Suma por partes

Teorema para simplificar sumas de productos de secuencias.

En matemáticas , la suma por partes transforma la suma de productos de sucesiones en otras sumas, simplificando a menudo el cálculo o (especialmente) la estimación de ciertos tipos de sumas. También se le llama lema de Abel o transformación de Abel , en honor a Niels Henrik Abel quien lo introdujo en 1826. ^[1]

Declaración

Supongamos que y son dos secuencias . Entonces, ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ ${\displaystyle \{g_{k}\}}$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_{k}).}$

Usando el operador de diferencia directa , se puede expresar de manera más sucinta como ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}\Delta f_{k},}$

La suma por partes es análoga a la integración por partes :

${\displaystyle \int f\,dg=fg-\int g\,df,}$

o a la fórmula de suma de Abel :

${\displaystyle \sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.}$

Una declaración alternativa es

${\displaystyle f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\sum _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}}$

que es análoga a la fórmula de integración por partes para semimartingalas .

Aunque las aplicaciones casi siempre tratan de la convergencia de secuencias, la declaración es puramente algebraica y funcionará en cualquier campo . También funcionará cuando una secuencia esté en un espacio vectorial y la otra esté en el campo relevante de escalares.

Serie de Newton

A veces, la fórmula se da en una de estas formas, ligeramente diferentes.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}}$

que representan un caso especial ( ) de la regla más general ${\displaystyle M=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)};\end{aligned}}}$

ambos resultan de la aplicación iterada de la fórmula inicial. Las cantidades auxiliares son series de Newton :

${\displaystyle f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k}}$

y

${\displaystyle G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 \choose M-1}g_{k},}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{k}.}$

Un resultado particular ( ) es la identidad ${\displaystyle M=n+1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}.}$

Aquí está el coeficiente binomial . ${\textstyle {n \choose k}}$

Método

Para dos sucesiones dadas y , con , se quiere estudiar la suma de las siguientes series: ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$$

Si definimos entonces para todos y ${\textstyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},}$ ${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle b_{n}=B_{n}-B_{n-1}}$

$${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),}$$

$${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).}$$

Finalmente ${\textstyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$

Este proceso, llamado transformación de Abel, se puede utilizar para probar varios criterios de convergencia para . ${\displaystyle S_{N}}$

Similitud con una integración por partes

La fórmula para una integración por partes es . ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$

Además de las condiciones de contorno , notamos que la primera integral contiene dos funciones multiplicadas, una que se integra en la integral final ( se convierte ) y otra que se deriva ( se convierte ). ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$

El proceso de la transformación de Abel es similar, ya que una de las dos sucesiones iniciales se suma ( se convierte ) y la otra se diferencia ( se convierte ). ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$

Aplicaciones

• Se utiliza para probar el lema de Kronecker , que a su vez se utiliza para probar una versión de la ley fuerte de grandes números bajo restricciones de varianza .
• Puede usarse para demostrar el teorema de Nicómaco de que la suma de los primeros cubos es igual al cuadrado de la suma de los primeros números enteros positivos. ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• La suma por partes se utiliza frecuentemente para demostrar el teorema de Abel y la prueba de Dirichlet .
• También se puede utilizar esta técnica para probar la prueba de Abel : si es una serie convergente y una secuencia monótona acotada , entonces converge. ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

Prueba de la prueba de Abel. La suma por partes da

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{M}-S_{N}&=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})\\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),\end{aligned}}}$$

acriterio de Cauchy ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle B_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{n}-a}$ ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$

$${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|}$$

${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

Utilizando la misma prueba anterior, se puede demostrar que si

1. las sumas parciales forman una secuencia acotada independientemente de ; ${\displaystyle B_{N}}$ ${\displaystyle N}$
2. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty }$(para que la suma llegue a cero cuando llegue al infinito) ${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|}$ ${\displaystyle N}$
3. ${\displaystyle \lim a_{n}=0}$

luego converge. ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

En ambos casos, la suma de la serie satisface:

$${\displaystyle |S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|.}$$

Operadores de suma por partes para métodos de diferencias finitas de alto orden

Un operador de diferencias finitas de suma por partes (SBP) consiste convencionalmente en un esquema interior de diferencia centrada y plantillas de límites específicas que imitan comportamientos de la correspondiente formulación de integración por partes. ^{[3] [4]} Las condiciones de contorno generalmente se imponen mediante la técnica de término de aproximación simultánea (SAT). ^[5] La combinación de SBP-SAT es un marco poderoso para el tratamiento de límites. Se prefiere el método por su estabilidad comprobada para simulaciones a largo plazo y un alto nivel de precisión.

Ver también

• Serie convergente
• Serie divergente
• Integración por partes
• Suma Cesàro
• teorema de abel
• Fórmula de la suma de Abel

Referencias

1. Chu, Wenchang (2007). "Lema de Abel sobre sumatoria por partes y series hipergeométricas básicas". Avances en Matemática Aplicada . 39 (4): 490–514. doi : 10.1016/j.aam.2007.02.001 .
2. Edmonds, Sheila M. (1957). "Sumas de potencias de los números naturales". La Gaceta Matemática . 41 (337): 187–188. doi :10.2307/3609189. JSTOR  3609189. SEÑOR  0096615.
3. Strand, Bo (enero de 1994). "Suma por partes para aproximaciones en diferencias finitas para d/dx". Revista de Física Computacional . 110 (1): 47–67. doi :10.1006/jcph.1994.1005.
4. Mattsson, Ken; Nordström, Jan (septiembre de 2004). "Suma por operadores de partes para aproximaciones en diferencias finitas de segundas derivadas". Revista de Física Computacional . 199 (2): 503–540. doi :10.1016/j.jcp.2004.03.001.
5. Carpintero, Mark H.; Gottlieb, David; Abarbanel, Saúl (abril de 1994). "Condiciones de contorno estables en el tiempo para esquemas de diferencias finitas que resuelven sistemas hiperbólicos: metodología y aplicación a esquemas compactos de orden superior". Revista de Física Computacional . 111 (2): 220–236. CiteSeerX 10.1.1.465.603 . doi :10.1006/jcph.1994.1057. 

Bibliografía

• Abel, Niels Henrik (1826). "Untersuchungen über die Reihe usw". J. Reina Angew. Matemáticas. 1 : 311–339. ${\displaystyle 1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots }$