Resolución de Cartan-Eilenberg

En álgebra homológica , la resolución de Cartan-Eilenberg es, en cierto sentido, una resolución de un complejo de cadena . Puede utilizarse para construir funtores hiperderivados. Recibe su nombre en honor a Henri Cartan y Samuel Eilenberg .

Definición

Sea una categoría abeliana con suficientes proyectivos , y sea un complejo de cadena con objetos en . Entonces una resolución de Cartan-Eilenberg de es un complejo doble de semiplano superior (es decir, para ) que consta de objetos proyectivos de y una función de cadena de "aumento" tal que ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle P_{*,*}}$ ${\displaystyle P_{p,q}=0}$ ${\displaystyle q<0}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \varepsilon \colon P_{p,*}\to A_{p}}$

• Si entonces la p -ésima columna es cero, es decir para todo q . ${\displaystyle A_{p}=0}$ ${\displaystyle P_{p,q}=0}$

• Para cualquier columna fija , ${\displaystyle P_{p,*}}$
  • El complejo de límites obtenido al aplicar la diferencial horizontal a (la columna 1 de ) forma una resolución proyectiva de los límites de . ${\displaystyle B_{p}(P,d^{h}):=d^{h}(P_{p+1.*})}$ ${\displaystyle P_{p+1,*}}$ ${\displaystyle p+1}$ ${\displaystyle P_{*,*}}$ ${\displaystyle B_{p}(\varepsilon ):B_{p}(P,d^{h})\to B_{p}(A)}$ ${\displaystyle A_{p}}$
  • El complejo obtenido al tomar la homología de cada fila con respecto al diferencial horizontal forma una resolución proyectiva de homología de grado p de . ${\displaystyle H_{p}(P,d^{h})}$ ${\displaystyle H_{p}(\varepsilon ):H_{p}(P,d^{h})\to H_{p}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Se puede demostrar que para cada p , la columna es una resolución proyectiva de . ${\displaystyle P_{p,*}}$ ${\displaystyle A_{p}}$

Existe una definición análoga que utiliza resoluciones inyectivas y complejos de cocadena.

La existencia de resoluciones de Cartan-Eilenberg se puede demostrar mediante el lema de la herradura .

Functores hiperderivados

Dado un funtor exacto derecho , se pueden definir los funtores hiperderivados izquierdos de en un complejo de cadena mediante ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A_{*}}$

• Construcción de una resolución de Cartan-Eilenberg , ${\displaystyle \varepsilon :P_{*,*}\to A_{*}}$
• Aplicando el funtor a , y ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P_{*,*}}$
• Tomando la homología del complejo total resultante.

De manera similar, también se pueden definir funtores hiperderivados derechos para funtores exactos izquierdos.

Véase también

• Hiperhomología

Referencias

• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55987-4, Sr.  1269324