Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( 13 de febrero de 1805 - 5 de mayo de 1859) fue un matemático alemán . En teoría de números , demostró casos especiales del último teorema de Fermat y creó la teoría analítica de números . En análisis , avanzó la teoría de las series de Fourier y fue uno de los primeros en dar la definición formal moderna de una función . En física matemática, estudió la teoría del potencial , los problemas de valor límite , la difusión del calor y la hidrodinámica .
Aunque su apellido es Lejeune Dirichlet, comúnmente se le conoce por su monónimo Dirichlet , en particular por los resultados que llevan su nombre.
Gustav Lejeune Dirichlet nació el 13 de febrero de 1805 en Düren , una ciudad en la orilla izquierda del Rin que en ese momento era parte del Primer Imperio Francés , que volvió a Prusia después del Congreso de Viena en 1815. Su padre, Johann Arnold Lejeune Dirichlet, era el jefe de correos, comerciante y concejal de la ciudad. Su abuelo paterno había llegado a Düren desde Richelette (o más probablemente Richelle ), una pequeña comunidad a 5 km (3 millas) al noreste de Lieja en Bélgica , de donde se deriva su apellido "Lejeune Dirichlet" (" le jeune de Richelette ", en francés "el joven de Richelette"). [3]
Aunque su familia no era adinerada y él era el menor de siete hijos, sus padres apoyaron su educación. Lo inscribieron en una escuela primaria y luego en una escuela privada con la esperanza de que más tarde se convirtiera en comerciante. El joven Dirichlet, que mostró un fuerte interés por las matemáticas antes de los 12 años, persuadió a sus padres para que le permitieran continuar sus estudios. En 1817 lo enviaron al Gymnasium Bonn bajo el cuidado de Peter Joseph Elvenich , un estudiante que su familia conocía. En 1820, Dirichlet se trasladó al Gymnasium jesuita de Colonia , donde sus lecciones con Georg Ohm ayudaron a ampliar sus conocimientos en matemáticas. Dejó el gimnasio un año después con solo un certificado, ya que su incapacidad para hablar latín con fluidez le impidió obtener el Abitur . [3]
Dirichlet persuadió nuevamente a sus padres para que le brindaran más apoyo financiero para sus estudios de matemáticas, en contra de su deseo de que hiciera una carrera en derecho. Como Alemania ofrecía pocas oportunidades para estudiar matemáticas superiores en ese momento, con solo Gauss en la Universidad de Gotinga, que nominalmente era profesor de astronomía y de todos modos no le gustaba enseñar, Dirichlet decidió ir a París en mayo de 1822. Allí asistió a clases en el Collège de France y en la Universidad de París , aprendiendo matemáticas de Hachette entre otros, mientras realizaba un estudio privado de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss , un libro que mantuvo cerca durante toda su vida. En 1823 fue recomendado al general Maximilien Foy , quien lo contrató como tutor privado para enseñar alemán a sus hijos , el salario finalmente le permitió a Dirichlet independizarse del apoyo financiero de sus padres. [4]
Su primera investigación original, que comprendía parte de una prueba del Último Teorema de Fermat para el caso n = 5 , le trajo fama inmediata, siendo el primer avance en el teorema desde la prueba del propio Fermat del caso n = 4 y la prueba de Euler para n = 3. Adrien -Marie Legendre , uno de los árbitros, pronto completó la prueba para este caso; Dirichlet completó su propia prueba poco tiempo después de Legendre, y unos años más tarde produjo una prueba completa para el caso n = 14. [ 5] En junio de 1825 fue aceptado para dar una conferencia sobre su prueba parcial para el caso n = 5 en la Academia Francesa de Ciencias , una hazaña excepcional para un estudiante de 20 años sin título. [3] Su conferencia en la Academia también había puesto a Dirichlet en estrecho contacto con Fourier y Poisson , quienes despertaron su interés en la física teórica , especialmente la teoría analítica del calor de Fourier .
En noviembre de 1825, cuando el general Foy murió y no pudo encontrar ningún puesto remunerado en Francia, Dirichlet tuvo que regresar a Prusia. Fourier y Poisson le presentaron a Alexander von Humboldt , que había sido llamado a unirse a la corte del rey Federico Guillermo III . Humboldt, que planeaba convertir Berlín en un centro de ciencia e investigación, ofreció inmediatamente su ayuda a Dirichlet, enviando cartas a su favor al gobierno prusiano y a la Academia Prusiana de Ciencias . Humboldt también consiguió una carta de recomendación de Gauss, quien, al leer sus memorias sobre el teorema de Fermat, escribió con una inusual cantidad de elogios que «Dirichlet demostró un talento excelente». [6] Con el apoyo de Humboldt y Gauss, a Dirichlet se le ofreció un puesto de profesor en la Universidad de Breslau . Sin embargo, como no había aprobado una disertación doctoral, presentó sus memorias sobre el teorema de Fermat como tesis en la Universidad de Bonn . Una vez más, su falta de fluidez en latín le impidió llevar a cabo la necesaria discusión pública de su tesis; después de mucho debate, la universidad decidió evitar el problema otorgándole un doctorado honorario en febrero de 1827. Además, el Ministro de Educación le concedió una dispensa para la discusión de latín requerida para la habilitación . Dirichlet obtuvo la habilitación y dio clases en el año 1827-28 como Privatdozent en Breslau . [3]
Durante su estancia en Breslau, Dirichlet continuó sus investigaciones sobre la teoría de números y publicó importantes contribuciones a la ley de reciprocidad bicuadrática , que en aquel momento era un punto central de la investigación de Gauss. Alexander von Humboldt aprovechó estos nuevos resultados, que también habían suscitado elogios entusiastas de Friedrich Bessel , para conseguirle el deseado traslado a Berlín. Dada la corta edad de Dirichlet (tenía 23 años en aquel momento), Humboldt sólo pudo conseguirle un puesto de prueba en la Academia Militar Prusiana de Berlín, mientras permanecía nominalmente empleado en la Universidad de Breslau. El período de prueba se prolongó durante tres años hasta que el puesto se convirtió en definitivo en 1831.
Tras su traslado a Berlín, Humboldt le introdujo en los grandes salones que organizaban el banquero Abraham Mendelssohn Bartholdy y su familia. Su casa era un punto de encuentro semanal para artistas y científicos berlineses, entre ellos los hijos de Abraham, Felix y Fanny Mendelssohn , ambos músicos destacados, y el pintor Wilhelm Hensel (marido de Fanny). Dirichlet mostró un gran interés por la hija de Abraham, Rebecka, con la que se casó en 1832.
Rebecka Henriette Lejeune Dirichlet (née Rebecka Mendelssohn; 11 de abril de 1811 - 1 de diciembre de 1858) fue nieta de Moses Mendelssohn y hermana menor de Felix Mendelssohn y Fanny Mendelssohn . [7] [8] Rebecka nació en Hamburgo . [9] En 1816 sus padres organizaron su bautismo , momento en el que adoptó el nombre de Rebecka Henriette Mendelssohn Bartholdy. [10] Pasó a formar parte del notable salón de sus padres, Abraham Mendelssohn y su esposa Lea, teniendo contactos sociales con importantes músicos, artistas y científicos en un período altamente creativo de la vida intelectual alemana. En 1829 cantó un pequeño papel en el estreno, dado en la casa de Mendelssohn, del Singspiel de Felix Die Heimkehr aus der Fremde . Más tarde escribió:
Mi hermano y mi hermana mayores me robaron mi reputación de artista. En cualquier otra familia yo habría sido muy valorado como músico y tal vez habría sido líder de un grupo. Al lado de Félix y Fanny, no podía aspirar a ningún reconocimiento. [11]
En 1832 se casó con Dirichlet, quien fue presentado a la familia Mendelssohn por Alexander von Humboldt . [12] En 1833 nació su primer hijo, Walter. Ella murió en Gotinga en 1858.
Tan pronto como llegó a Berlín, Dirichlet solicitó dar clases en la Universidad de Berlín , y el Ministro de Educación aprobó el traslado y en 1831 lo asignó a la Facultad de Filosofía . La facultad le exigió que emprendiera una renovada calificación de habilitación , y aunque Dirichlet escribió un Habilitationsschrift como era necesario, pospuso dar la conferencia obligatoria en latín por otros 20 años, hasta 1851. Como no había completado este requisito formal, permaneció vinculado a la facultad con menos de plenos derechos, incluidos emolumentos restringidos, lo que lo obligó a mantener en paralelo su puesto de profesor en la Escuela Militar. En 1832 Dirichlet se convirtió en miembro de la Academia Prusiana de Ciencias , el miembro más joven con solo 27 años. [3]
Dirichlet tenía una buena reputación entre los estudiantes por la claridad de sus explicaciones y disfrutaba de la enseñanza, especialmente porque sus conferencias universitarias tendían a ser sobre los temas más avanzados en los que estaba haciendo investigación: teoría de números (fue el primer profesor alemán en dar conferencias sobre teoría de números), análisis y física matemática . Dirigió las tesis doctorales de varios matemáticos alemanes importantes, como Gotthold Eisenstein , Leopold Kronecker , Rudolf Lipschitz y Carl Wilhelm Borchardt , al tiempo que influyó en la formación matemática de muchos otros científicos, incluidos Elwin Bruno Christoffel , Wilhelm Weber , Eduard Heine , Ludwig von Seidel y Julius Weingarten . En la Academia Militar, Dirichlet logró introducir el cálculo diferencial e integral en el plan de estudios, elevando el nivel de la educación científica allí. Sin embargo, gradualmente comenzó a sentir que su doble carga docente, en la academia militar y en la universidad, estaba limitando el tiempo disponible para su investigación. [3]
Durante su estancia en Berlín, Dirichlet mantuvo contacto con otros matemáticos. En 1829, durante un viaje, conoció a Carl Jacobi , por entonces profesor de matemáticas en la Universidad de Königsberg . A lo largo de los años siguieron reuniéndose y mantuvieron correspondencia sobre cuestiones de investigación, hasta llegar a convertirse en grandes amigos. En 1839, durante una visita a París, Dirichlet conoció a Joseph Liouville . Los dos matemáticos se hicieron amigos, mantuvieron el contacto e incluso se visitaron con sus familias unos años más tarde. En 1839, Jacobi envió a Dirichlet un artículo de Ernst Kummer , por entonces profesor de escuela. Al darse cuenta del potencial de Kummer, lo ayudaron a ser elegido miembro de la Academia de Berlín y, en 1842, consiguieron para él un puesto de profesor titular en la Universidad de Breslau. En 1840, Kummer se casó con Ottilie Mendelssohn, prima de Rebecka.
En 1843, cuando Jacobi enfermó, Dirichlet viajó a Königsberg para ayudarlo, luego obtuvo para él la asistencia del médico personal del rey Federico Guillermo IV . Cuando el médico recomendó que Jacobi pasara algún tiempo en Italia, Dirichlet se unió a él en el viaje junto con su familia. Fueron acompañados a Italia por Ludwig Schläfli , quien vino como traductor; como estaba muy interesado en las matemáticas, tanto Dirichlet como Jacobi le dieron conferencias durante el viaje, y más tarde él mismo se convirtió en un matemático importante. [3] La familia Dirichlet extendió su estadía en Italia hasta 1845, y allí nació su hija Flora. En 1844, Jacobi se mudó a Berlín como pensionista real, y su amistad se hizo aún más estrecha. En 1846, cuando la Universidad de Heidelberg intentó reclutar a Dirichlet, Jacobi proporcionó a von Humboldt el apoyo necesario para obtener una duplicación del salario de Dirichlet en la universidad para mantenerlo en Berlín; Sin embargo, incluso entonces no le pagaban el salario de profesor titular y no podía abandonar la Academia Militar. [13]
Dirichlet, que tenía ideas liberales, y su familia apoyaron la revolución de 1848 ; incluso llegó a proteger con un fusil el palacio del príncipe de Prusia. Tras el fracaso de la revolución, la Academia Militar cerró temporalmente, lo que le causó una gran pérdida de ingresos. Cuando volvió a abrir, el ambiente se volvió más hostil hacia él, ya que se esperaba que los oficiales a los que enseñaba fueran leales al gobierno constituido. Algunos miembros de la prensa que no se habían puesto del lado de la revolución lo señalaron, así como a Jacobi y otros profesores liberales, como "el contingente rojo del personal". [3]
En 1849 Dirichlet participó, junto con su amigo Jacobi, en el jubileo del doctorado de Gauss.
A pesar de la experiencia de Dirichlet y de los honores que recibió, y aunque en 1851 ya había cumplido con todos los requisitos formales para ser profesor titular, el problema de aumentar su salario en la universidad aún se arrastraba y no podía abandonar la Academia Militar. En 1855, tras la muerte de Gauss, la Universidad de Gotinga decidió llamar a Dirichlet como su sucesor. Dadas las dificultades que afrontaba en Berlín, decidió aceptar la oferta y se trasladó inmediatamente a Gotinga con su familia. Kummer fue llamado para asumir su puesto como profesor de matemáticas en Berlín. [4]
Dirichlet disfrutó de su estancia en Gotinga, ya que la menor carga docente le permitió disponer de más tiempo para la investigación y entró en estrecho contacto con la nueva generación de investigadores, especialmente Richard Dedekind y Bernhard Riemann . Tras trasladarse a Gotinga pudo obtener un pequeño estipendio anual para Riemann con el fin de retenerlo en el personal docente de la ciudad. Dedekind, Riemann, Moritz Cantor y Alfred Enneper , aunque ya habían obtenido su doctorado, asistieron a las clases de Dirichlet para estudiar con él. Dedekind, que sentía que había lagunas en su formación matemática, consideró que la ocasión de estudiar con Dirichlet le convertía en «un nuevo ser humano». [3] Posteriormente editó y publicó las conferencias de Dirichlet y otros resultados en teoría de números bajo el título Vorlesungen über Zahlentheorie ( Conferencias sobre teoría de números ).
En el verano de 1858, durante un viaje a Montreux , Dirichlet sufrió un ataque cardíaco. El 5 de mayo de 1859, murió en Gotinga, varios meses después de la muerte de su esposa Rebecka. [4] El cerebro de Dirichlet se conserva en el departamento de fisiología de la Universidad de Gotinga, junto con el cerebro de Gauss. [ dudoso – discutir ] La Academia de Berlín lo honró con un discurso conmemorativo formal presentado por Kummer en 1860, y más tarde ordenó la publicación de sus obras completas editadas por Kronecker y Lazarus Fuchs .
La teoría de números fue el principal interés de investigación de Dirichlet, [14] un campo en el que encontró varios resultados profundos y al probarlos introdujo algunas herramientas fundamentales, muchas de las cuales luego recibieron su nombre. En 1837, Dirichlet demostró su teorema sobre progresiones aritméticas utilizando conceptos del análisis matemático para abordar un problema algebraico, creando así la rama de la teoría analítica de números . Al probar el teorema, introdujo los caracteres de Dirichlet y las funciones L. [14] [15] En ese artículo, también señaló la diferencia entre la convergencia absoluta y condicional de series y su impacto en lo que más tarde se llamó el teorema de series de Riemann . En 1841, generalizó su teorema de progresiones aritméticas de números enteros al anillo de números enteros gaussianos . [3]
En un par de artículos de 1838 y 1839, demostró la primera fórmula de número de clase para formas cuadráticas (posteriormente refinada por su alumno Kronecker). La fórmula, que Jacobi llamó un resultado "que toca lo más profundo de la perspicacia humana", abrió el camino para resultados similares con respecto a cuerpos numéricos más generales . [3] Basándose en su investigación de la estructura del grupo unitario de cuerpos cuadráticos , demostró el teorema unitario de Dirichlet , un resultado fundamental en la teoría algebraica de números . [15]
Fue el primero en utilizar el principio del palomar , un argumento básico de conteo, en la demostración de un teorema en aproximación diofántica , más tarde llamado en su honor teorema de aproximación de Dirichlet . Publicó importantes contribuciones al Último Teorema de Fermat , para el cual demostró los casos n = 5 y n = 14 , y a la ley de reciprocidad bicuadrática . [3] El problema del divisor de Dirichlet , para el cual encontró los primeros resultados al introducir el método de la hipérbola de Dirichlet , [16] sigue siendo un problema sin resolver en la teoría de números a pesar de las contribuciones posteriores de otros matemáticos.
Inspirado por el trabajo de su mentor en París, Dirichlet publicó en 1829 una famosa autobiografía que daba las condiciones , mostrando para qué funciones se cumple la convergencia de la serie de Fourier . [17] Antes de la solución de Dirichlet, no solo Fourier, sino también Poisson y Cauchy habían intentado sin éxito encontrar una prueba rigurosa de convergencia. La autobiografía señaló el error de Cauchy e introdujo la prueba de Dirichlet para la convergencia de series. También introdujo la función de Dirichlet como un ejemplo de una función que no es integrable (la integral definida era todavía un tema en desarrollo en ese momento) y, en la prueba del teorema para la serie de Fourier, introdujo el núcleo de Dirichlet y la integral de Dirichlet . [18]
Dirichlet también estudió el primer problema de valores en el borde , para la ecuación de Laplace , demostrando la unicidad de la solución; este tipo de problema en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales fue posteriormente llamado el problema de Dirichlet en su honor. Una función que satisface una ecuación diferencial parcial sujeta a las condiciones de borde de Dirichlet debe tener valores fijos en el borde. [14] En la demostración, utilizó notablemente el principio de que la solución es la función que minimiza la llamada energía de Dirichlet . Riemann más tarde denominó a este enfoque el principio de Dirichlet , aunque sabía que también había sido utilizado por Gauss y por Lord Kelvin . [3]
Al intentar medir el rango de funciones para las cuales se puede demostrar la convergencia de la serie de Fourier, Dirichlet define una función por la propiedad de que "a cualquier x le corresponde una única y finita ", pero luego restringe su atención a las funciones continuas por partes . Basándose en esto, se le atribuye la introducción del concepto moderno de función, en oposición a la antigua comprensión vaga de una función como una fórmula analítica. [3] Imre Lakatos cita a Hermann Hankel como el origen temprano de esta atribución, pero disputa la afirmación diciendo que "hay amplia evidencia de que no tenía idea de este concepto [...] por ejemplo, cuando analiza las funciones continuas por partes, dice que en los puntos de discontinuidad, la función tiene dos valores". [19]
Dirichlet también trabajó en física matemática , dando conferencias y publicando investigaciones sobre teoría del potencial (incluido el problema de Dirichlet y el principio de Dirichlet mencionados anteriormente), la teoría del calor y la hidrodinámica . [14] Mejoró el trabajo de Lagrange sobre sistemas conservativos al demostrar que la condición para el equilibrio es que la energía potencial sea mínima. [20]
Dirichlet también dio conferencias sobre teoría de probabilidad y mínimos cuadrados , introduciendo algunos métodos y resultados originales, en particular para teoremas de límite y una mejora del método de aproximación de Laplace relacionado con el teorema del límite central . [21] La distribución de Dirichlet y el proceso de Dirichlet , basado en la integral de Dirichlet , llevan su nombre.
Dirichlet fue elegido miembro de varias academias: [22]
En 1855, Dirichlet recibió la medalla de la clase civil de la orden Pour le Mérite por recomendación de Alexander von Humboldt. El cráter lunar Dirichlet y el asteroide 11665 Dirichlet llevan su nombre.
Una bibliografía completa de las obras publicadas de Dirichlet, incluidas sus traducciones y conferencias no contenidas en las Werke , está disponible en:
Medios relacionados con Peter Gustav Lejeune Dirichlet en Wikimedia Commons![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)