Lema de la herradura

Enunciado del álgebra homológica

En álgebra homológica , el lema de la herradura , también llamado teorema de resolución simultánea , es un enunciado que relaciona las resoluciones de dos objetos y con las resoluciones de extensiones de por . Dice que si un objeto es una extensión de por , entonces se puede construir una resolución de inductivamente con el n -ésimo elemento en la resolución igual al coproducto del n -ésimo elemento en las resoluciones de y . El nombre del lema proviene de la forma del diagrama que ilustra la hipótesis del lema. ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A''}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A''}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A''}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A''}$

Declaración formal

Sea una categoría abeliana con suficientes proyectivos . Si ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

es un diagrama en el que la columna es exacta y las filas son resoluciones proyectivas de y respectivamente, entonces se puede completar en un diagrama conmutativo ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A''}$

donde todas las columnas son exactas, la fila del medio es una resolución proyectiva de , y para todo n . Si es una categoría abeliana con suficientes inyectivas , la afirmación dual también se cumple. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{n}=P'_{n}\oplus P''_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El lema se puede demostrar de forma inductiva. En cada etapa de la inducción, se utilizan las propiedades de los objetos proyectivos para definir aplicaciones en una resolución proyectiva de . Luego se invoca el lema de la serpiente para demostrar que la resolución simultánea construida hasta el momento tiene filas exactas. ${\displaystyle A}$

Véase también

• Nueve lemas

Referencias

• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956]. Álgebra homológica. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-04991-5.
• Osborne, M. Scott (2000). Álgebra homológica básica. Springer. ISBN 978-0-387-98934-1.

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