Hiperhomología

Generalización de la (co)homología utilizando complejos de cadena

En álgebra homológica , la hiperhomología o hipercohomología ( ) es una generalización de los funtores de (co)homología que toma como entrada no objetos en una categoría abeliana sino complejos de cadena de objetos, por lo tanto objetos en . Es una especie de cruce entre la cohomología de funtores derivada de un objeto y la homología de un complejo de cadena ya que la hipercohomología corresponde al funtor de secciones globales derivado . ${\displaystyle \mathbb {H} _{*}(-),\mathbb {H} ^{*}(-)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\text{Ch}}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)}$

La hiperhomología ya no se utiliza mucho: desde aproximadamente 1970 ha sido reemplazada en gran medida por el concepto aproximadamente equivalente de funtor derivado entre categorías derivadas .

Motivación

Una de las motivaciones de la hipercohomología proviene del hecho de que no hay una generalización obvia de secuencias exactas largas cohomológicas asociadas a secuencias exactas cortas.

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

es decir, hay una secuencia exacta larga asociada

${\displaystyle 0\to H^{0}(M')\to H^{0}(M)\to H^{0}(M'')\to H^{1}(M')\to \cdots }$

Resulta que la hipercohomología proporciona técnicas para construir una secuencia exacta larga asociada cohomológicamente similar a partir de una secuencia exacta larga arbitraria.

${\displaystyle 0\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots \to M_{k}\to 0}$

Dado que sus entradas están dadas por complejos de cadena en lugar de solo objetos de una categoría abeliana, podemos convertir este complejo de cadena en un triángulo distinguido (usando el lenguaje de categorías trianguladas en una categoría derivada).

${\displaystyle M_{1}\to [M_{2}\to \cdots \to M_{k-1}]\to M_{k}[-k+3]\xrightarrow {+1} }$

que denotamos por

${\displaystyle {\mathcal {M}}'_{\bullet }\to {\mathcal {M}}_{\bullet }\to {\mathcal {M}}''_{\bullet }\xrightarrow {+1} }$

Luego, al tomar secciones globales derivadas se obtiene una secuencia exacta larga, que es una secuencia exacta larga de grupos de hipercohomología. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}\Gamma (-)}$

Definición

Damos la definición de hipercohomología, ya que es la más común. Como es habitual, la hipercohomología y la hiperhomología son esencialmente lo mismo: se pasa de una a otra dualizando, es decir, cambiando la dirección de todas las flechas, reemplazando objetos inyectivos por proyectivos, etc.

Supóngase que A es una categoría abeliana con suficientes inyectivos y F un funtor exacto por la izquierda a otra categoría abeliana B. Si C es un complejo de objetos de A acotado por la izquierda, la hipercohomología

Hola ( C )^​

de C (para un entero i ) se calcula de la siguiente manera:

1. Tomemos un cuasi-isomorfismo Φ  : C  →  I , aquí I es un complejo de elementos inyectivos de A .
2. La hipercohomología H ⁱ ( C ) de C es entonces la cohomología H ⁱ ( F ( I )) del complejo F ( I ).

La hipercohomología de C es independiente de la elección del cuasi-isomorfismo , hasta isomorfismos únicos.

La hipercohomología también puede definirse utilizando categorías derivadas : la hipercohomología de C es simplemente la cohomología de RF ( C ) considerada como un elemento de la categoría derivada de B .

Para los complejos que desaparecen para índices negativos, la hipercohomología se puede definir como los funtores derivados de H ⁰ = FH ⁰ = H ⁰ F .

Las secuencias espectrales de hipercohomología

Hay dos secuencias espectrales de hipercohomología ; una con el término E ₂

${\displaystyle R^{i}F(H^{j}(C))}$

y el otro con término E ₁

${\displaystyle R^{j}F(C^{i})}$

y término E ₂

${\displaystyle H^{i}(R^{j}F(C))}$

Ambos convergen hacia la hipercohomología.

${\displaystyle H^{i+j}(RF(C))}$,

donde R ^j F es un funtor derivado hacia la derecha de F .

Aplicaciones

Una aplicación de las secuencias espectrales de hipercohomología es el estudio de gerbes . Recordemos que los fibrados vectoriales de rango n en un espacio se pueden clasificar como el grupo de cohomología de Cech . La idea principal detrás de gerbes es extender esta idea cohomológicamente, por lo que en lugar de tomar para algún funtor , consideramos en cambio el grupo de cohomología , por lo que clasifica los objetos que están pegados por objetos en el grupo de clasificación original. Un tema estrechamente relacionado que estudia gerbes e hipercohomología es la cohomología de Deligne . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\underline {GL}}_{n})}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\textbf {R}}^{0}F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H^{1}(X,{\textbf {R}}^{1}F)}$

Ejemplos

• Para una variedad X sobre un campo k , la segunda secuencia espectral de arriba da la secuencia espectral de Hodge-de Rham para la cohomología de De Rham algebraica :

  ${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\Rightarrow \mathbf {H} ^{p+q}(X,\Omega _{X}^{\bullet })=:H_{DR}^{p+q}(X/k)}$.

• Otro ejemplo proviene del complejo logarítmico holomorfo en una variedad compleja. ^[1] Sea X una variedad algebraica compleja y una buena compactificación. Esto significa que Y es una variedad algebraica compacta y es un divisor en con cruces normales simples. La inclusión natural de complejos de haces ${\displaystyle j:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle D=Y-X}$ ${\displaystyle Y}$
  ${\displaystyle \Omega _{Y}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X}^{\bullet }}$

  resulta ser un cuasi-isomorfismo e induce un isomorfismo

  ${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {C} )\rightarrow \mathbf {H} ^{k}(Y,\Omega _{Y}^{\bullet }(\log D))}$.

Véase también

• Resolución de Cartan-Eilenberg
• Gerbe

Referencias

1. Peters, Chris AM; Steenbrink, Joseph HM (2008). Estructuras mixtas de Hodge . Springer Berlin, Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6.

• H. Cartan, S. Eilenberg, Álgebra homológica ISBN 0-691-04991-2 
• VI Danilov (2001) [1994], "Functor de hiperhomología", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• A. Grothendieck, Sur quelques point d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9 (1957) págs. 119-221