Teoría analítica de números

Explorando las propiedades de los números enteros con análisis complejos.

Función zeta de Riemann ζ ( s ) en el plano complejo . El color de un punto s codifica el valor de ζ ( s ): los colores cercanos al negro denotan valores cercanos a cero, mientras que el tono codifica el argumento del valor .

En matemáticas , la teoría analítica de números es una rama de la teoría de números que utiliza métodos del análisis matemático para resolver problemas sobre números enteros . ^[1] A menudo se dice que comenzó con la introducción de Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1837 de las funciones L de Dirichlet para dar la primera prueba del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . ^{[1] [2]} Es bien conocido por sus resultados sobre números primos (que involucran el teorema de los números primos y la función zeta de Riemann ) y la teoría de números aditivos (como la conjetura de Goldbach y el problema de Waring ).

Ramas de la teoría analítica de números.

La teoría analítica de números se puede dividir en dos partes principales, divididas más por el tipo de problemas que intentan resolver que por diferencias fundamentales en la técnica. ^[3]

• La teoría de números multiplicativos se ocupa de la distribución de los números primos , como la estimación del número de primos en un intervalo, e incluye el teorema de los números primos y el teorema de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas . ^[4]
• La teoría aditiva de números se ocupa de la estructura aditiva de los números enteros, como la conjetura de Goldbach de que todo número par mayor que 2 es la suma de dos primos. Uno de los principales resultados de la teoría de números aditivos es la solución al problema de Waring . ^[5]

Historia

Precursores

Gran parte de la teoría analítica de números se inspiró en el teorema de los números primos . Sea π( x ) la función de conteo de primos que da el número de primos menores o iguales a x , para cualquier número real  x . Por ejemplo, π(10) = 4 porque hay cuatro números primos (2, 3, 5 y 7) menores o iguales a 10. El teorema de los números primos establece entonces que x / ln( x ) es una buena aproximación a π ( x ), en el sentido de que el límite del cociente de las dos funciones π( x ) y x / ln( x ) cuando x tiende al infinito es 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

conocida como ley asintótica de distribución de números primos.

Adrien-Marie Legendre conjeturó en 1797 o 1798 que π( a ) se aproxima mediante la función a /( A ln( a ) +  B ), donde A y B son constantes no especificadas. En la segunda edición de su libro sobre teoría de números (1808) hizo una conjetura más precisa, con A  = 1 y B  ≈ −1,08366. Carl Friedrich Gauss se planteó la misma cuestión: "Im Jahr 1792 oder 1793" ('en el año 1792 o 1793'), según sus propios recuerdos casi sesenta años después, en una carta a Encke (1849), escribió en su tabla de logaritmos (tenía entonces 15 o 16 años) la nota breve "Primzahlen unter " ('números primos debajo '). Pero Gauss nunca publicó esta conjetura. En 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ideó su propia función de aproximación, la integral logarítmica li( x ) (bajo la forma ligeramente diferente de una serie, que comunicó a Gauss). Tanto la fórmula de Legendre como la de Dirichlet implican la misma equivalencia asintótica conjeturada de π( x ) y x  / ln( x ) mencionada anteriormente, aunque resultó que la aproximación de Dirichlet es considerablemente mejor si se consideran las diferencias en lugar de los cocientes. ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$ ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$

Dirichlet

A Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet se le atribuye la creación de la teoría analítica de números, ^[6] un campo en el que encontró varios resultados profundos y, al probarlos, introdujo algunas herramientas fundamentales, muchas de las cuales más tarde recibieron su nombre. En 1837 publicó el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , utilizando conceptos de análisis matemático para abordar un problema algebraico y creando así la rama de la teoría analítica de números. Al demostrar el teorema, introdujo los caracteres de Dirichlet y las funciones L. ^{[6] [7]} En 1841 generalizó su teorema de progresiones aritméticas de números enteros al anillo de números enteros gaussianos . ^[8] ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

Chebyshev

En dos artículos de 1848 y 1850, el matemático ruso Pafnuty L'vovich Chebyshev intentó demostrar la ley asintótica de distribución de números primos. Su trabajo se destaca por el uso de la función zeta ζ( s ) (para valores reales del argumento "s", como lo son los trabajos de Leonhard Euler , ya en 1737) anteriores a las célebres memorias de Riemann de 1859, y logró demostrar una forma ligeramente más débil de la ley asintótica, a saber, que si el límite de π( x )/( x /ln( x )) cuando x tiende al infinito existe, entonces es necesariamente igual a uno. ^[9] Pudo demostrar incondicionalmente que esta relación está limitada por arriba y por abajo por dos constantes dadas explícitamente cercanas a 1 para todo x . ^[10] Aunque el artículo de Chebyshev no demostró el teorema de los números primos, sus estimaciones para π( x ) fueron lo suficientemente sólidas como para demostrar el postulado de Bertrand de que existe un número primo entre n y 2 n para cualquier número entero n  ≥ 2.

Riemann

" …es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbe hrlich schien " .

"...es muy probable que todas las raíces sean reales. Por supuesto, uno desearía aquí una prueba rigurosa; por el momento, después de algunos intentos vanos y fugaces, he dejado de lado provisionalmente la búsqueda de esto, ya que parece prescindible para el próximo objetivo de mi investigación."

Declaración de Riemann sobre la hipótesis de Riemann, de su artículo de 1859. ^[11] (Estaba discutiendo una versión de la función zeta, modificada para que sus raíces sean reales en lugar de estar en la línea crítica. Ver Función Riemann Xi).

Bernhard Riemann hizo algunas contribuciones famosas a la teoría analítica de números moderna. En un único artículo breve (el único que publicó sobre el tema de la teoría de números), investigó la función zeta de Riemann y estableció su importancia para comprender la distribución de los números primos . Hizo una serie de conjeturas sobre las propiedades de la función zeta , una de las cuales es la conocida hipótesis de Riemann .

Hadamard y de la Vallée-Poussin

Ampliando las ideas de Riemann, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin obtuvieron de forma independiente dos demostraciones del teorema de los números primos que aparecieron el mismo año (1896). Ambas pruebas utilizaron métodos provenientes del análisis complejo, estableciendo como paso principal de la prueba que la función zeta de Riemann ζ( s ) es distinta de cero para todos los valores complejos de la variable s que tienen la forma s  = 1 +  it con t  > 0 [ ^12]

Tiempos modernos

El mayor cambio técnico después de 1950 ha sido el desarrollo de métodos de criba , ^[13] particularmente en problemas multiplicativos. Estos son de naturaleza combinatoria y bastante variados. A cambio, la rama extrema de la teoría combinatoria se ha visto muy influenciada por el valor que la teoría analítica de números otorga a los límites superiores e inferiores cuantitativos. Otro desarrollo reciente es la teoría probabilística de números , ^[14] que utiliza métodos de la teoría de la probabilidad para estimar la distribución de funciones teóricas de números, como cuántos divisores primos tiene un número.

Específicamente, los avances de Yitang Zhang , James Maynard , Terence Tao y Ben Green han utilizado el método Goldston – Pintz – Yıldırım , que utilizaron originalmente para demostrar que ^{[15] [16] [17] [18] [19] [ 20]}

$${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).}$$

Los avances dentro de la teoría analítica de números son a menudo refinamientos de técnicas anteriores, que reducen los términos de error y amplían su aplicabilidad. Por ejemplo, el método del círculo de Hardy y Littlewood se concibió para aplicarse a series de potencias cercanas al círculo unitario en el plano complejo ; ahora se piensa en términos de sumas exponenciales finitas (es decir, en el círculo unitario, pero con la serie de potencias truncada). Las necesidades de la aproximación diofántica son para funciones auxiliares que no generan funciones (sus coeficientes se construyen mediante el uso de un principio de casillero ) e involucran varias variables complejas . Los campos de la aproximación diofántica y la teoría de la trascendencia se han ampliado, hasta el punto de que las técnicas se han aplicado a la conjetura de Mordell .

Problemas y resultados

Los teoremas y resultados dentro de la teoría analítica de números tienden a no ser resultados estructurales exactos sobre los números enteros, para los cuales las herramientas algebraicas y geométricas son más apropiadas. En cambio, dan límites y estimaciones aproximados para varias funciones teóricas numéricas, como lo ilustran los siguientes ejemplos.

Teoría de números multiplicativos

Euclides demostró que existen infinitos números primos. Una cuestión importante es determinar la distribución asintótica de los números primos; es decir, una descripción aproximada de cuántos números primos son menores que un número determinado. Gauss , entre otros, después de calcular una gran lista de números primos, conjeturó que el número de números primos menores o iguales que un número grande N se aproxima al valor de la integral.

${\displaystyle \int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}}\,dt.}$

En 1859, Bernhard Riemann utilizó un análisis complejo y una función meromorfa especial ahora conocida como función zeta de Riemann para derivar una expresión analítica para el número de primos menores o iguales a un número real  x . Sorprendentemente, el término principal en la fórmula de Riemann era exactamente la integral anterior, lo que otorgaba un peso sustancial a la conjetura de Gauss. Riemann descubrió que los términos de error en esta expresión, y por tanto la manera en que se distribuyen los números primos, están estrechamente relacionados con los ceros complejos de la función zeta. Utilizando las ideas de Riemann y obteniendo más información sobre los ceros de la función zeta, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin lograron completar la prueba de la conjetura de Gauss. En particular, demostraron que si

${\displaystyle \pi (x)=({\text{number of primes }}\leq x),}$

entonces

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$

Este notable resultado es lo que ahora se conoce como teorema de los números primos . Es un resultado central en la teoría analítica de números. En términos generales, establece que dado un número grande N , el número de primos menores o iguales que N es aproximadamente N /log( N ).

De manera más general, se puede hacer la misma pregunta sobre el número de números primos en cualquier progresión aritmética a+nq para cualquier número entero n . En una de las primeras aplicaciones de técnicas analíticas a la teoría de números, Dirichlet demostró que cualquier progresión aritmética con a y q coprimos contiene infinitos primos. El teorema de los números primos se puede generalizar a este problema; dejando

${\displaystyle \pi (x,a,q)=({\text{number of primes }}\leq x{\text{ such that }}p{\text{ is in the arithmetic progression }}a+nq,n\in \mathbf {Z} ),}$

entonces si a y q son coprimos,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.}$

También hay muchas conjeturas profundas y de amplio alcance en la teoría de números cuyas pruebas parecen demasiado difíciles para las técnicas actuales, como la conjetura de los primos gemelos que pregunta si hay infinitos números primos p tales que p  + 2 es primo. Partiendo del supuesto de la conjetura de Elliott-Halberstam, se ha demostrado recientemente que hay infinitos números primos p tales que p  +  k es primo para algún k par positivo como máximo 12. Además, se ha demostrado incondicionalmente (es decir, sin depender de datos no probados). conjeturas) que hay infinitos números primos p tales que p  +  k es primo para algún k par positivo como máximo 246.

Teoría de números aditiva

Uno de los problemas más importantes en la teoría de números aditivos es el problema de Waring , que pregunta si es posible, para cualquier k  ≥ 2, escribir cualquier entero positivo como la suma de un número acotado de k -ésimas potencias,

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.}$

El caso de los cuadrados, k  = 2, fue respondido por Lagrange en 1770, quien demostró que todo número entero positivo es la suma de como máximo cuatro cuadrados. Hilbert demostró el caso general en 1909, utilizando técnicas algebraicas que no daban límites explícitos. Un avance importante fue la aplicación de herramientas analíticas al problema por parte de Hardy y Littlewood . Estas técnicas se conocen como método del círculo y dan límites superiores explícitos para la función G ( k ), el número más pequeño de k -ésimas potencias necesarias, como el límite de Vinogradov .

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).}$

Problemas diofánticos

Los problemas diofánticos se ocupan de soluciones enteras de ecuaciones polinómicas: se puede estudiar la distribución de soluciones, es decir, contar soluciones según alguna medida de "tamaño" o altura .

Un ejemplo importante es el problema del círculo de Gauss , que solicita puntos enteros ( x  y ) que satisfagan

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

En términos geométricos, dado un círculo centrado alrededor del origen en el plano con radio r , el problema pregunta cuántos puntos enteros de la red se encuentran sobre o dentro del círculo. No es difícil demostrar que la respuesta es dónde y como . Nuevamente, la parte difícil y un gran logro de la teoría analítica de números es obtener límites superiores específicos en el término de error  E ( r ). ${\displaystyle \pi r^{2}+E(r)}$ ${\displaystyle E(r)/r^{2}\to 0}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

Gauss demostró que . En general, un término de error O ( r ) sería posible con el círculo unitario (o, más propiamente, el disco unitario cerrado) reemplazado por los dilatados de cualquier región plana delimitada con un límite suave por partes. Además, reemplazando el círculo unitario por el cuadrado unitario, el término de error para el problema general puede ser tan grande como una función lineal de  r . Por lo tanto, obtener un límite de error en la forma para algunos en el caso del círculo es una mejora significativa. El primero en lograrlo fue Sierpiński en 1906, quien demostró . En 1915, Hardy y Landau demostraron cada uno que no se tiene . Desde entonces el objetivo ha sido demostrar que para cada fijo existe un número real tal que . ${\displaystyle E(r)=O(r)}$ ${\displaystyle O(r^{\delta })}$ ${\displaystyle \delta <1}$ ${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$ ${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle C(\epsilon )}$ ${\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$

En 2000, Huxley demostró ^[21] que es el mejor resultado publicado. ${\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}$

Métodos de teoría analítica de números.

serie dirichlet

Una de las herramientas más útiles en la teoría de números multiplicativos son las series de Dirichlet , que son funciones de una variable compleja definida por una serie infinita de la forma

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

Dependiendo de la elección de los coeficientes , esta serie puede converger en todas partes, en ninguna parte o en algún semiplano. En muchos casos, incluso cuando la serie no converge en todas partes, la función holomorfa que define puede continuar analíticamente hasta una función meromórfica en todo el plano complejo. La utilidad de funciones como esta en problemas multiplicativos se puede ver en la identidad formal ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

por tanto, los coeficientes del producto de dos series de Dirichlet son las convoluciones multiplicativas de los coeficientes originales. Además, se pueden utilizar técnicas como la suma parcial y los teoremas de Tauber para obtener información sobre los coeficientes a partir de información analítica sobre la serie de Dirichlet. Por lo tanto, un método común para estimar una función multiplicativa es expresarla como una serie de Dirichlet (o un producto de una serie de Dirichlet más simple usando identidades de convolución), examinar esta serie como una función compleja y luego convertir esta información analítica nuevamente en información sobre la función original. .

Función zeta de Riemann

Euler demostró que el teorema fundamental de la aritmética implica (al menos formalmente) el producto de Euler

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ for }}s>1}$

donde el producto se toma de todos los números primos p .

La prueba de Euler de la infinidad de números primos hace uso de la divergencia del término en el lado izquierdo para s = 1 (la llamada serie armónica ), un resultado puramente analítico. Euler también fue el primero en utilizar argumentos analíticos con el fin de estudiar las propiedades de los números enteros, específicamente mediante la construcción de series de potencias generadoras . Este fue el comienzo de la teoría analítica de números. ^[20]

Más tarde, Riemann consideró esta función para valores complejos de s y demostró que esta función se puede extender a una función meromorfa en todo el plano con un polo simple en s  = 1. Esta función ahora se conoce como función Zeta de Riemann y se denota por ζ ( s ). Existe una gran cantidad de literatura sobre esta función y la función es un caso especial de las funciones L de Dirichlet más generales .

Los teóricos analíticos de números suelen estar interesados ​​en el error de aproximaciones como el teorema de los números primos. En este caso, el error es menor que x /log  x . La fórmula de Riemann para π( x ) muestra que el término de error en esta aproximación se puede expresar en términos de los ceros de la función zeta. En su artículo de 1859 , Riemann conjeturó que todos los ceros "no triviales" de ζ se encuentran en la recta, pero nunca proporcionó una prueba de esta afirmación. Esta famosa y antigua conjetura se conoce como la Hipótesis de Riemann y tiene muchas implicaciones profundas en la teoría de números; de hecho, muchos teoremas importantes se han demostrado bajo el supuesto de que la hipótesis es verdadera. Por ejemplo, bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann, el término de error en el teorema de los números primos es . ${\displaystyle \Re (s)=1/2}$ ${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$

A principios del siglo XX, GH Hardy y Littlewood demostraron muchos resultados sobre la función zeta en un intento de demostrar la hipótesis de Riemann. De hecho, en 1914, Hardy demostró que había infinitos ceros de la función zeta en la recta crítica.

${\displaystyle \Re (z)=1/2.}$

Esto llevó a varios teoremas que describen la densidad de los ceros en la línea crítica.

Ver también

• Función L automórfica
• Forma automorfa
• Programa Langlands
• método matricial de Maier

Notas

1. Apóstol 1976, pag. 7.
2. Davenport 2000, pag. 1.
3. Hildebrand, AJ (2005). "Notas de la conferencia de Introducción a la teoría analítica de números Matemáticas 531, otoño de 2005" (PDF) .
4. Davenport, Harold (2013). Teoría de números multiplicativos. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 74. Springer-Verlag. pag. 1.doi :10.1007/978-1-4757-5927-3 . ISBN 978-1-4757-5929-7.
5. Nathason, Melvyn B. (2013). Teoría de números aditivos, las bases clásicas. Springer-Verlag. pag. vii-viii. ISBN 978-0-387-94656-6.
6. Gowers, Timoteo ; Junio ​​Barrow-Green ; Imre Líder (2008). El compañero de Princeton para las matemáticas. Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 764–765. ISBN 978-0-691-11880-2.
7. Kanemitsu, Shigeru; Chaohua Jia (2002). Métodos de teoría de números: tendencias futuras . Saltador. págs. 271-274. ISBN 978-1-4020-1080-4.
8. Elstrodt, Jürgen (2007). "La vida y obra de Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)" (PDF) . Actas de matemáticas de arcilla . Archivado desde el original (PDF) el 7 de marzo de 2008 . Consultado el 25 de diciembre de 2007 .
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10. M. Nair (febrero de 1982). "Sobre las desigualdades de tipo Chebyshev para los números primos". Mensual Matemático Estadounidense . 89 (2): 126–129. doi :10.2307/2320934. JSTOR  2320934.
11. Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie. En Gesammelte Werke , Teubner, Leipzig (1892), reimpreso por Dover, Nueva York (1953). Manuscrito original Archivado el 23 de mayo de 2013 en Wayback Machine (con traducción al inglés). Reimpreso en (Borwein et al. 2008) y (Edwards 1974)
12. Ingham, AE (1990). La distribución de números primos . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 2–5. ISBN 0-521-39789-8.
13. Tenenbaum 1995, pág. 56.
14. Tenenbaum 1995, pág. 267.
15. Verde, Ben (22 de febrero de 2014). "Brechas acotadas entre números primos". arXiv : 1402.4849 .
16. Maynard, James (2019). "Primos con dígitos restringidos". Invenciones Mathematicae . 217 (1): 127–218. arXiv : 1604.01041 . doi :10.1007/s00222-019-00865-6.
17. Verde, Ben; Tao, Terence (2008). "Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas". Anales de Matemáticas . 2da Serie. 167 (2): 481–547. arXiv : matemáticas/0404188 . doi : 10.4007/annals.2008.167.481.
18. "Espacios acotados entre números primos - Polymath Wiki". asone.ai . Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2020 . Consultado el 14 de julio de 2022 .
19. Terence Tao - Brechas grandes y pequeñas en los números primos [2015] , consultado el 14 de julio de 2022
20. Iwaniec y Kowalski: teoría analítica de números, AMS Colloquium Pub. vol. 53, 2004
21. MN Huxley, Puntos enteros, sumas exponenciales y la función zeta de Riemann , Teoría de números para el milenio, II (Urbana, IL, 2000) págs. 275-290, AK Peters, Natick, MA, 2002, MR 1956254.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, SEÑOR  0434929, Zbl  0335.10001
• Borwein, Peter ; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, eds. (2008), La hipótesis de Riemann: un recurso para aficionados y virtuosos por igual , CMS Books in Mathematics, Nueva York: Springer, doi :10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5
• Davenport, Harold (2000), Teoría de números multiplicativos , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 74 (3.ª edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95097-6, señor  1790423
• Edwards, HM (1974), Función Zeta de Riemann , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41740-0, SEÑOR  0466039
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introducción a la teoría analítica y probabilística de números , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, vol. 46, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 0-521-41261-7

Otras lecturas

• Ayoub, Introducción a la teoría analítica de números
• HL Montgomery y RC Vaughan, Teoría de números multiplicativos I  : Teoría clásica
• H. Iwaniec y E. Kowalski, Teoría analítica de números .
• DJ Newman, Teoría analítica de números , Springer, 1998

En aspectos especializados se han vuelto especialmente conocidos los siguientes libros:

• Titchmarsh, Edward Charles (1986), La teoría de la función Zeta de Riemann (2ª ed.), Oxford University Press
• H. Halberstam y HE Richert, Métodos de tamiz
• RC Vaughan, El método Hardy-Littlewood , 2º. ed.

Ciertos temas aún no han llegado a forma de libro en profundidad. Algunos ejemplos son (i) la conjetura de correlación de pares de Montgomery y el trabajo que se inició a partir de ella, (ii) los nuevos resultados de Goldston, Pintz y Yilidrim sobre pequeñas brechas entre números primos , y (iii) el teorema de Green-Tao que muestra que la aritmética arbitrariamente larga existen progresiones de números primos.