Dualidad más verdier

En matemáticas , la dualidad de Verdier es una dualidad cohomológica en topología algebraica que generaliza la dualidad de Poincaré para variedades . La dualidad de Verdier fue introducida en 1965 por Jean-Louis Verdier  (1965) como un análogo para espacios topológicos localmente compactos de la teoría de la dualidad de Poincaré de Alexander Grothendieck en cohomología étale para esquemas en geometría algebraica . Es así (junto con dicha teoría étale y, por ejemplo, la dualidad coherente de Grothendieck) un ejemplo del formalismo de seis operaciones de Grothendieck .

La dualidad de Verdier generaliza la dualidad clásica de Poincaré de las variedades en dos direcciones: se aplica a aplicaciones continuas de un espacio a otro (reduciendo al caso clásico para la aplicación única de una variedad a un espacio de un punto), y se aplica a espacios que no pueden ser múltiples debido a la presencia de singularidades. Se encuentra comúnmente al estudiar gavillas construibles o perversas .

Dualidad más verdier

La dualidad de Verdier establece que (sujeto a las condiciones de finitud adecuadas que se analizan a continuación) ciertos functores de imágenes derivadas para haces son en realidad funtores adjuntos . Hay dos versiones.

La dualidad global de Verdier establece que para un mapa continuo de espacios de Hausdorff localmente compactos, el functor derivado de la imagen directa con soportes compactos (o propios) tiene un adjunto derecho en la categoría derivada de haces , en otras palabras, para (complejos de) haces (de grupos abelianos) una y otra vez tenemos ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle Rf_{!}}$ ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle RHom(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong RHom({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}}).}$

La dualidad local de Verdier establece que

${\displaystyle R\,{\mathcal {H}}om(Rf_{!}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\cong Rf_{\ast }R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},f^{!}{\mathcal {G}})}$

en la categoría derivada de poleas en Y. Es importante señalar que la distinción entre las versiones global y local es que la primera relaciona morfismos entre complejos de haces en las categorías derivadas, mientras que la segunda relaciona complejos Hom internos y, por lo tanto, puede evaluarse localmente. Tomar secciones globales de ambos lados en la declaración local da la dualidad global de Verdier.

Estos resultados están sujetos a que el funtor de imagen directa soportado de forma compacta tenga una dimensión cohomológica finita. Este es el caso si existe un límite tal que la cohomología soportada compactamente desaparece para todas las fibras (donde ) y . Esto es válido si todas las fibras son, como máximo, variedades dimensionales o, más generalmente, como máximo, complejos CW dimensionales . ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle d\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle H_{c}^{r}(X_{y},\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle X_{y}=f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle r>d}$ ${\displaystyle X_{y}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

La discusión anterior trata sobre categorías derivadas de haces de grupos abelianos. En cambio, es posible considerar un anillo y (categorías derivadas de) haces de módulos; el caso anterior corresponde a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\mathbf {Z} }$

El complejo dualizante on se define como ${\displaystyle D_{X}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \omega _{X}=p^{!}(k),}$

donde p es el mapa desde hasta un punto. Parte de lo que hace que la dualidad de Verdier sea interesante en el entorno singular es que cuando no es una variedad (un gráfico o una variedad algebraica singular, por ejemplo), entonces el complejo dualizante no es cuasiisomorfo a un haz concentrado en un solo grado. Desde esta perspectiva la categoría derivada es necesaria en el estudio de espacios singulares. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es un espacio localmente compacto de dimensión finita y la categoría derivada acotada de haces de grupos abelianos sobre , entonces el dual de Verdier es un functor contravariante ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{b}(X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle D\colon D^{b}(X)\to D^{b}(X)}$

definido por

${\displaystyle D({\mathcal {F}})=R\,{\mathcal {H}}om({\mathcal {F}},\omega _{X}).}$

Tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle D^{2}({\mathcal {F}})\cong {\mathcal {F}}}$para gavillas con cohomología construible.
• (Entrelazamiento de functores y ). Si es un mapa continuo desde hasta , entonces hay un isomorfismo ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

  ${\displaystyle D(Rf_{!}({\mathcal {F}}))\cong Rf_{\ast }D({\mathcal {F}})}$.

Relación con la dualidad clásica de Poincaré

La dualidad de Poincaré puede derivarse como un caso especial de la dualidad de Verdier. Aquí se calcula explícitamente la cohomología de un espacio utilizando la maquinaria de la cohomología de la gavilla .

Supongamos que X es una variedad compacta orientable de n dimensiones, k es un campo y es la gavilla constante en X con coeficientes en k . Sea el mapa constante a un punto. La dualidad global de Verdier afirma entonces ${\displaystyle k_{X}}$ ${\displaystyle f=p}$

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].}$

Para comprender cómo se obtiene la dualidad de Poincaré a partir de esta afirmación, quizás sea más fácil comprender ambos lados pieza por pieza. Dejar

${\displaystyle k_{X}\to (I_{X}^{\bullet }=I_{X}^{0}\to I_{X}^{1}\to \cdots )}$

ser una resolución inyectiva de la gavilla constante. Luego, mediante hechos estándar sobre funtores derivados derechos

${\displaystyle Rp_{!}k_{X}=p_{!}I_{X}^{\bullet }=\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet })}$

es un complejo cuya cohomología es la cohomología apoyada compactamente de X . Dado que los morfismos entre complejos de haces (o espacios vectoriales) forman un complejo, encontramos que

${\displaystyle \mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k)=\cdots \to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{2})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{1})^{\vee }\to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{0})^{\vee }\to 0}$

donde el último término distinto de cero está en grado 0 y los de la izquierda están en grado negativo. Los morfismos en la categoría derivada se obtienen de la categoría de homotopía de complejos de cadenas de haces tomando la cohomología cero del complejo, es decir

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }.}$

Para el otro lado de la declaración de dualidad de Verdier anterior, tenemos que dar por sentado el hecho de que cuando X es una variedad compacta orientable de n dimensiones

${\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],}$

que es el complejo dualizante de una variedad. Ahora podemos reexpresar el lado derecho como

${\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]]\cong H^{n}(\mathrm {Hom} ^{\bullet }(k_{X},k_{X}))=H^{n}(X;k_{X}).}$

Finalmente hemos obtenido la afirmación de que

${\displaystyle H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n}(X;k_{X}).}$

Repitiendo este argumento con la gavilla k _X reemplazada por la misma gavilla colocada en el grado i obtenemos la dualidad clásica de Poincaré

${\displaystyle H_{c}^{i}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n-i}(X;k_{X}).}$

Ver también

• Dualidad de Poincaré
• Seis operaciones
• Dualidad coherente
• categoría derivada

Referencias

• Borel, Armand (1984), Cohomología de intersección , Progreso en matemáticas, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3274-8
• Gelfand, Serguéi I.; Manin, Yuri Ivanovich (1999), Álgebra homológica , Berlín: Springer, ISBN 978-3-540-65378-3
• Grothendieck, Alexandre (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5) , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 589, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xii+484, ISBN 978-3-540-08248-4, Exposés I y II contienen la teoría correspondiente en la situación étale
• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, señor  0842190
• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2002), Gavillas sobre colectores , Berlín: Springer , ISBN 3540518614
• Verdier, Jean-Louis (1965), "Dualité dans la cohomologie des espaces localement compacts", Séminaire Bourbaki, vol. 9, París: Société Mathématique de France , págs. Exp. Núm. 300, 337–349, ISBN 978-2-85629-042-2, señor  1610971