Rectas tangentes a círculos

En la geometría del plano euclidiano , una línea tangente a un círculo es una línea que toca el círculo en exactamente un punto , sin entrar nunca en el interior del círculo. Las líneas tangentes a los círculos forman el tema de varios teoremas y desempeñan un papel importante en muchas construcciones y demostraciones geométricas . Dado que la línea tangente a un círculo en un punto $P$ es perpendicular al radio de ese punto, los teoremas que involucran líneas tangentes a menudo involucran líneas radiales y círculos ortogonales .

Rectas tangentes a un círculo

Una línea tangente $t$ a un círculo $C$ interseca el círculo en un único punto $T.$ A modo de comparación, las líneas secantes intersecan un círculo en dos puntos, mientras que otra línea puede no intersecar un círculo en absoluto. Esta propiedad de las líneas tangentes se conserva bajo muchas transformaciones geométricas , como escalas , rotaciones , traslaciones , inversiones y proyecciones cartográficas . En lenguaje técnico, estas transformaciones no cambian la estructura de incidencia de la línea tangente y el círculo, aunque la línea y el círculo puedan deformarse.

El radio de un círculo es perpendicular a la línea tangente que pasa por su punto final en la circunferencia del círculo. A la inversa, la perpendicular a un radio que pasa por el mismo punto final es una línea tangente. La figura geométrica resultante de un círculo y una línea tangente tiene una simetría de reflexión respecto del eje del radio.

No se puede trazar una línea tangente a través de un punto dentro de un círculo, ya que cualquier línea de este tipo debe ser una línea secante. Sin embargo, se pueden trazar dos líneas tangentes a un círculo desde un punto $P$ fuera del círculo. La figura geométrica de un círculo y ambas líneas tangentes también tienen una simetría de reflexión sobre el eje radial que une $P$ con el punto central $O$ del círculo. Por lo tanto, las longitudes de los segmentos desde $P$ hasta los dos puntos tangentes son iguales. Por el teorema de la secante-tangente , el cuadrado de esta longitud de tangente es igual a la potencia del punto P en el círculo $C.$ Esta potencia es igual al producto de las distancias desde $P$ a dos puntos de intersección cualesquiera del círculo con una línea secante que pasa por $P.$

La recta tangente $t$ y el punto tangente $T$ tienen una relación conjugada entre sí, que se ha generalizado en la idea de puntos polares y rectas polares . La misma relación recíproca existe entre un punto $P$ fuera del círculo y la recta secante que une sus dos puntos de tangencia.

Si un punto $P$ es exterior a un círculo con centro $O$ , y si las líneas tangentes desde $P$ tocan el círculo en los puntos $T$ y $S$ , entonces $∠ TPS$ y $∠ TOS$ son suplementarias (suman 180°).

Si se traza una cuerda $TM desde el punto de tangencia$ $T$ del punto exterior $P$ y $∠ PTM \leq 90°$ entonces $∠ PTM = ½ ∠ TOM$ .

ecuación cartesiana

Supongamos que la ecuación del círculo en coordenadas cartesianas tiene centro en $($ $a$ $,$ $b$ $)$ . Entonces la recta tangente del círculo en $($ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)$ tiene ecuación cartesiana $(xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}$

$(x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0$

Esto se puede demostrar tomando la derivada implícita del círculo. Digamos que el círculo tiene ecuación y estamos hallando la pendiente de la recta tangente en $($ $x$ $1$ $,$ $y$ $1$ $)$ donde Comenzamos tomando la derivada implícita con respecto a $x$ : $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},$ $(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}.$

${\begin{aligned}{\overset {}{(}}x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\[4pt]2(x-a)+2(y-b){\frac {dy}{dx}}&=0\\[2pt]{\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\end{aligned}}$

Ahora que tenemos la pendiente de la línea tangente, podemos sustituir la pendiente y la coordenada del punto de tangencia en la ecuación de la línea $y = kx + m$ .

${\begin{aligned}y&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}x+y_{1}+x_{1}{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\y-y_{1}&=(x_{1}-x){\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\[2pt](y-y_{1})(y_{1}-b)&=-(x-x_{1})(x_{1}-a)\\[8pt](x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)&=0\end{aligned}}$

Construcciones con compás y regla

Es relativamente sencillo construir una línea $t$ tangente a un círculo en un punto $T$ de la circunferencia del círculo:

Se traza una línea $a desde$ $O$ , el centro del círculo, a través del punto radial $T$ ;
La recta $t$ es la recta perpendicular a $a$ .

El teorema de Tales se puede utilizar para construir las líneas tangentes a un punto $P$ externo al círculo $C$ :

Se dibuja un círculo centrado en el punto medio del segmento de línea $OP$ , que tiene diámetro $OP$ , donde $O$ es nuevamente el centro del círculo $C$ .
Los puntos de intersección $T 1$ y $T 2$ del círculo $C$ y el nuevo círculo son los puntos tangentes de las líneas que pasan por $P$ , mediante el siguiente argumento.

Los segmentos $OT 1$ y $OT 2$ son radios del círculo $C$ ; como ambos están inscritos en un semicírculo, son perpendiculares a los segmentos $PT 1$ y $PT 2$ , respectivamente. Pero sólo una línea tangente es perpendicular a la línea radial. Por lo tanto, las dos líneas que parten de $P$ y pasan por $T 1$ y $T 2$ son tangentes al círculo $C$ .

Otro método para construir las líneas tangentes a un punto $P$ externo al círculo utilizando solo una regla :

Dibuje tres líneas diferentes a través del punto dado $P$ que intersequen el círculo dos veces.
Sean $A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2$ los seis puntos de intersección, correspondiendo la misma letra a la misma recta y el índice 1 al punto más cercano a $P$ .
Sea $D$ el punto donde se intersecan las rectas $A 1 B 2$ y $A 2 B 1$ ,
De manera similar $E$ para las líneas $B 1 C 2$ y $B 2 C 1$ .
Dibuje una línea a través de $D$ y $E.$
Esta línea se encuentra con el círculo en dos puntos , $F$ y $G.$
Las tangentes son las líneas $PF$ y $PG$ . ^[1]

Con geometría analítica

Sea un punto del círculo con ecuación La tangente en $P$ tiene ecuación porque $P$ se encuentra en ambas curvas y es un vector normal de la línea. La tangente interseca el eje $x$ en el punto con $P=(a,b)$ $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$ $ax+by=r^{2},$ ${\vec {OP}}=(a,b)^{T}$ $P_{0}=(x_{0},0)$ $ax_{0}=r^{2}.$

Por el contrario, si se comienza con el punto 0 entonces las dos tangentes que pasan por $P$ $0$ se encuentran con el círculo en los dos puntos con Escrito en forma vectorial: $P_{0}=(x_{0},0),$ $P_{1/2}=(a,b_{\pm })$ $a={\frac {r^{2}}{x_{0}}},\qquad b_{\pm }=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}.$ ${\binom {a}{b_{\pm }}}={\frac {r^{2}}{x_{0}}}{\binom {1}{0}}\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {0}{1}}\ .$

Si el punto no está en el eje $x$ : En la forma vectorial se reemplaza $x$ $0$ por la distancia y los vectores unitarios base por los vectores unitarios ortogonales. Luego las tangentes que pasan por el punto $P$ $0$ tocan el círculo en los puntos $P_{0}=(x_{0},y_{0})$ ${\textstyle d_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$ ${\textstyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}},\ {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$ ${\binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={\frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}}\pm {\frac {r}{d_{0}^{2}}}{\sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.$

Para $d 0 < r$ no existen tangentes.
Para $d 0 = r$ el punto $P 0$ se encuentra en el círculo y solo hay una tangente con ecuación $x_{0}x+y_{0}y=r^{2}.$
En el caso de $d 0 > r$ hay 2 tangentes con ecuaciones $x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\ x_{2}x+y_{2}y=r^{2}.$

Relación con la inversión del círculo : La ecuación describe la inversión del círculo del punto $ax_{0}=r^{2}$ $(x_{0},0).$

Relación con el polo y la polar : La polar del punto tiene ecuación $(x_{0},0)$ $xx_{0}=r^{2}.$

Polígonos tangenciales

Un polígono tangencial es un polígono cuyos lados son tangentes a un círculo determinado, llamado su incírculo . Todo triángulo es un polígono tangencial, como lo es todo polígono regular de cualquier número de lados; además, para cada número de lados de un polígono hay un número infinito de polígonos tangenciales no congruentes .

Teorema del cuadrilátero tangente y círculos inscritos

Un cuadrilátero tangente $ABCD$ es una figura cerrada de cuatro lados rectos que son tangentes a un círculo dado $C.$ De manera equivalente, el círculo $C$ está inscrito en el cuadrilátero $ABCD$ . Por el teorema de Pitot , las sumas de los lados opuestos de cualquier cuadrilátero de este tipo son iguales, es decir,

${\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.$

Esta conclusión se deduce de la igualdad de los segmentos tangentes a partir de los cuatro vértices del cuadrilátero. Sean los puntos tangentes $P$ (en el segmento $AB$ ), $Q$ (en el segmento $BC$ ), $R$ (en el segmento $CD$ ) y $S$ (en el segmento $DA$ ). Los segmentos tangentes simétricos respecto a cada punto de $ABCD$ son iguales: Pero cada lado del cuadrilátero está compuesto por dos de esos segmentos tangentes ${\begin{aligned}{\overline {BP}}={\overline {BQ}}=b,&\quad {\overline {CQ}}={\overline {CR}}=c,\\{\overline {DR}}={\overline {DS}}=d,&\quad {\overline {AS}}={\overline {AP}}=a.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)\\={}&{\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)\end{aligned}}$

demostrando el teorema.

Lo inverso también es cierto: un círculo puede inscribirse en cualquier cuadrilátero en el que las longitudes de los lados opuestos sumen el mismo valor. ^[2]

Este teorema y su inverso tienen diversos usos. Por ejemplo, muestran inmediatamente que ningún rectángulo puede tener un círculo inscrito a menos que sea un cuadrado , y que todo rombo tiene un círculo inscrito, mientras que un paralelogramo general no lo tiene.

Rectas tangentes a dos circunferencias

Para dos círculos, generalmente hay cuatro líneas distintas que son tangentes a ambos ( bitangente ) –si los dos círculos están fuera uno del otro– pero en casos degenerados puede haber cualquier número entre cero y cuatro líneas bitangentes; estas se abordan a continuación. Para dos de estas, las líneas tangentes externas, los círculos caen en el mismo lado de la línea; para las otras dos, las líneas tangentes internas, los círculos caen en lados opuestos de la línea. Las líneas tangentes externas se intersecan en el centro homotético externo , mientras que las líneas tangentes internas se intersecan en el centro homotético interno. Tanto el centro homotético externo como el interno se encuentran en la línea de centros (la línea que conecta los centros de los dos círculos), más cerca del centro del círculo más pequeño: el centro interno está en el segmento entre los dos círculos, mientras que el centro externo no está entre los puntos, sino afuera, en el lado del centro del círculo más pequeño. Si los dos círculos tienen el mismo radio, todavía hay cuatro bitangentes, pero las líneas tangentes externas son paralelas y no hay un centro externo en el plano afín ; en el plano proyectivo , el centro homotético externo se encuentra en el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de estas líneas. ^[3]

Tangente exterior

La línea roja que une los puntos $(x 3, y 3)$ y $(x 4, y 4)$ es la tangente exterior entre los dos círculos. Dados los puntos $(x 1, y 1)$ , $(x 2, y 2)$ los puntos $(x 3, y 3)$ , $(x 4, y 4)$ se pueden calcular fácilmente con ayuda del ángulo $α$ :

${\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R\sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}$

Aquí $R$ y $r$ representan los radios de los dos círculos y el ángulo $α$ se puede calcular utilizando trigonometría básica. Se tiene $α = γ - β$ con ^[4] ^{[ verificación fallida – ver discusión ]} donde atan2 es el arcotangente de 2 argumentos. ${\begin{aligned}\gamma &=-{\text{atan2}}\left({y_{2}-y_{1}},{x_{2}-x_{1}}\right)\\[2pt]\beta &=\pm \arcsin \left({\frac {R-r}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

Las distancias entre los centros de los círculos más cercanos y más lejanos, $O 2$ y $O 1$ y el punto donde se intersecan las dos tangentes externas de los dos círculos ( centro homotético ), $S$ respectivamente, se pueden encontrar usando similitud de la siguiente manera: Aquí, $r$ puede ser $r$ $1$ o $r$ $2$ dependiendo de la necesidad de encontrar distancias desde los centros del círculo más cercano o más lejano, O $2$ $y$ O $1.$ $d$ $es$ la distancia $O$ $1$ $O$ $2$ entre los centros de dos círculos. ${\frac {dr}{r_{1}-r_{2}}}$

Tangente interior

Una tangente interna es una tangente que interseca el segmento que une los centros de dos círculos. Tenga en cuenta que la tangente interna no se definirá en los casos en que los dos círculos se superpongan.

Construcción

Las líneas bitangentes se pueden construir construyendo los centros homotéticos, como se describe en ese artículo, y luego construyendo las líneas tangentes a través del centro homotético que es tangente a un círculo, por uno de los métodos descritos anteriormente. La línea resultante será entonces tangente al otro círculo también. Alternativamente, las líneas tangentes y los puntos tangentes se pueden construir de manera más directa, como se detalla a continuación. Tenga en cuenta que en casos degenerados estas construcciones fallan; para simplificar la exposición, esto no se analiza en esta sección, pero una forma de la construcción puede funcionar en casos límite (por ejemplo, dos círculos tangentes en un punto).

Geometría sintética

Sean $O 1$ y $O 2$ los centros de los dos círculos, $C 1$ y $C 2$ y sean $r 1$ y $r 2$ sus radios , con $r 1 > r 2$ ; en otras palabras, el círculo $C 1$ se define como el mayor de los dos círculos. Se pueden utilizar dos métodos diferentes para construir las líneas tangentes interna y externa.

Tangentes externas

Se dibuja un nuevo círculo $C 3$ de radio $r 1 - r 2 centrado en$ $O 1$ . Utilizando el método anterior, se dibujan dos líneas desde $O 2$ que son tangentes a este nuevo círculo. Estas líneas son paralelas a las líneas tangentes deseadas, porque la situación corresponde a encoger ambos círculos $C 1$ y $C 2$ en una cantidad constante, $r 2$ , lo que encoge $C 2$ a un punto. Se pueden dibujar dos líneas radiales desde el centro $O 1$ a través de los puntos tangentes en $C 3$ ; estos intersecan $C 1$ en los puntos tangentes deseados. Las líneas tangentes externas deseadas son las líneas perpendiculares a estas líneas radiales en esos puntos tangentes, que se pueden construir como se describió anteriormente.

Tangentes internas

Se dibuja un nuevo círculo $C 3$ de radio $r 1 + r 2 centrado en$ $O 1$ . Utilizando el método anterior, se dibujan dos líneas desde $O 2$ que son tangentes a este nuevo círculo. Estas líneas son paralelas a las líneas tangentes deseadas, porque la situación corresponde a contraer $C 2$ a un punto mientras se expande $C 1$ en una cantidad constante, $r 2$ . Se pueden dibujar dos líneas radiales desde el centro $O 1$ a través de los puntos tangentes en $C 3$ ; estos intersecan $C 1$ en los puntos tangentes deseados. Las líneas tangentes internas deseadas son las líneas perpendiculares a estas líneas radiales en esos puntos tangentes, que se pueden construir como se describió anteriormente.

Geometría analítica

Sean los círculos con centros $c 1 = (x 1, y 1)$ y $c 2 = (x 2, y 2)$ con radios $r 1$ y $r 2$ respectivamente. Expresando una línea por la ecuación con la normalización entonces una línea bitangente satisface: Resolviendo para $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)$ restando el primero del segundo se obtiene donde y para la tangente externa o para la tangente interna. $ax+by+c=0,$ $a^{2}+b^{2}=1,$ ${\begin{aligned}ax_{1}+by_{1}+c&=r_{1}\\ax_{2}+by_{2}+c&=r_{2}\\\end{aligned}}$ $a\Delta x+b\Delta y=\Delta r,\qquad (1)$ $\Delta x=x_{2}-x_{1},\quad \Delta y=y_{2}-y_{1}$ $\Delta r=r_{2}-r_{1}$ $\Delta r=r_{2}+r_{1}$

Si es la distancia de $c$ $1$ a $c$ $2$ podemos normalizar por para simplificar la ecuación (1), lo que resulta en el siguiente sistema de ecuaciones: resuélvelas para obtener dos soluciones ( $k$ $= \pm1$ ) para las dos líneas tangentes externas: Geométricamente, esto corresponde a calcular el ángulo formado por las líneas tangentes y la línea de centros, y luego usar eso para rotar la ecuación de la línea de centros para obtener una ecuación para la línea tangente. El ángulo se calcula calculando las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo cuyos vértices son el centro homotético (externo), un centro de un círculo y un punto tangente; la hipotenusa se encuentra en la línea tangente, el radio es opuesto al ángulo y el lado adyacente se encuentra en la línea de centros. ${\textstyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$ $X={\frac {\Delta x}{d}},\quad Y={\frac {\Delta y}{d}},\quad R={\frac {\Delta r}{d}}$ ${\begin{aligned}aX+bY&=R,\\a^{2}+b^{2}&=1;\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a&=RX-kY{\sqrt {1-R^{2}}}\\b&=RY+kX{\sqrt {1-R^{2}}}\\c&=r_{1}-(ax_{1}+by_{1})\end{aligned}}$

$(X, Y)$ es el vector unitario que apunta de $c 1$ a $c 2$ , mientras que $R$ es $cos θ$ donde $θ$ es el ángulo entre la línea de centros y una línea tangente. $sen θ$ es entonces (dependiendo del signo de $θ$ , equivalentemente la dirección de rotación), y las ecuaciones anteriores son la rotación de $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ por $\pm$ $θ$ usando la matriz de rotación: $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ ${\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}$

$k = 1$ es la línea tangente a la derecha de los círculos mirando desde $c 1$ a $c 2$ .
$k = -1$ es la línea tangente a la derecha de los círculos mirando desde $c 2$ a $c 1$ .

Lo anterior supone que cada círculo tiene un radio positivo. Si $r 1$ es positivo y $r 2$ negativo, entonces $c 1$ estará a la izquierda de cada línea y $c 2$ a la derecha, y las dos líneas tangentes se cruzarán. De esta manera se obtienen las cuatro soluciones. Al cambiar los signos de ambos radios, se cambia $k = 1$ y $k = -1$ .

Vectores

En general, los puntos de tangencia $t 1$ y $t 2$ para las cuatro rectas tangentes a dos círculos con centros $v 1$ y $v 2$ y radios $r 1$ y $r 2$ se dan resolviendo las ecuaciones simultáneas:

${\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}$

Estas ecuaciones expresan que la línea tangente, que es paralela a los radios , es perpendicular a los radios y que los puntos tangentes se encuentran en sus respectivos círculos. $t_{2}-t_{1},$

Estas son cuatro ecuaciones cuadráticas en dos variables vectoriales bidimensionales, y en posición general tendrán cuatro pares de soluciones.

Casos degenerados

Dos círculos distintos pueden tener entre cero y cuatro líneas bitangentes, dependiendo de la configuración; estas pueden clasificarse en términos de la distancia entre los centros y los radios. Si se cuentan con multiplicidad (contando una tangente común dos veces) hay cero, dos o cuatro líneas bitangentes. Las líneas bitangentes también pueden generalizarse a círculos con radio negativo o cero. Los casos degenerados y las multiplicidades también pueden entenderse en términos de límites de otras configuraciones, por ejemplo, un límite de dos círculos que casi se tocan y mover uno de ellos para que se toquen, o un círculo con un radio pequeño que se encoge hasta convertirse en un círculo de radio cero.

Si los círculos están uno fuera del otro ( ), que es la posición general , hay cuatro bitangentes. $d>r_{1}+r_{2}$
Si se tocan externamente en un punto ( ) – tienen un punto de tangencia externa – entonces tienen dos bitangentes externas y una bitangente interna, es decir, la línea tangente común. Esta línea tangente común tiene multiplicidad dos, ya que separa los círculos (uno a la izquierda, uno a la derecha) para cualquier orientación (dirección). $d=r_{1}+r_{2}$
Si los círculos se intersecan en dos puntos ( ), entonces no tienen bitangentes internos y dos bitangentes externos (no se pueden separar, porque se intersecan, por lo tanto no tienen bitangentes internos). $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$
Si los círculos se tocan internamente en un punto ( ) – tienen un punto de tangencia interna – entonces no tienen bitangentes internas y tienen una bitangente externa, es decir, la línea tangente común, que tiene multiplicidad dos, como se indicó anteriormente. $d=|r_{1}-r_{2}|$
Si un círculo está completamente dentro del otro ( ) entonces no tienen bitangentes, ya que una línea tangente al círculo exterior no interseca al círculo interior, o inversamente, una línea tangente al círculo interior es una línea secante al círculo exterior. $d<|r_{1}-r_{2}|$

Finalmente, si los dos círculos son idénticos, cualquier tangente al círculo es una tangente común y, por lo tanto, bitangente (externa), por lo que hay un círculo lleno de bitangentes.

Además, la noción de líneas bitangentes se puede extender a círculos con radio negativo (el mismo lugar geométrico de los puntos, pero considerado "de adentro hacia afuera"), en cuyo caso, si los radios tienen signo opuesto (un círculo tiene radio negativo y el otro tiene radio positivo), los centros homotéticos externo e interno y los bitangentes externo e interno se intercambian, mientras que si los radios tienen el mismo signo (ambos radios positivos o ambos radios negativos) "externo" e "interno" tienen el mismo sentido habitual (cambiar un signo los cambia, por lo que cambiar ambos los cambia nuevamente). $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$

Las líneas bitangentes también se pueden definir cuando uno o ambos círculos tienen radio cero. En este caso, el círculo con radio cero es un punto doble y, por lo tanto, cualquier línea que lo atraviese intersecta el punto con multiplicidad dos, por lo tanto, es "tangente". Si un círculo tiene radio cero, una línea bitangente es simplemente una línea tangente al círculo y que pasa por el punto, y se cuenta con multiplicidad dos. Si ambos círculos tienen radio cero, entonces la línea bitangente es la línea que definen y se cuenta con multiplicidad cuatro.

Nótese que en estos casos degenerados el centro homotético externo e interno generalmente todavía existen (el centro externo está en el infinito si los radios son iguales), excepto si los círculos coinciden, en cuyo caso el centro externo no está definido, o si ambos círculos tienen radio cero, en cuyo caso el centro interno no está definido.

Aplicaciones

Problema con el cinturón

Las líneas tangentes internas y externas son útiles para resolver el problema de la correa , que consiste en calcular la longitud de una correa o cuerda necesaria para ajustarse perfectamente sobre dos poleas. Si se considera que la correa es una línea matemática de grosor despreciable y se supone que ambas poleas se encuentran exactamente en el mismo plano, el problema se reduce a sumar las longitudes de los segmentos de línea tangente relevantes con las longitudes de los arcos circulares subtendidos por la correa. Si la correa se enrolla alrededor de las ruedas de manera que se crucen, los segmentos de línea tangente internos son relevantes. Por el contrario, si la correa se enrolla exteriormente alrededor de las poleas, los segmentos de línea tangente externos son relevantes; este caso a veces se denomina problema de la polea .

Rectas tangentes a tres circunferencias: teorema de Monge

Para tres círculos denotados por $C 1$ , $C 2$ y $C 3$ , hay tres pares de círculos ( $C 1 C 2$ , $C 2 C 3$ y $C 1 C 3$ ). Como cada par de círculos tiene dos centros homotéticos, hay seis centros homotéticos en total. Gaspard Monge demostró a principios del siglo XIX que estos seis puntos se encuentran sobre cuatro líneas, cada línea con tres puntos colineales.

Problema de Apolonio

Muchos casos especiales del problema de Apolonio implican encontrar un círculo que sea tangente a una o más líneas. El más simple de ellos es construir círculos que sean tangentes a tres líneas dadas (el problema LLL ). Para resolver este problema, el centro de cualquier círculo de este tipo debe estar en una bisectriz de un ángulo de cualquier par de líneas; hay dos líneas que bisecan ángulos por cada intersección de dos líneas. Las intersecciones de estas bisectrices de ángulos dan los centros de los círculos solución. Hay cuatro círculos de este tipo en general, el círculo inscrito del triángulo formado por la intersección de las tres líneas y los tres círculos inscritos.

Un problema general de Apolonio puede transformarse en el problema más simple de círculo tangente a un círculo y dos líneas paralelas (en sí mismo un caso especial del caso especial LLC ). Para lograr esto, basta con escalar dos de los tres círculos dados hasta que apenas se toquen, es decir, sean tangentes. Una inversión en su punto tangente con respecto a un círculo de radio apropiado transforma los dos círculos dados que se tocan en dos líneas paralelas, y el tercer círculo dado en otro círculo. Por lo tanto, las soluciones se pueden encontrar deslizando un círculo de radio constante entre dos líneas paralelas hasta que entre en contacto con el tercer círculo transformado. La reinversión produce las soluciones correspondientes al problema original.

Generalizaciones

El concepto de una línea tangente a uno o más círculos se puede generalizar de varias maneras. En primer lugar, la relación conjugada entre puntos tangentes y líneas tangentes se puede generalizar a puntos polares y líneas polares , en las que los puntos polares pueden estar en cualquier lugar, no solo en la circunferencia del círculo. En segundo lugar, la unión de dos círculos es un caso especial ( reducible ) de una curva plana de segundo grado , y las líneas tangentes interna y externa son las bitangentes de esta curva de segundo grado. Una curva de segundo grado genérica tiene 28 bitangentes.

Una tercera generalización considera círculos tangentes, en lugar de líneas tangentes; una línea tangente puede considerarse como un círculo tangente de radio infinito. En particular, las líneas tangentes externas a dos círculos son casos límite de una familia de círculos que son interna o externamente tangentes a ambos círculos, mientras que las líneas tangentes internas son casos límite de una familia de círculos que son internamente tangentes a uno y externamente tangentes al otro de los dos círculos. ^[5]

En la geometría de Möbius o geometría inversa , las líneas se consideran círculos que pasan por un punto "en el infinito" y para cualquier línea y cualquier círculo, existe una transformación de Möbius que asigna uno al otro. En la geometría de Möbius, la tangencia entre una línea y un círculo se convierte en un caso especial de tangencia entre dos círculos. Esta equivalencia se extiende aún más en la geometría de esferas de Lie .

El radio y la línea tangente son perpendiculares en un punto de un círculo y ortogonales hiperbólicamente en un punto de la hipérbola unitaria . La representación paramétrica de la hipérbola unitaria mediante el vector de radio es $p (a) = (cosh a, sinh a)$ . La derivada de $p (a)$ apunta en la dirección de la línea tangente en $p (a)$ , y es El radio y la tangente son ortogonales hiperbólicamente en $a$ ya que $p$ $($ $a$ $)$ y ⁠ ⁠ son reflejos entre sí en la asíntota $y$ $=$ $x$ de la hipérbola unitaria. Cuando se interpretan como números complejos divididos (donde $jj$ $= +1$ ), los dos números satisfacen ${\tfrac {dp}{da}}=(\sinh a,\cosh a).$ ${\tfrac {dp}{da}}$ $jp(a)={\tfrac {dp}{da}}.$

Referencias

^ "Encontrar tangentes a un círculo con una regla". Stack Exchange . 15 de agosto de 2015.
^ Alexander Bogomolny "¿Cuándo es inscriptible un cuadrilátero?" en Cut-the-knot
^ Paul Kunkel. "Círculos tangentes". Whistleralley.com . Consultado el 29 de septiembre de 2008 .
^ Libeskind, Shlomo (2007), Geometría euclidiana y transformacional: una investigación deductiva , págs. 110-112( copia en línea , pág. 110, en Google Books )
^ Kunkel, Paul (2007), "El problema de la tangencia de Apolonio: tres miradas" (PDF) , BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics , 22 (1): 34–46, doi :10.1080/17498430601148911, S2CID 122408307

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Rectas tangentes a un círculo". MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Rectas tangentes a dos círculos". MathWorld .