La teoría de números aditiva es el subcampo de la teoría de números que se ocupa del estudio de subconjuntos de números enteros y su comportamiento en la suma . De manera más abstracta, el campo de la teoría de números aditivos incluye el estudio de grupos abelianos y semigrupos conmutativos con una operación de suma. La teoría de números aditiva tiene estrechos vínculos con la teoría combinatoria de números y la geometría de los números . Dos objetos principales de estudio son la suma de dos subconjuntos A y B de elementos de un grupo abeliano G ,
y la suma h veces mayor de A ,
El campo se dedica principalmente a la consideración de problemas directos sobre (típicamente) los números enteros, es decir, determinar la estructura de hA a partir de la estructura de A : por ejemplo, determinar qué elementos se pueden representar como una suma a partir de hA , donde A es un subconjunto fijo. [1] Dos problemas clásicos de este tipo son la conjetura de Goldbach (que es la conjetura de que 2 P contiene todos los números pares mayores que dos, donde P es el conjunto de los primos ) y el problema de Waring (que pregunta qué tan grande debe ser h para garantizar que hA k contiene todos los números enteros positivos, donde
es el conjunto de k-ésimas potencias). Muchos de estos problemas se estudian utilizando las herramientas del método del círculo de Hardy-Littlewood y de los métodos de tamiz . Por ejemplo, Vinogradov demostró que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos, por lo que todo número par suficientemente grande es la suma de cuatro primos. Hilbert demostró que, para todo número entero k > 1, todo número entero no negativo es la suma de un número acotado de k -ésimas potencias. En general, un conjunto A de números enteros no negativos se llama base de orden h si hA contiene todos los números enteros positivos, y se llama base asintótica si hA contiene todos los números enteros suficientemente grandes. Gran parte de la investigación actual en esta área se refiere a las propiedades de bases asintóticas generales de orden finito. Por ejemplo, un conjunto A se llama base asintótica mínima de orden h si A es una base asintótica de orden h pero ningún subconjunto propio de A es una base asintótica de orden h . Se ha demostrado que existen bases asintóticas mínimas de orden h para todo h , y que también existen bases asintóticas de orden h que no contienen bases asintóticas mínimas de orden h . Otra cuestión a considerar es qué tan pequeño puede ser el número de representaciones de n como suma de h elementos en una base asintótica. Este es el contenido de la conjetura de Erdős-Turán sobre bases aditivas .
