$ ${\displaystyle T\to +\infty }$

Distribución de ceros de la función zeta de Riemann en los intervalos cortos de la línea crítica

Karatsuba también obtuvo ^[29] una serie de resultados sobre la distribución de ceros en intervalos «cortos» de la línea crítica. Demostró que una analogía de la conjetura de Selberg es válida para «casi todos» los intervalos , , donde es un número positivo fijo arbitrariamente pequeño. Karatsuba desarrolló (1992) un nuevo enfoque para investigar los ceros de la función zeta de Riemann en intervalos «supercortos» de la línea crítica, es decir, en intervalos cuya longitud crece más lentamente que cualquier grado, incluso arbitrariamente pequeño . En particular, demostró que para cualquier número dado que cumpla las condiciones , casi todos los intervalos contienen al menos ceros de la función . Esta estimación es bastante cercana a la que se desprende de la hipótesis de Riemann . ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$ ${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

Ceros de combinaciones lineales de la serie L de Dirichlet

Karatsuba desarrolló un nuevo método ^{[30] [31]} para investigar ceros de funciones que pueden representarse como combinaciones lineales de series de Dirichlet ${\displaystyle L}$ . El ejemplo más simple de una función de ese tipo es la función de Davenport-Heilbronn, definida por la igualdad

${\displaystyle f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi }}),}$

donde hay un módulo de carácter no principal ( , , , , , para cualquiera ), ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \chi (1)=1}$ ${\displaystyle \chi (2)=i}$ ${\displaystyle \chi (3)=-i}$ ${\displaystyle \chi (4)=-1}$ ${\displaystyle \chi (5)=0}$ ${\displaystyle \chi (n+5)=\chi (n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.}$

Para la hipótesis de Riemann no es cierta, sin embargo, la línea crítica contiene, sin embargo, un número anormal de ceros. ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle Re\ s={\tfrac {1}{2}}}$

Karatsuba demostró (1989) que el intervalo contiene al menos ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H=T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/2}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

ceros de la función . Karatsuba también obtuvo resultados similares para combinaciones lineales que contienen un número arbitrario (finito) de sumandos; el exponente de grado se reemplaza aquí por un número más pequeño , que depende sólo de la forma de la combinación lineal. ${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \beta }$

El límite de ceros de la función zeta y el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet

A Karatsuba pertenece un nuevo resultado revolucionario ^[32] en el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet, que está relacionado con la búsqueda del número de soluciones de la desigualdad en los números naturales como . Porque existe una fórmula asintótica de la forma ${\displaystyle D_{k}(x)}$ ${\displaystyle x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle D_{k}(x)}$

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k-1}(\ln x)+R_{k}(x)}$,

donde es un polinomio de grado , cuyos coeficientes dependen y se pueden encontrar explícitamente y es el término restante, todas las estimaciones conocidas del cual (hasta 1960) eran de la forma ${\displaystyle P_{k-1}(u)}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{k}(x)}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$,

donde , son algunas constantes positivas absolutas. ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{ak+b}}}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Karatsuba obtuvo una estimación más precisa de , en la que el valor era de orden y disminuía mucho más lentamente que en las estimaciones anteriores. La estimación de Karatsuba es uniforme en y ; en particular, el valor puede crecer a medida que crece (como alguna potencia del logaritmo de ). (En 1960, el matemático alemán Richert obtuvo un resultado similar, pero más débil, cuyo artículo permaneció desconocido para los matemáticos soviéticos al menos hasta mediados de los años setenta.) ${\displaystyle R_{k}(x)}$ ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle k^{-2/3}}$ ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

La prueba de la estimación de se basa en una serie de afirmaciones, esencialmente equivalentes al teorema sobre la frontera de ceros de la función zeta de Riemann, obtenido por el método de Vinogradov, es decir, el teorema que afirma que no tiene ceros en la región ${\displaystyle R_{k}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{2/3}(\ln \ln |t|)^{1/3}}},\quad |t|>10}$.

Karatsuba encontró ^[33] (2000) la relación hacia atrás de las estimaciones de los valores con el comportamiento de cerca de la línea . En particular, demostró que si es una función arbitraria no creciente que satisface la condición , tal que para toda la estimación ${\displaystyle R_{k}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle Re\ s=1}$ ${\displaystyle \alpha (y)}$ ${\displaystyle 1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$

se mantiene, entonces no tiene ceros en la región ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-c_{1}\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{2}}$

( son algunas constantes absolutas). ${\displaystyle c,c_{1}}$

Estimaciones desde abajo del máximo del módulo de la función zeta en pequeñas regiones del dominio crítico y en pequeños intervalos de la línea crítica

Karatsuba introdujo y estudió ^[34] las funciones y , definidas por las igualdades ${\displaystyle F(T;H)}$ ${\displaystyle G(s_{0};\Delta )}$

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{\bigr |},\quad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

Aquí hay un número positivo suficientemente grande, , , , . La estimación de los valores y desde abajo muestra qué tan grandes pueden ser los valores (en módulo) en intervalos cortos de la línea crítica o en pequeñas vecindades de puntos que se encuentran en la franja crítica . El caso fue estudiado anteriormente por Ramachandra; el caso donde es una constante suficientemente grande es trivial. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0<H\ll \ln \ln T}$ ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+iT}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{0}\leq 1}$ ${\displaystyle 0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0\leq Re\ s\leq 1}$ ${\displaystyle H\gg \ln \ln T}$ ${\displaystyle \Delta >c}$ ${\displaystyle c}$

Karatsuba demostró, en particular, que si los valores y exceden ciertas constantes suficientemente pequeñas, entonces las estimaciones ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\quad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

mantenga, donde están ciertas constantes absolutas. ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Comportamiento del argumento de la función zeta en la línea crítica

Karatsuba obtuvo una serie de nuevos resultados ^{[35] [36]} relacionados con el comportamiento de la función , que se denomina argumento de la función zeta de Riemann en la línea crítica (aquí está el incremento de una rama continua arbitraria a lo largo de la línea discontinua que une los puntos y ). Entre esos resultados se encuentran los teoremas del valor medio de la función y su primera integral en intervalos de la recta real, y también el teorema que afirma que cada intervalo de contiene al menos ${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$ ${\displaystyle \arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$ ${\displaystyle \arg \zeta (s)}$ ${\displaystyle 2,2+it}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$ ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)du}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H\geq T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/3}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

Puntos donde la función cambia de signo. Atle Selberg obtuvo anteriormente resultados similares para este caso . ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$

Los personajes de Dirichlet

Estimaciones de sumas cortas de caracteres en campos finitos.

A finales de los años sesenta, Karatsuba, estimando sumas cortas de caracteres de Dirichlet , desarrolló ^[37] un nuevo método que permitía obtener estimaciones no triviales de sumas cortas de caracteres en campos finitos . Sea un entero fijo, un polinomio, irreducible sobre el cuerpo de los números racionales, una raíz de la ecuación , la extensión correspondiente del campo , una base de , , , . Además, sea un número primo suficientemente grande, tal que sea módulo irreducible , el campo de Galois con una base , un carácter de Dirichlet no principal del campo . Finalmente, sean algunos números enteros no negativos, el conjunto de elementos del campo de Galois , ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle F(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle F(\theta )=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \omega _{1}=1}$ ${\displaystyle \omega _{2}=\theta }$ ${\displaystyle \omega _{3}=\theta ^{2},\ldots ,\omega _{n}=\theta ^{n-1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$ ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}}$ ${\displaystyle D(X)}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n}}$,

tal que para cualquier , , se cumplen las siguientes desigualdades: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \nu _{i}<x_{i}<\nu _{i}+X}$.

Karatsuba demostró que para cualquier condición fija , y arbitraria que satisfaga la condición ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq n+1}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle p^{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}\leq X\leq p^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}$

se cumple la siguiente estimación:

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{{\bar {x}}\in D(X)}\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl (}X^{1-{\frac {1}{k}}}p^{{\frac {1}{4k}}+{\frac {1}{4k^{2}}}}{\Bigr )}^{\!\!n}(\ln p)^{\gamma },}$

donde , y la constante depende sólo de y la base . ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{k}}(2^{n+1}-1)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$

Estimaciones de sumas lineales de caracteres sobre números primos desplazados

Karatsuba desarrolló una serie de herramientas nuevas que, combinadas con el método de Vinogradov para estimar sumas con números primos, le permitieron obtener en 1970 ^[38] una estimación de la suma de valores de un carácter no principal módulo primo en una secuencia. de números primos desplazados, es decir, una estimación de la forma ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{1024}}},}$

donde es un número entero que satisface la condición , un número fijo arbitrariamente pequeño, y la constante depende únicamente de. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\not \equiv 0(\mod q)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N\geq q^{1/2+\varepsilon }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Esta afirmación es considerablemente más fuerte que la estimación de Vinogradov, que no es trivial para . ${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$

En 1971, hablando en la conferencia internacional sobre teoría de números con motivo del 80 cumpleaños de Ivan Matveyevich Vinogradov , el académico Yuri Linnik señaló lo siguiente:

«De gran importancia son las investigaciones llevadas a cabo por Vinogradov en el área de las asintóticas del carácter de Dirichlet sobre números primos desplazados , que dan una potencia menor en comparación con , donde está el módulo del carácter. Esta estimación es de crucial importancia, ya que es tan profunda que da más que la hipótesis de Riemann extendida y, al parecer, en esa dirección hay un hecho más profundo que esa conjetura (si la conjetura es cierta). Recientemente esta estimación fue mejorada por AAKaratsuba». ${\displaystyle \sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle q}$

Karatsuba amplió este resultado al caso en el que pasa por los números primos en una progresión aritmética, cuyo incremento crece con el módulo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Estimaciones de sumas de caracteres en polinomios con un argumento primo

Karatsuba encontró ^{[37] [39]} una serie de estimaciones de sumas de caracteres de Dirichlet en polinomios de grado dos para el caso en que el argumento del polinomio pasa por una secuencia corta de números primos posteriores. Sea, por ejemplo, un primo suficientemente alto, , donde y son números enteros que satisfacen la condición , y denotemos el símbolo de Legendre , entonces, para cualquier fijo con la condición y para la suma , ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab(a-b)\not \equiv 0(\mod q)}$ ${\displaystyle \left({\frac {n}{q}}\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle N>q^{3/4+\varepsilon }}$ ${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum \limits _{p\leq N}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},}$

se cumple la siguiente estimación:

${\displaystyle |S_{N}|\leq c\pi (N)q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{100}}}}$

(aquí se ejecuta a través de números primos posteriores, el número de números primos no excede y es una constante, que depende únicamente de). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Karatsuba obtuvo una estimación similar también para el caso en el que se recorre una secuencia de números primos en una progresión aritmética, cuyo incremento puede crecer junto con el módulo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Karatsuba conjeturó que la estimación no trivial de la suma de , que es "pequeña" en comparación con , sigue siendo cierta en el caso en que se reemplaza por un polinomio arbitrario de grado , que no es un módulo cuadrado . Esta conjetura aún está abierta. ${\displaystyle S_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Límites inferiores para sumas de caracteres en polinomios

Karatsuba construyó ^[40] una secuencia infinita de números primos y una secuencia de polinomios de grado con coeficientes enteros, tal que no es un módulo cuadrado completo , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p}},}$

y tal que

${\displaystyle \sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.}$

En otras palabras, para cualquiera el valor resulta ser un módulo de residuos cuadráticos . Este resultado muestra que la estimación de André Weil ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq (n-1){\sqrt {p}}}$

no se puede mejorar esencialmente y el lado derecho de esta última desigualdad no se puede reemplazar por, digamos, el valor , donde es una constante absoluta. ${\displaystyle C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle C}$

Sumas de caracteres en secuencias aditivas.

Karatsuba encontró un nuevo método ^[41] que permite obtener estimaciones bastante precisas de sumas de valores de caracteres de Dirichlet no principales en secuencias aditivas, es decir, en secuencias que consisten en números de la forma , donde las variables y atraviesan algunos conjuntos e independientemente unos de otros. El ejemplo más característico de este tipo es la siguiente afirmación, que se aplica a la resolución de una amplia clase de problemas relacionados con la suma de valores de los caracteres de Dirichlet. Sea un número fijo arbitrariamente pequeño, un número primo suficientemente grande, un módulo de carácter no principal . Además, sean y subconjuntos arbitrarios del sistema completo de clases de congruencia módulo , que satisfagan solo las condiciones ,. Entonces se cumple la siguiente estimación: ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x\in A}\sum \limits _{y\in B}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\|\cdot \|B\|q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{20}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.}$

El método de Karatsuba permite obtener estimaciones no triviales de este tipo en algunos otros casos en los que las condiciones de los conjuntos y , formuladas anteriormente, se reemplazan por otras diferentes, por ejemplo: , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }.}$

En el caso de que y sean los conjuntos de números primos en intervalos , respectivamente, donde , , una estimación de la forma ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (1,X]}$ ${\displaystyle (1,Y]}$ ${\displaystyle X\geq q^{1/4+\varepsilon }}$ ${\displaystyle Y\geq q^{1/4+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq X}\sum \limits _{p'\leq Y}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{-c_{1}\varepsilon ^{2}},}$

se cumple, donde es el número de números primos, que no excede , y es una constante absoluta. ${\displaystyle \pi (Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Distribución de clases de congruencia de poder y raíces primitivas en secuencias dispersas.

Karatsuba obtuvo ^[42] (2000) estimaciones no triviales de sumas de valores de caracteres de Dirichlet "con pesos", es decir, sumas de componentes de la forma , donde es una función del argumento natural. Las estimaciones de este tipo se aplican para resolver una amplia clase de problemas de la teoría de números, relacionados con la distribución de clases de congruencia de potencia, así como raíces primitivas en ciertas secuencias. ${\displaystyle \chi (n)f(n)}$ ${\displaystyle f(n)}$

Sea un número entero, un número primo suficientemente grande, , , , donde , y establezcamos, finalmente, ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (a,q)=1}$ ${\displaystyle |a|\leq {\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle N\geq q^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepsilon }}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <\min {\{0.01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}}$

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum \limits _{x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}1=\sum \limits _{n\leq x}\tau _{k}(n)}$

(para una expresión asintótica para , ver arriba, en la sección sobre el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet). Para las sumas y de los valores , extendidos a los valores , para los cuales los números son módulos de residuos cuadráticos (respectivamente, no residuos) , Karatsuba obtuvo fórmulas asintóticas de la forma ${\displaystyle D_{k}(x)}$ ${\displaystyle V_{1}(x)}$ ${\displaystyle V_{2}(x)}$ ${\displaystyle \tau _{k}(n)}$ ${\displaystyle n\leq x}$ ${\displaystyle (n+a)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle V_{1}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )},\quad V_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}}$.

De manera similar, para la suma de valores , tomados sobre todos , para los cuales es un módulo raíz primitivo , se obtiene una expresión asintótica de la forma ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle \tau _{k}(n)}$ ${\displaystyle n\leq x}$ ${\displaystyle (n+a)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle V(x)=\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{s}}}\right)D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}}$,

donde están todos los divisores primos del número . ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{s}}$ ${\displaystyle q-1}$

Karatsuba aplicó su método también a los problemas de distribución de residuos de potencia (no residuos) en las secuencias de números primos desplazados , de los números enteros del tipo y algunos otros. ${\displaystyle p+a}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+a}$

Trabajo atrasado

En sus últimos años, además de su investigación en teoría de números (ver fenómeno de Karatsuba , ^[43] Karatsuba estudió ciertos problemas de la física teórica , en particular en el área de la teoría cuántica de campos . Aplicando su teorema ATS y algunos otros enfoques de la teoría de números, obtuvo nuevos resultados ^[44] en el modelo de Jaynes-Cummings en óptica cuántica .

Premios y títulos

• 1981 : Premio PLTchebyshev de la Academia de Ciencias Soviética
• 1999 : Científico Distinguido de Rusia.
• 2001 : Premio IMVinogradov de la Academia de Ciencias de Rusia

Vida personal

En Crimea

Durante toda su vida, Karatsuba disfrutó de muchos deportes: en su juventud, atletismo, levantamiento de pesas y lucha, luego senderismo, escalada, espeleología y montañismo. ^{[ cita necesaria ]}

En Pamir

Cuatro veces escaló el monte Elbrus . Realizó caminatas por las montañas del Cáucaso , las montañas del Pamir y, especialmente en los últimos años de su vida, Tian Shan en Zailiysky Alatau y Teskey Ala-Too . Amaba la música clásica y la conocía muy bien, especialmente Johann Sebastian Bach y Antonio Vivaldi .

Ver también

• teorema ATS
• algoritmo de karatsuba
• maquina moore

Referencias

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enlaces externos

• Anatoly Karatsuba en el Proyecto Genealogía de Matemáticas
• "Karatsuba Anatolii Alexeevitch (página de inicio personal)". Archivado desde el original el 6 de octubre de 2008 . Consultado el 17 de noviembre de 2008 .
• Lista de trabajos de investigación en el Instituto de Matemáticas Steklov