Problema de Prouhet-Tarry-Escott

En matemáticas , el problema de Prouhet-Tarry-Escott solicita dos multiconjuntos disjuntos A y B de n enteros cada uno, cuyos primeros k polinomios simétricos de suma de potencias son todos iguales. Es decir, los dos multiconjuntos deberían satisfacer las ecuaciones

${\displaystyle \sum _{a\in A}a^{i}=\sum _{b\in B}b^{i}}$

para cada número entero i desde 1 hasta un k dado . Se ha demostrado que n debe ser estrictamente mayor que k . Las soluciones con se llaman soluciones ideales . Las soluciones ideales son conocidas por y por . No se conoce ninguna solución ideal para o para . ^[1] ${\displaystyle k=n-1}$ ${\displaystyle 3\leq n\leq 10}$ ${\displaystyle n=12}$ ${\displaystyle n=11}$ ${\displaystyle n\geq 13}$

Este problema lleva el nombre de Eugène Prouhet, quien lo estudió a principios de la década de 1850, y de Gaston Tarry y Edward B. Escott, quienes lo estudiaron a principios de la década de 1910. El problema surge de las cartas de Christian Goldbach y Leonhard Euler (1750/1751).

Ejemplos

Soluciones ideales

Una solución ideal para n  = 6 viene dada por los dos conjuntos { 0, 5, 6, 16, 17, 22 } y { 1, 2, 10, 12, 20, 21 }, porque:

0 ¹ + 5 ¹ + 6 ¹ + 16 ¹ + 17 ¹ + 22 ¹ = 1 ¹ + 2 ¹ + 10 ¹ + 12 ¹ + 20 ¹ + 21 ¹

0 ² + 5 ² + 6 ² + 16 ² + 17 ² + 22 ² = 1 ² + 2 ² + 10 ² + 12 ² + 20 ² + 21 ²

0 ³ + 5 ³ + 6 ³ + 16 ³ + 17 ³ + 22 ³ = 1 ³ + 2 ³ + 10 ³ + 12 ³ + 20 ³ + 21 ³

0 ⁴ + 5 ⁴ + 6 ⁴ + 16 ⁴ + 17 ⁴ + 22 ⁴ = 1 ⁴ + 2 ⁴ + 10 ⁴ + 12 ⁴ + 20 ⁴ + 21 ⁴

0 ⁵ + 5 ⁵ + 6 ⁵ + 16 ⁵ + 17 ⁵ + 22 ⁵ = 1 ⁵ + 2 ⁵ + 10 ⁵ + 12 ⁵ + 20 ⁵ + 21 ⁵ .

Para n  = 12, una solución ideal viene dada por A = {±22, ±61, ±86, ±127, ±140, ±151} y B  = {±35, ±47, ±94, ±121, ±146 , ±148}. ^[2]

Otras soluciones

Prouhet usó la secuencia Thue-Morse para construir una solución para cualquier . Es decir, dividir los números del 0 al en a) los números cada uno con un número par de unos en su expansión binaria y b) los números cada uno con un número impar de unos en su expansión binaria; entonces los dos conjuntos de la partición dan una solución al problema. ^[3] Por ejemplo, para y , la solución de Prouhet es: ${\displaystyle n=2^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2^{k+1}-1}$ ${\displaystyle n=8}$ ${\displaystyle k=3}$

0 ¹ + 3 ¹ + 5 ¹ + 6 ¹ + 9 ¹ + 10 ¹ + 12 ¹ + 15 ¹ = 1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 7 ¹ + 8 ¹ + 11 ¹ + 13 ¹ + 14 ¹

0 ² + 3 ² + 5 ² + 6 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² + 15 ² = 1 ² + 2 ² + 4 ² + 7 ² + 8 ² + 11 ² + 13 ² + 14 ²

0 ³ + 3 ³ + 5 ³ + 6 ³ + 9 ³ + 10 ³ + 12 ³ + 15 ³ = 1 ³ + 2 ³ + 4 ³ + 7 ³ + 8 ³ + 11 ³ + 13 ³ + 14 ³ .

Generalizaciones

Andreas Alpers y Robert Tijdeman introdujeron y estudiaron una versión de mayor dimensión del problema de Prouhet-Tarry-Escott en 2007: dados los parámetros , encuentre dos conjuntos múltiples diferentes , de puntos tales que ${\displaystyle n,k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{(x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{n},y_{n})\}}$ ${\displaystyle \{(x_{1}',y_{1}'),\dots ,(x_{n}',y_{n}')\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{j}y_{i}^{d-j}=\sum _{i=1}^{n}{x'}_{i}^{j}{y'}_{i}^{d-j}}$

para todos con Este problema está relacionado con la tomografía discreta y también conduce a soluciones especiales de Prouhet-Tarry-Escott sobre los enteros gaussianos (aunque las soluciones al problema de Alpers-Tijdeman no agotan las soluciones enteras gaussianas de Prouhet-Tarry-Escott). ${\displaystyle d,j\in \{0,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle j\leq d.}$

Una solución para y viene dada, por ejemplo, por: ${\displaystyle n=6}$ ${\displaystyle k=5}$

${\displaystyle \{(x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{6},y_{6})\}=\{(2,1),(1,3),(3,6),(6,7),(7,5),(5,2)\}}$y

${\displaystyle \{(x'_{1},y'_{1}),\dots ,(x'_{6},y'_{6})\}=\{(1,2),(2,5),(5,7),(7,6),(6,3),(3,1)\}}$.

No se conocen soluciones para con . ${\displaystyle n=k+1}$ ${\displaystyle k\geq 6}$

Ver también

• Conjetura de la suma de potencias de Euler
• La conjetura de Beal.
• Ecuación de Jacobi-Madden
• Conjetura de Lander, Parkin y Selfridge
• Número de taxi
• cuádruple pitagórico
• Sumas de potencias , una lista de conjeturas y teoremas relacionados
• Tomografía discreta

Notas

1. Borwein 2002, pag. 85.
2. Solución encontrada por Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac y Chen Shuwen, en 1999.
3. Wright, EM (1959), "La solución de Prouhet en 1851 al problema de Tarry-Escott de 1910", The American Mathematical Monthly , 66 : 199–201, doi : 10.2307/2309513, MR  0104622.

Referencias

• Borwein, Peter B. (2002), "El problema de Prouhet-Tarry-Escott", Excursiones computacionales en análisis y teoría de números, CMS Books in Mathematics, Springer-Verlag , págs. 85–96, ISBN 0-387-95444-9, consultado el 16 de junio de 2009Capítulo 11.
• Alpers, Andreas; Rob Tijdeman (2007), "El problema bidimensional de Prouhet-Tarry-Escott" (PDF) , Journal of Number Theory , 123 (2): 403–412, doi : 10.1016/j.jnt.2006.07.001 , consultado en 2015 -04-01.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Problema de Prouhet-Tarry-Escott", MathWorld