gavilla ℓ-ádica

En geometría algebraica, un haz ℓ-ádico en un esquema noetheriano X es un sistema inverso que consiste en -módulos en la topología étale e induce . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbb {Z} /\ell ^{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n+1}\to F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n+1}\otimes _{\mathbb {Z} /\ell ^{n+1}}\mathbb {Z} /\ell ^{n}{\overset {\simeq }{\to }}F_{n}}$

La topología pro-étale de Bhatt-Scholze ofrece un enfoque alternativo. ^[3]

Motivación

El desarrollo de la cohomología étale en su conjunto fue impulsado por el deseo de producir una teoría "topológica" de la cohomología para variedades algebraicas, es decir, una teoría de cohomología de Weil que funcione en cualquier característica. Una característica esencial de dicha teoría es que admite coeficientes en un cuerpo de característica 0. Sin embargo, los haces étale constantes sin torsión no tienen una cohomología interesante. Por ejemplo, si es una variedad suave sobre un cuerpo , entonces para todo positivo . Por otro lado, los haces constantes sí producen la cohomología "correcta", siempre que sea invertible en el cuerpo fundamental . Así que uno toma un primo para el cual esto es verdadero y define la cohomología -ádica como . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} )=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n}){\text{, and }}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

Esta definición, sin embargo, no es completamente satisfactoria: como en el caso clásico de los espacios topológicos, uno podría querer considerar la cohomología con coeficientes en un sistema local de espacios vectoriales, y debería haber una equivalencia de categoría entre tales sistemas locales y representaciones continuas del grupo fundamental étale . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

Otro problema con la definición anterior es que se comporta bien solo cuando es un cerrado separablemente. En este caso, todos los grupos que aparecen en el límite inverso se generan finitamente y tomar el límite es exacto. Pero si es, por ejemplo, un cuerpo de números , los grupos de cohomología a menudo serán infinitos y el límite no exacto, lo que causa problemas con la functorialidad. Por ejemplo, en general no hay una secuencia espectral de Hochschild-Serre relacionada con la cohomología de Galois de . ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})}$ ${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })}$ ${\displaystyle H^{i}((X_{k^{\text{sep}}})_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })}$

Estas consideraciones nos llevan a considerar la categoría de sistemas inversos de haces como se ha descrito anteriormente. Se tiene entonces la equivalencia deseada de categorías con representaciones del grupo fundamental (para sistemas -locales, y cuando es normal para sistemas -también), y la cuestión del último párrafo se resuelve mediante la llamada cohomología étale continua, donde se toma el funtor derivado del funtor compuesto de tomar el límite sobre secciones globales del sistema. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

Poleas ℓ-ádicas construibles y lisas

Se dice que un haz ℓ-ádico es ${\displaystyle \{F_{n}\}_{\geq 0}}$

• construible si cada uno es construible . ${\displaystyle F_{n}}$
• lisse si cada uno es construible y localmente constante. ${\displaystyle F_{n}}$

Algunos autores (por ejemplo, los de SGA 4 1 ⁄ 2 ) ^[5] suponen que un haz ℓ-ádico es construible.

Dado un esquema conexo X con un punto geométrico x , SGA 1 define el grupo fundamental étale de X en x como el grupo que clasifica los recubrimientos de Galois finitos de X . Entonces la categoría de haces ℓ-ádicos lisos en X es equivalente a la categoría de representaciones continuas de en módulos libres finitos. Esto es un análogo de la correspondencia entre sistemas locales y representaciones continuas del grupo fundamental en topología algebraica (debido a esto, un haz ℓ-ádico liso a veces también se llama sistema local). ${\displaystyle \pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}$

Cohomología ℓ-ádica

Un grupo de cohomología ℓ-ádico es un límite inverso de los grupos de cohomología étale con ciertos coeficientes de torsión.

La "categoría derivada" de haces ℓ-ádicos construibles

De manera similar a la de la cohomología ℓ-ádica, la categoría derivada de haces construibles se define esencialmente como ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }}$ ${\displaystyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }):=(\varprojlim _{n}D_{c}^{b}(X,\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }.}$

(Scholze y Bhatt 2013) escribe "en la vida diaria, uno pretende (sin meterse en muchos problemas) que es simplemente la subcategoría completa de alguna categoría derivada hipotética ..." ${\displaystyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}$ ${\displaystyle D(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}$

Véase también

• Transformada de Fourier-Deligne

Referencias

1. Milne, James S. (21 de abril de 1980). Cohomología étale (PMS-33). Princeton University Press. pág. 163. ISBN 978-0-691-08238-7.
2. Proyecto Stacks, etiqueta 03UL.
3. Scholze, Pedro; Bhatt, Bhargav (4 de septiembre de 2013). "La topología pro-étale para esquemas". arXiv : 1309.1198v2 [matemáticas.AG].
4. Jannsen, Uwe (1988). "Cohomología Étale continua". Annalen Matemáticas . 280 (2): 207–246. ISSN  0025-5831.
5. Deligne, Pierre (1977). Cohomologie Etale . Apuntes de clase de matemáticas (en francés). Vol. 569. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . pp. iv+312. doi :10.1007/BFb0091516. ISBN. 978-3-540-08066-4.Sr. 0463174  .

• Exposé V, VI de Illusie, Luc , éd. (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1965–66 SGA 5 . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 589. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . xii+484. doi :10.1007/BFb0096802. ISBN 3-540-08248-4.Sr .  0491704.
• JS Milne (1980), Étale cohomology , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3

Enlaces externos

• Mathoverflow: ¿Una buena explicación de qué es un haz liso (ℓ-ádico)?
• Seminario de aprendizaje de teoría de números 2016-2017 en Stanford