En matemáticas , el método del círculo de Hardy-Ramanujan-Littlewood es una técnica de la teoría analítica de números . Recibe su nombre en honor a GH Hardy , S. Ramanujan y JE Littlewood , quienes lo desarrollaron en una serie de artículos sobre el problema de Waring .
La idea inicial suele atribuirse al trabajo de Hardy con Srinivasa Ramanujan unos años antes, en 1916 y 1917, sobre la asintótica de la función de partición . Fue retomada por muchos otros investigadores, incluidos Harold Davenport e IM Vinogradov , quienes modificaron ligeramente la formulación (pasando del análisis complejo a las sumas exponenciales ), sin cambiar las líneas generales. Siguieron cientos de artículos y, a fecha de 2022, [actualizar]el método sigue dando resultados. El método es objeto de una monografía Vaughan (1997) de RC Vaughan .
El objetivo es demostrar el comportamiento asintótico de una serie: mostrar que a n ~ F ( n ) para alguna función. Esto se hace tomando la función generadora de la serie y luego calculando los residuos alrededor de cero (esencialmente, los coeficientes de Fourier ). Técnicamente, la función generadora se escala para tener un radio de convergencia de 1, por lo que tiene singularidades en el círculo unitario; por lo tanto, no se puede tomar la integral de contorno sobre el círculo unitario.
El método del círculo es específicamente cómo calcular estos residuos, dividiendo el círculo en arcos menores (la mayor parte del círculo) y arcos mayores (arcos pequeños que contienen las singularidades más significativas), y luego limitando el comportamiento en los arcos menores. La idea clave es que, en muchos casos de interés (como las funciones theta ), las singularidades ocurren en las raíces de la unidad , y la importancia de las singularidades está en el orden de la secuencia de Farey . Por lo tanto, uno puede investigar las singularidades más significativas y, si tiene suerte, calcular las integrales.
El círculo en cuestión era inicialmente el círculo unitario en el plano complejo. Suponiendo que el problema se había formulado primero en términos de que para una secuencia de números complejos a n para n = 0, 1, 2, 3, ... , queremos alguna información asintótica del tipo a n ~ F ( n ) , donde tenemos alguna razón heurística para adivinar la forma que toma F (un ansatz ), escribimos
una función generadora de series de potencias . Los casos interesantes son aquellos en los que f tiene un radio de convergencia igual a 1, y suponemos que el problema tal como está planteado se ha modificado para presentar esta situación.
De esa formulación se deduce directamente del teorema del residuo que
para números enteros n ≥ 0 , donde C es un círculo de radio r y centrado en 0, para cualquier r con 0 < r < 1 ; en otras palabras, es una integral de contorno , integrada sobre el círculo descrito recorrido una vez en sentido antihorario. Nos gustaría tomar r = 1 directamente, es decir, utilizar el contorno del círculo unitario. En la formulación del análisis complejo esto es problemático, ya que los valores de f pueden no estar definidos allí.
El problema que se aborda con el método del círculo es forzar la cuestión de tomar r = 1 , mediante una buena comprensión de la naturaleza de las singularidades que f exhibe en el círculo unitario. La idea fundamental es el papel que desempeña la sucesión de Farey de números racionales, o equivalentemente, las raíces de la unidad :
Aquí el denominador s , suponiendo que a/s está en términos mínimos , resulta determinar la importancia relativa del comportamiento singular de f típico cerca de ζ .
El método del círculo de Hardy-Littlewood, para la formulación analítica compleja, puede entonces expresarse de esta manera. Las contribuciones a la evaluación de I n , cuando r → 1 , deben tratarse de dos maneras, tradicionalmente llamadas arcos mayores y arcos menores . Dividimos las raíces de la unidad ζ en dos clases, según si s ≤ N o s > N , donde N es una función de n que podemos elegir convenientemente. La integral I n se divide en integrales, cada una sobre algún arco del círculo adyacente a ζ , de longitud una función de s (de nuevo, a nuestra discreción). Los arcos forman todo el círculo; la suma de las integrales sobre los arcos mayores debe formar 2 πiF ( n ) (de manera realista, esto sucederá hasta un término restante manejable). La suma de las integrales sobre los arcos menores debe reemplazarse por un límite superior , más pequeño en orden que F ( n ) .
Dicho así, no resulta del todo claro que esto pueda funcionar. Los conocimientos que se necesitan son bastante profundos. Una fuente clara es la teoría de las funciones theta .
En el contexto del problema de Waring, las funciones de potencias theta son las funciones generadoras de la función suma de cuadrados . Su comportamiento analítico se conoce con mucho más detalle que el de los cubos, por ejemplo.
Como indica el diagrama de falsos colores, para una función theta el punto "más importante" del círculo límite está en z = 1 ; seguido de z = −1 , y luego las dos raíces cúbicas complejas de la unidad en las 7 y las 11 en punto. Después de eso, son las cuartas raíces de la unidad i y − i las que más importan. Si bien nada en esto garantiza que el método analítico funcionará, sí explica la lógica de usar un criterio de tipo serie de Farey sobre raíces de la unidad.
En el caso del problema de Waring, se toma una potencia suficientemente alta de la función generadora para forzar la situación en la que predominan las singularidades, organizadas en las llamadas series singulares . Cuanto menos derrochadoras sean las estimaciones utilizadas en el resto, más precisos serán los resultados. Como ha dicho Bryan Birch , el método es inherentemente derrochador. Esto no se aplica al caso de la función de partición, que señalaba la posibilidad de que en una situación favorable las pérdidas de las estimaciones pudieran controlarse.
Más tarde, IM Vinogradov extendió la técnica, reemplazando la formulación de suma exponencial f ( z ) con una serie de Fourier finita , de modo que la integral relevante I n es un coeficiente de Fourier . Vinogradov aplicó sumas finitas al problema de Waring en 1926, y el método de suma trigonométrica general se conoció como "el método del círculo de Hardy, Littlewood y Ramanujan, en la forma de sumas trigonométricas de Vinogradov". [1] Esencialmente, todo lo que esto hace es descartar toda la 'cola' de la función generadora, lo que permite que el negocio de r en la operación límite se establezca directamente en el valor 1.
Los refinamientos del método han permitido demostrar resultados sobre las soluciones de ecuaciones diofánticas homogéneas , siempre que el número de variables k sea grande en relación con el grado d (véase el teorema de Birch, por ejemplo). Esto resulta ser una contribución al principio de Hasse , capaz de proporcionar información cuantitativa. Si d es fijo y k es pequeño, se requieren otros métodos y, de hecho, el principio de Hasse tiende a fallar.
En el caso especial en que se aplica el método del círculo para hallar los coeficientes de una forma modular de peso negativo, Hans Rademacher encontró una modificación del contorno que hace que la serie que surge del método del círculo converja al resultado exacto. Para describir su contorno, es conveniente reemplazar el círculo unitario por el semiplano superior, haciendo la sustitución z = exp(2π iτ ) , de modo que la integral del contorno se convierte en una integral de τ = i a τ = 1 + i . (El número i podría reemplazarse por cualquier número en el semiplano superior , pero i es la opción más conveniente.) El contorno de Rademacher está dado (más o menos) por los límites de todos los círculos de Ford de 0 a 1, como se muestra en el diagrama. La sustitución de la línea de i a 1 + i por los límites de estos círculos es un proceso limitante no trivial, que puede justificarse para formas modulares que tienen peso negativo, y con más cuidado también puede justificarse para términos no constantes para el caso de peso 0 (en otras palabras, funciones modulares ).
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