La teoría de números multiplicativos es un subcampo de la teoría analítica de números que se ocupa de los números primos y de la factorización y los divisores . El enfoque suele estar en el desarrollo de fórmulas aproximadas para contar estos objetos en diversos contextos. El teorema de los números primos es un resultado clave en esta materia. La clasificación de la materia de matemáticas para la teoría de números multiplicativos es 11Nxx.
La teoría de números multiplicativos se ocupa principalmente de las estimaciones asintóticas de funciones aritméticas . Históricamente, el tema ha estado dominado por el teorema de los números primos , primero por los intentos de demostrarlo y luego por las mejoras en el término de error. El problema del divisor de Dirichlet, que estima el orden promedio de la función divisora d(n), y el problema del círculo de Gauss , que estima el orden promedio del número de representaciones de un número como suma de dos cuadrados, también son problemas clásicos, y nuevamente el enfoque está en mejorar las estimaciones de error.
La distribución de números primos entre las clases de residuos módulo un entero es un área de investigación activa. El teorema de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas muestra que hay una infinidad de primos en cada clase de residuo coprimo, y el teorema de los números primos para progresiones aritméticas muestra que los primos están asintóticamente equidistribuidos entre las clases de residuos. El teorema de Bombieri-Vinogradov proporciona una medida más precisa de cuán uniformemente están distribuidos. También hay mucho interés en el tamaño del primo más pequeño en una progresión aritmética; el teorema de Linnik proporciona una estimación.
La conjetura de los primos gemelos , es decir, que hay una infinidad de primos p tales que p +2 también es primo, es objeto de una activa investigación. El teorema de Chen demuestra que hay una infinidad de primos p tales que p +2 es primo o el producto de dos primos.
Los métodos pertenecen principalmente a la teoría analítica de números , pero los métodos elementales, especialmente los métodos de criba , también son muy importantes. La criba grande y las sumas exponenciales suelen considerarse parte de la teoría multiplicativa de números.
La distribución de números primos está estrechamente ligada al comportamiento de la función zeta de Riemann y a la hipótesis de Riemann , y estos temas se estudian tanto desde el punto de vista de la teoría de números como desde el punto de vista del análisis complejo .
Una gran parte de la teoría analítica de números se ocupa de problemas multiplicativos, por lo que la mayoría de sus textos contienen secciones sobre teoría multiplicativa de números. A continuación se presentan algunos textos conocidos que tratan específicamente de problemas multiplicativos: