espacio LP

Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita

En matemáticas , los espacios L ^p son espacios funcionales definidos utilizando una generalización natural de la norma p para espacios vectoriales de dimensión finita . A veces se les llama espacios de Lebesgue , en honor a Henri Lebesgue (Dunford & Schwartz 1958, III.3), aunque según el grupo Bourbaki (Bourbaki 1987) fueron introducidos por primera vez por Frigyes Riesz (Riesz 1910).

Los espacios L ^p forman una clase importante de espacios de Banach en el análisis funcional y de espacios vectoriales topológicos . Debido a su papel clave en el análisis matemático de espacios de medida y probabilidad, los espacios de Lebesgue se utilizan también en la discusión teórica de problemas de física, estadística, economía, finanzas, ingeniería y otras disciplinas.

Aplicaciones

Estadísticas

En estadística, las medidas de tendencia central y dispersión estadística , como la media , la mediana y la desviación estándar , se pueden definir en términos de métricas, y las medidas de tendencia central se pueden caracterizar como soluciones a problemas variacionales . ${\displaystyle L^{p}}$

En regresión penalizada , "penalización L1" y "penalización L2" se refieren a penalizar la norma del vector de valores de parámetros de una solución (es decir, la suma de sus valores absolutos) o su norma (su longitud euclidiana ). Las técnicas que utilizan una penalización L1, como LASSO , fomentan soluciones escasas (donde muchos parámetros son cero). ^[1] La regularización neta elástica utiliza un término de penalización que es una combinación de la norma y la norma del vector de parámetros. ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Hausdorff-Desigualdad joven

La transformada de Fourier para la recta real (o, para funciones periódicas , ver serie de Fourier ), se asigna a (o a ) respectivamente, donde y Esto es una consecuencia del teorema de interpolación de Riesz-Thorin , y se precisa con el de Hausdorff-Young. desigualdad . ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \ell ^{q}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

Por el contrario, si la transformada de Fourier no se corresponde con ${\displaystyle p>2,}$ ${\displaystyle L^{q}.}$

Espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert son fundamentales para muchas aplicaciones, desde la mecánica cuántica hasta el cálculo estocástico . Los espacios y son ambos espacios de Hilbert. De hecho, al elegir una base de Hilbert , es decir, un subconjunto ortonormal máximo de o cualquier espacio de Hilbert, se ve que cada espacio de Hilbert es isométricamente isomorfo a (igual que arriba), es decir, un espacio de Hilbert de tipo ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

La norma p en dimensiones finitas

Las ilustraciones de círculos unitarios (ver también superelipse ) se basan en diferentes normas (cada vector desde el origen hasta el círculo unitario tiene una longitud de uno, y la longitud se calcula con la fórmula de longitud del correspondiente ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

La longitud euclidiana de un vector en el espacio vectorial real de dimensiones viene dada por la norma euclidiana : ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}$$

La distancia euclidiana entre dos puntos y es la longitud de la línea recta entre los dos puntos. En muchas situaciones, la distancia euclidiana es apropiada para capturar las distancias reales en un espacio determinado. Por el contrario, considere a los taxistas en un plan de calles en cuadrícula, quienes deben medir la distancia no en términos de la longitud de la línea recta hasta su destino, sino en términos de la distancia rectilínea , que tiene en cuenta que las calles son ortogonales o paralelas entre sí. otro. La clase de normas generaliza estos dos ejemplos y tiene abundantes aplicaciones en muchas partes de las matemáticas , la física y la informática . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \|x-y\|_{2}}$ ${\displaystyle p}$

Definición

Para un número real , la norma o la norma de se define por ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$

La norma euclidiana desde arriba entra en esta clase y es la norma, y ​​la norma es la norma que corresponde a la distancia rectilínea . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$

La norma o norma máxima (o norma uniforme) es el límite de las normas. Resulta que este límite equivale a la siguiente definición: ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\to \infty .}$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}$$

Ver L -infinito .

Porque todas las normas y la norma máxima definidas anteriormente satisfacen las propiedades de una "función de longitud" (o norma ), que son las siguientes: ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle p}$

• sólo el vector cero tiene longitud cero,
• la longitud del vector es homogénea positiva con respecto a la multiplicación por un escalar ( homogeneidad positiva ), y
• la longitud de la suma de dos vectores no es mayor que la suma de las longitudes de los vectores ( desigualdad del triángulo ).

En términos abstractos, esto significa que junto con -norm hay un espacio vectorial normado . Es más, resulta que este espacio está completo, convirtiéndolo así en un espacio de Banach . Este espacio de Banach es el espacio sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

Relaciones entre p -normas

La distancia de cuadrícula o distancia rectilínea (a veces llamada " distancia de Manhattan ") entre dos puntos nunca es más corta que la longitud del segmento de línea entre ellos (la distancia euclidiana o "en línea recta"). Formalmente, esto significa que la norma euclidiana de cualquier vector está limitada por su norma 1:

$${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}$$

Este hecho se generaliza a las normas en el sentido de que la norma de cualquier vector dado no crece con : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}$para cualquier vector y números reales y (de hecho, esto sigue siendo cierto para y ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

Para la dirección opuesta, se conoce la siguiente relación entre la -norma y la -norma: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$

$${\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}$$

Esta desigualdad depende de la dimensión del espacio vectorial subyacente y se deriva directamente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . ${\displaystyle n}$

En general, para vectores en donde ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle 0<r<p:}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}$$

Esto es una consecuencia de la desigualdad de Hölder .

Cuando 0 < p < 1

Astroide , círculo unitario en sistema métrico ${\displaystyle p={\tfrac {2}{3}}}$

En busca de la fórmula ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n>1,}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$$

función absolutamente homogéneasubaditiva ${\displaystyle 0<p<1;}$

$${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$$

norma F ${\displaystyle p.}$

Por tanto, la función

$${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$$

métricaespacio métrico ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}.}$

Aunque la bola unitaria alrededor del origen en esta métrica es "cóncava", la topología definida por la métrica es la topología del espacio vectorial habitual y, por lo tanto , es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Más allá de esta afirmación cualitativa, una forma cuantitativa de medir la falta de convexidad de es denotar por la constante más pequeña tal que el múltiplo escalar de la bola unitaria contiene el casco convexo de la cual es igual a El hecho de que para fijo tenemos ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle \ell _{n}^{p}}$ ${\displaystyle C_{p}(n)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C\,B_{n}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle B_{n}^{p},}$ ${\displaystyle B_{n}^{1}.}$ ${\displaystyle p<1}$

$${\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }$$

^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Cuando p = 0

Hay una norma y otra función llamada "norma" (entre comillas). ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle \ell _{0}}$

La definición matemática de la norma fue establecida por la Teoría de Operaciones Lineales de Banach . El espacio de secuencias tiene una topología métrica completa proporcionada por la norma F ${\displaystyle \ell _{0}}$

$${\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}$$

Metric Linear Spaces^[2] ${\displaystyle \ell _{0}}$

Otra función llamada "norma" por David Donoho —cuyas comillas advierten que esta función no es una norma propiamente dicha— es el número de entradas distintas de cero del vector ^{[ cita necesaria ]} Muchos autores abusan de la terminología al omitir las comillas. Definir la "norma" cero de es igual a ${\displaystyle \ell _{0}}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle 0^{0}=0,}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$$

Un gif animado de p-normas 0,1 a 2 con un paso de 0,05.

Esta no es una norma porque no es homogénea . Por ejemplo, escalar el vector mediante una constante positiva no cambia la "norma". A pesar de estos defectos como norma matemática, la "norma" de conteo distinto de cero tiene usos en informática científica , teoría de la información y estadística , especialmente en detección comprimida en procesamiento de señales y análisis armónico computacional . A pesar de no ser una norma, la métrica asociada, conocida como distancia de Hamming , es una distancia válida, ya que no se requiere homogeneidad para las distancias. ${\displaystyle x}$

La norma p en dimensiones infinitas y espacios ℓ p

El espacio de secuencia ℓ p

La norma se puede extender a vectores que tienen un número infinito de componentes ( secuencias ), lo que produce el espacio que contiene casos especiales: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$

• ${\displaystyle \ell ^{1},}$el espacio de secuencias cuya serie es absolutamente convergente ,
• ${\displaystyle \ell ^{2},}$el espacio de secuencias sumables al cuadrado , que es un espacio de Hilbert , y
• ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$el espacio de secuencias acotadas .

El espacio de secuencias tiene una estructura de espacio vectorial natural mediante la aplicación de suma y multiplicación escalar coordenada por coordenada. Explícitamente, la suma vectorial y la acción escalar para secuencias infinitas de números reales (o complejos ) vienen dadas por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$$

Defina la norma: ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$$

Aquí surge una complicación, a saber, que la serie de la derecha no siempre es convergente, por lo que, por ejemplo, la secuencia formada sólo por unos tendrá una norma infinita para El espacio se define entonces como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números reales (o complejos) tales que la norma es finita. ${\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$

Se puede comprobar que a medida que aumenta, el conjunto se hace más grande. Por ejemplo, la secuencia ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

$${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$$

${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p>1,}$

$${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$$

serie armónica ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle p>1.}$

También se define la norma usando el supremo : ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$$

^[3] ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}$$

${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

La -norma así definida es de hecho una norma, y ​​junto con esta norma es un espacio de Banach . El espacio completamente general se obtiene, como se ve a continuación, considerando vectores, no sólo con un número finito o contablemente infinito de componentes, sino con "un número arbitrario de componentes "; en otras palabras, funciones . Se utiliza una integral en lugar de una suma para definir la norma. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$

General ℓ p -espacio

En completa analogía con la definición anterior, se puede definir el espacio sobre un conjunto de índices general (y ) como ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$

$${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}$$

Convergencia incondicional

$${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$$

separablelímite directo localmente convexo^[4] ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Porque la norma es incluso inducida por un producto interno canónico llamado ${\displaystyle p=2,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$Producto interno euclidiano , lo que significa quese cumple para todos los vectores.Este producto interno se puede expresar en términos de la norma usando laidentidad de polarización. Enél se puede definir por ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \ell ^{2},}$

$${\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}$$

espacio de medidalas funciones integrables al cuadrado ${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}$$

Consideremos ahora el caso Definir ^{[nota 1]} ${\displaystyle p=\infty .}$

$${\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}$$

^{[5] [nota 2]} ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}$$

El conjunto de índices se puede convertir en un espacio de medidas dándole el álgebra σ discreta y la medida de conteo . Entonces el espacio es sólo un caso especial del -espacio más general (definido a continuación). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Espacios L p e integrales de Lebesgue

Un espacio puede definirse como un espacio de funciones medibles para las cuales la -ésima potencia del valor absoluto es integrable de Lebesgue , donde se identifican funciones que concuerdan en casi todas partes. De manera más general, sea un espacio de medida y ^{[nota 3]} Cuando , considere el conjunto de todas las funciones mensurables desde a o cuyo valor absoluto elevado a la -ésima potencia tiene una integral finita, o en símbolos: ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$ ${\displaystyle p\neq \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}$$

Para definir el conjunto, recordemos que dos funciones y definidas se dicen que son iguales en casi todas partes , se escribe ae , si el conjunto es medible y tiene medida cero. De manera similar, una función medible (y su valor absoluto ) está acotada (o dominada ) casi en todas partes por un número real escrito ae , si el conjunto (necesariamente) medible tiene medida cero. El espacio es el conjunto de todas las funciones medibles que están acotadas en casi todas partes (por algún real ) y se define como el mínimo de estos límites: ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle |f|\leq C}$ ${\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$

$${\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}$$

supremo esencial^{[nota 4]} ${\displaystyle \mu (S)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}$$

Por ejemplo, si es una función medible que es igual a casi todas partes ^{[nota 5]} entonces para cada y por lo tanto para todos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p.}$

Para cada positivo, el valor bajo de una función medible y su valor absoluto son siempre los mismos (es decir, para todos ) y, por lo tanto, una función medible pertenece a si y solo si su valor absoluto lo es. Debido a esto, muchas fórmulas que involucran normas - se establecen sólo para funciones de valor real no negativas. Consideremos, por ejemplo, la identidad que se mantiene siempre que es mensurable, es real y (aquí cuando ). El requisito de no negatividad se puede eliminar sustituyendo lo que da. Tenga en cuenta en particular que cuando es finito, la fórmula relaciona la norma con la norma. ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:S\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }$ ${\displaystyle p=\infty }$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}$ ${\displaystyle p=r}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$

Espacio seminormado de funciones integrables de potencia -ésima ${\displaystyle p}$

Cada conjunto de funciones forma un espacio vectorial cuando la suma y la multiplicación escalar se definen puntualmente. ^{[nota 6]} Que la suma de dos potencias integrables funciona y es nuevamente integrable de -ésima potencia se deduce de ^{[prueba 1]} aunque también es una consecuencia de la desigualdad de Minkowski ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}$

$${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}$$

desigualdad del triánguloabsolutamente homogénea ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f.}$

La homogeneidad absoluta , la desigualdad triangular y la no negatividad son las propiedades que definen una seminorma . Por lo tanto, es una seminorma y el conjunto de funciones integrables de -ésima potencia junto con la función define un espacio vectorial seminorma . En general, la seminorma no es una norma porque pueden existir funciones medibles que satisfagan pero no sean idénticamente iguales ^{[nota 5]} ( es una norma si y sólo si no existe). ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f}$

Conjuntos cero de -seminormas ${\displaystyle p}$

If es medible y es igual a ae entonces para todos los positivos. Por otro lado, if es una función medible para la cual existe alguna tal que entonces casi en todas partes. Cuando es finito, esto se desprende del caso y de la fórmula mencionados anteriormente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}$

Por tanto, si es positivo y es una función medible, entonces si y sólo si en casi todas partes . Dado que el lado derecho ( ae ) no menciona, se deduce que todos tienen el mismo conjunto de ceros (no depende de ). Entonces denota este conjunto común por ${\displaystyle p\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle f=0}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}$$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle p\leq \infty .}$

Espacio vectorial cociente

Como toda seminorma , la seminorma induce una norma (definida brevemente) en el espacio vectorial cociente canónico de por su subespacio vectorial. Este espacio cociente normado se llama espacio de Lebesgue y es el tema de este artículo. Comenzamos definiendo el espacio vectorial cociente. ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}$

Dada cualquiera, la clase lateral consta de todas las funciones medibles que son iguales en casi todas partes . El conjunto de todas las clases laterales, normalmente denotado por ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\},}$$

${\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}$

Dos clases laterales son iguales si y sólo si (o equivalentemente, ), lo que ocurre si y sólo si en casi todas partes; si este es el caso entonces y se identifican en el espacio del cociente. ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

La norma en el espacio vectorial cociente ${\displaystyle p}$

Dado cualquiera, el valor de la seminorma en la clase lateral es constante e igual para denotar este valor único de modo que: ${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle \|f\|_{p};}$ ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}$

$${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}$$

espacio vectorial cociente ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$

$${\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}$$

norma ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$-norma ${\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}$ ${\displaystyle f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$

El espacio Lebesgue ${\displaystyle L^{p}}$

El espacio vectorial normado se llama espacio o espacio de Lebesgue de funciones integrables de -ésima potencia y es un espacio de Banach para cada (lo que significa que es un espacio métrico completo , resultado que a veces se denomina teorema de Riesz-Fischer ). Cuando se entiende el espacio de compás subyacente, a menudo se abrevia o incluso simplemente. Dependiendo del autor, la notación de subíndice puede denotar o ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}$

Si la seminorma on resulta ser una norma (lo que sucede si y solo si ), entonces el espacio normado será linealmente isométrico isomorfo al espacio cociente normado a través del mapa canónico (desde ); en otras palabras, serán, hasta una isometría lineal , el mismo espacio normado y por eso ambos podrán denominarse " espacio". ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}$ ${\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Las definiciones anteriores se generalizan a los espacios de Bochner .

En general, este proceso no se puede revertir: no existe una forma consistente de definir un representante "canónico" de cada clase lateral de in. Sin embargo, existe una teoría de elevaciones que permiten dicha recuperación. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle L^{p}.}$ ${\displaystyle L^{\infty },}$

Casos especiales

Al igual que los espacios, es el único espacio de Hilbert entre los espacios. En el caso complejo, el producto interno está definido por ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$

La estructura interna adicional del producto permite una teoría más rica, con aplicaciones, por ejemplo, a las series de Fourier y la mecánica cuántica . Las funciones en a veces se denominan funciones integrables al cuadrado , funciones cuadráticamente integrables o funciones sumables al cuadrado , pero a veces estos términos se reservan para funciones que son integrables al cuadrado en algún otro sentido, como en el sentido de una integral de Riemann (Titchmarsh 1976) . ${\displaystyle L^{2}}$

Si usamos funciones de valores complejos, el espacio es un álgebra C* conmutativa con multiplicación y conjugación puntuales. Para muchos espacios de medida, incluidos todos los sigma-finitos, es de hecho un álgebra conmutativa de von Neumann . Un elemento de define un operador acotado en cualquier espacio mediante multiplicación . ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Porque los espacios son un caso especial de espacios, cuando están formados por números naturales y son la medida de conteo. Más generalmente, si se considera cualquier conjunto con la medida de conteo, se denota el espacio resultante . Por ejemplo, el espacio es el espacio de todos secuencias indexadas por números enteros, y al definir la norma en dicho espacio, se suman todos los números enteros. El espacio donde está el conjunto de elementos, es con su norma como se definió anteriormente. Como cualquier espacio de Hilbert, todo espacio es linealmente isométrico con respecto a un adecuado donde la cardinalidad del conjunto es la cardinalidad de una base hilbertiana arbitraria para este particular. ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(S).}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \ell ^{p}(n),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(I),}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle L^{2}.}$

Propiedades de los espacios L p

Como en el caso discreto, si existe algo que entonces ${\displaystyle q<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{\infty }(S,\mu )\cap L^{q}(S,\mu ),}$

$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.}$$

La desigualdad de Holder

Supongamos que satisface (dónde ). Si y entonces y ^[6] ${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~0}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}$

$${\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}$$

Esta desigualdad, llamada desigualdad de Hölder , es en cierto sentido óptima ^[6] ya que si (so ) y es una función medible tal que ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty }$$

supremum ${\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}$$

Desigualdad de Minkowski

La desigualdad de Minkowski , que establece que satisface la desigualdad del triángulo , se puede generalizar: si la función medible no es negativa, entonces para todos ^[7] ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$

$${\displaystyle \left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .}$$

Descomposición atómica

Si entonces todo no negativo tiene una descomposición atómica , ^[8] significa que existe una secuencia de números reales no negativos y una secuencia de funciones no negativas llamadas átomos , cuyos soportes son conjuntos de medidas disjuntos por pares tales que ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}$

$${\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,}$$

${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

$${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,}$$

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,}$$

^[8][8] ${\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}$$

Se puede dar explícitamente una descomposición atómica definiendo primero para cada número entero ^[8] ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

$${\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}}$$

mínimo ${\displaystyle t_{n};}$ ${\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}$

$${\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$$

función indicadora^[8] ${\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}$ ${\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.}$ ${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle t_{n}=0}$ ${\displaystyle t_{n+1}=0}$ ${\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n})=\varnothing }$ ${\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}$ ${\displaystyle r_{n}=0}$

La función de distribución acumulativa complementaria de que se usó para definir también aparece en la definición de la norma débil (que se proporciona a continuación) y se puede usar para expresar la norma (para ) de como la integral ^[8] ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)}$ ${\displaystyle |f|=f}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,}$$

${\displaystyle (0,\infty ).}$

Espacios duales

El espacio dual (el espacio de Banach de todos los funcionales lineales continuos) de for tiene un isomorfismo natural con donde es tal que (es decir ). Este isomorfismo se asocia con el funcional definido por ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$ ${\displaystyle L^{q}(\mu ),}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}}$

$${\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu }$$

${\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}$

El hecho de que esté bien definido y sea continuo se deriva de la desigualdad de Hölder . es un mapeo lineal que es una isometría por el caso extremo de la desigualdad de Hölder. También es posible demostrar (por ejemplo con el teorema de Radón-Nikodym , ver ^[9] ) que cualquiera puede expresarse de esta manera: es decir, es sobre . Dado que es onto e isométrico, es un isomorfismo de los espacios de Banach . Con este isomorfismo (isométrico) en mente, se suele decir simplemente que es el espacio dual continuo de ${\displaystyle \kappa _{p}(g)}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle G\in L^{p}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$

Porque el espacio es reflexivo . Sea como arriba y sea la isometría lineal correspondiente. Considere el mapa de a obtenido componiendo con la transpuesta (o adjunta) de la inversa de ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{p}}$ ${\displaystyle \kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )^{**},}$ ${\displaystyle \kappa _{q}}$ ${\displaystyle \kappa _{p}:}$

$${\displaystyle j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}}$$

Este mapa coincide con la incorporación canónica de en su bidual. Además, el mapa es sobre, como composición de dos sobre isometrías, y esto prueba la reflexividad. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle j_{p}}$

Si la medida de on es sigma-finita , entonces el dual de es isométricamente isomorfo a (más precisamente, el mapa correspondiente a es una isometría de on ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle \kappa _{1}}$ ${\displaystyle p=1}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )^{*}.}$

El dual de es más sutil. Los elementos de se pueden identificar con medidas finitamente aditivas firmadas y acotadas que son absolutamente continuas con respecto a Consulte el espacio ba para obtener más detalles. Si asumimos el axioma de elección, este espacio es mucho mayor excepto en algunos casos triviales. Sin embargo, Saharon Shelah demostró que existen extensiones relativamente consistentes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF + DC + "Cada subconjunto de números reales tiene la propiedad de Baire ") en las que el dual de es ^[10] ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mu .}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Incrustaciones

Coloquialmente, if contiene funciones que son más singulares localmente, mientras que los elementos de pueden estar más dispersos. Considere la medida de Lebesgue en la media línea. Una función continua en podría explotar cerca pero debe decaer lo suficientemente rápido hacia el infinito. Por otro lado, las funciones continuas no necesariamente decaen en absoluto, pero no se permite ninguna explosión. El resultado técnico preciso es el siguiente. ^[11] Supongamos que entonces: ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )}$ ${\displaystyle (0,\infty ).}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle 0<p<q\leq \infty .}$

1. ${\displaystyle L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )}$si y sólo si no contiene conjuntos de medidas finitas pero arbitrariamente grandes (cualquier medida finita , por ejemplo). ${\displaystyle S}$
2. ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )}$if y only if no contiene conjuntos de medidas distintas de cero pero arbitrariamente pequeñas (la medida de conteo , por ejemplo). ${\displaystyle S}$

Ninguna de las condiciones se cumple para la línea real con la medida de Lebesgue, mientras que ambas condiciones se cumplen para la medida de conteo en cualquier conjunto finito. En ambos casos, la incrustación es continua, ya que el operador de identidad es un mapa lineal acotado de a en el primer caso y de to en el segundo. (Esto es una consecuencia del teorema del grafo cerrado y las propiedades de los espacios). De hecho, si el dominio tiene medida finita, se puede hacer el siguiente cálculo explícito utilizando la desigualdad de Hölder. ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{q}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}}$$

$${\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.}$$

La constante que aparece en la desigualdad anterior es óptima, en el sentido de que la norma operadora de la identidad es precisamente ${\displaystyle I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )}$

$${\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}$$

${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle \mu }$

Subespacios densos

A lo largo de esta sección asumimos que ${\displaystyle 1\leq p<\infty .}$

Sea un espacio de medida. Una función simple integrable es de la forma ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$$

función indicadoraintegral ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle A_{j}\in \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}$ ${\displaystyle A_{j},}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$

Se puede decir más cuando es un espacio topológico normal y su Borel 𝜎–álgebra , es decir, el 𝜎–álgebra más pequeño de subconjuntos que contienen los conjuntos abiertos . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$

Supongamos que es un conjunto abierto con Se puede demostrar que para cada conjunto de Borel contenido en y para cada existe un conjunto cerrado y un conjunto abierto tal que ${\displaystyle V\subseteq S}$ ${\displaystyle \mu (V)<\infty .}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon }$$

De ello se deduce que existe una función de Urysohn continua que sigue y sigue con ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S\setminus U,}$

$${\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.}$$

Si puede ser cubierto por una secuencia creciente de conjuntos abiertos que tienen medida finita, entonces el espacio de funciones continuas integrables es denso en Más precisamente, se pueden usar funciones continuas acotadas que desaparecen fuera de uno de los conjuntos abiertos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (V_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle V_{n}.}$

Esto se aplica en particular cuando y cuando se aplica la medida Lebesgue. El espacio de funciones continuas y apoyadas compactamente es denso en De manera similar, el espacio de funciones escalonadas integrables es denso en este espacio es el lapso lineal de funciones indicadoras de intervalos acotados cuando de rectángulos acotados cuando y más generalmente de productos de intervalos acotados. ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}).}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d});}$ ${\displaystyle d=1,}$ ${\displaystyle d=2}$

Varias propiedades de funciones generales se prueban primero para funciones continuas y con soporte compacto (a veces para funciones escalonadas), y luego se extienden por densidad a todas las funciones. Por ejemplo, así se demuestra que las traducciones son continuas en el siguiente sentido: ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),}$

$${\displaystyle \forall f\in L^{p}\left(\mathbb {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbb {R} ^{d}\ni t\to 0,}$$

$${\displaystyle (\tau _{t}f)(x)=f(x-t).}$$

Subespacios cerrados

Si es cualquier número real positivo, es una medida de probabilidad en un espacio mensurable (de modo que ), y es un subespacio vectorial, entonces es un subespacio cerrado de si y sólo si es de dimensión finita ^[12] ( se eligió independientemente de ). En este teorema, que se debe a Alexander Grothendieck , ^[12] es crucial que el espacio vectorial sea un subconjunto de ya que es posible construir un subespacio vectorial cerrado de dimensión infinita de (que es incluso un subconjunto de ), donde es Medida de Lebesgue sobre el círculo unitario y es la medida de probabilidad que resulta de dividirlo por su masa ^[12] ${\displaystyle 0<p<\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V\subseteq L^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)}$ ${\displaystyle L^{4}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda (S^{1})=2\pi .}$

L p (0 < p < 1)

Sea un espacio de medida. Si entonces se puede definir como arriba: es el espacio vectorial cociente de aquellas funciones medibles tales que ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}$$

Como antes, podemos introducir la norma - pero en este caso no satisface la desigualdad del triángulo y define solo una cuasi-norma . La desigualdad válida para implica que (Rudin 1991, §1.47) ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p},}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle (a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},}$ ${\displaystyle a,b\geq 0,}$

$${\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}$$

$${\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}}$$

completo^[13] ${\displaystyle L^{p}(\mu ).}$ ${\displaystyle p\geq 1.}$

$${\displaystyle B_{r}=\{f\in L^{p}:N_{p}(f)<r\}}$$

^[13]acotada^[13]espacio normado ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B_{r}=r^{1/p}B_{1}}$ ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

En este contexto satisface una desigualdad inversa de Minkowski , es decir, para ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle u,v\in L^{p}}$

$${\displaystyle {\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}$$

Este resultado puede usarse para probar las desigualdades de Clarkson , que a su vez se usan para establecer la convexidad uniforme de los espacios para (Adams y Fournier 2003). ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty }$

El espacio para es un espacio F : admite una métrica invariante de traslación completa respecto de la cual las operaciones en el espacio vectorial son continuas. Es el ejemplo prototípico de un espacio F que, para la mayoría de los espacios de medidas razonables, no es localmente convexo : en o en cada conjunto convexo abierto que contiene la función es ilimitado para la -cuasi-norma; por tanto, el vector no posee un sistema fundamental de vecindades convexas. Específicamente, esto es cierto si el espacio de medidas contiene una familia infinita de conjuntos mensurables disjuntos de medida positiva finita. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$

El único conjunto abierto convexo no vacío es todo el espacio (Rudin 1991, §1.47). Como consecuencia particular, no hay funcionales lineales continuos distintos de cero en el espacio dual continuo que es el espacio cero. En el caso de la medida de conteo de los números naturales (que produce el espacio de secuencia ), los funcionales lineales acotados en son exactamente aquellos que están acotados, es decir, aquellos dados por secuencias en Aunque contiene conjuntos abiertos convexos no triviales, no tiene suficientes para dar una base para la topología. ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]);}$ ${\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

La situación de no tener funcionales lineales es muy indeseable a los efectos de realizar análisis. En el caso de la medida de Lebesgue en lugar de trabajar con for, es común trabajar con el espacio de Hardy H ^p siempre que sea posible, ya que tiene bastantes funcionales lineales: suficientes para distinguir puntos entre sí. Sin embargo, el teorema de Hahn-Banach todavía falla en H ^p for (Duren 1970, §7.5). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle p<1}$

L 0 , el espacio de funciones medibles

Se denota el espacio vectorial de (clases de equivalencia de) funciones medibles (Kalton, Peck y Roberts 1984). Por definición, contiene todos los y está equipado con la topología de convergencia en medida . Cuando es una medida de probabilidad (es decir, ), este modo de convergencia se denomina convergencia en probabilidad . El espacio es siempre un grupo abeliano topológico pero sólo es un espacio vectorial topológico si . Esto se debe a que la multiplicación escalar es continua si y sólo si . Si es finito, entonces la topología más débil de la convergencia local en medida es un espacio F, es decir, un espacio vectorial topológico completamente metrizable. Además, esta topología es isométrica a la convergencia global en medida para una elección adecuada de medida de probabilidad . ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{0}(S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p},}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu (S)=1}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

La descripción es más fácil cuando es finita. Si es una medida finita de la función admite para la convergencia en medida el siguiente sistema fundamental de vecindades ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (S,\Sigma ),}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.}$$

La topología se puede definir mediante cualquier métrica de la forma ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}$$

Lévy ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [0,\infty ),}$ ${\displaystyle \varphi (0)=0}$ ${\displaystyle \varphi (t)>0}$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \varphi (t)=\min(t,1).}$ ${\displaystyle L^{0}.}$ ${\displaystyle L^{0}}$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty }$ ${\displaystyle L^{0}}$

Para la medida infinita de Lebesgue sobre la definición del sistema fundamental de vecindades se podría modificar de la siguiente manera ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

$${\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\tfrac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}$$

El espacio resultante , con topología de convergencia local en medida, es isomorfo al espacio para cualquier densidad positiva integrable. ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )}$ ${\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g(x)\,\mathrm {d} \lambda (x)),}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g.}$

Generalizaciones y extensiones.

L débil p

Sea un espacio de medida y una función medible con valores reales o complejos en La función de distribución de está definida por ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

$${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.}$$

Si está dentro de algunos entonces por la desigualdad de Markov , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$

$${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}$$

Se dice que una función está en el espacio débil , o si existe una constante tal que, para todos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu )}$ ${\displaystyle L^{p,w}(S,\mu ),}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle t>0,}$

$${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$$

La mejor constante para esta desigualdad es la norma de y se denota por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f,}$

$${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}$$

Los débiles coinciden con los espacios de Lorentz por lo que esta notación también se utiliza para denotarlos. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p,\infty },}$

La norma -no es una norma verdadera, ya que la desigualdad del triángulo no se cumple. Sin embargo, para en ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mu ),}$

$${\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}$$

${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).}$

De hecho, uno tiene

$${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),}$$

${\displaystyle 1/p}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}$$

Según la convención de que dos funciones son iguales, si son iguales en casi todas partes, entonces los espacios están completos (Grafakos 2004). ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$

Para cualquier expresión ${\displaystyle 0<r<p}$

$${\displaystyle \||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}$$

espacios de Banach ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle p>1,}$ ${\displaystyle r=1.}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Un resultado importante que utiliza los espacios es el teorema de interpolación de Marcinkiewicz , que tiene amplias aplicaciones en el análisis armónico y el estudio de integrales singulares . ${\displaystyle L^{p,w}}$

Espacios L p ponderados

Como antes, considere un espacio de medida. Sea una función medible. El - espacio ponderado se define como donde significa la medida definida por ${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}$ ${\displaystyle w:S\to [a,\infty ),a>0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),}$ ${\displaystyle w\,\mathrm {d} \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}$$

o, en términos del derivado Radón-Nikodym , la norma es explícitamente ${\displaystyle w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$

$${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}$$

Como espacios -, los espacios ponderados no tienen nada de especial, ya que son iguales a Pero son el marco natural para varios resultados en el análisis armónico (Grafakos 2004); aparecen por ejemplo en el teorema de Muckenhoupt : pues la transformada de Hilbert clásica se define en donde denota el círculo unitario y la medida de Lebesgue; el operador máximo (no lineal) de Hardy-Littlewood está acotado en el teorema de Muckenhoupt describe pesos tales que la transformada de Hilbert permanece acotada y el operador máximo en ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).}$

L p espacios en colectores

También se pueden definir espacios en una variedad, llamados espacios intrínsecos de la variedad, usando densidades . ${\displaystyle L^{p}(M)}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Espacios L p con valores vectoriales

Dado un espacio de medida y un espacio localmente convexo (aquí se supone que es completo ), es posible definir espacios de funciones integrables con valores de varias maneras. Una forma es definir los espacios de las funciones integrables de Bochner y Pettis , y luego dotarlos de topologías TVS localmente convexas que son (cada una a su manera) una generalización natural de la topología habitual. Otra forma involucra productos tensoriales topológicos de con Elemento del espacio vectorial son sumas finitas de tensores simples donde cada tensor simple puede identificarse con la función que envía. Este producto tensorial luego está dotado de una topología localmente convexa que lo convierte en un producto tensorial topológico , el más común de los cuales es el producto tensorial proyectivo , denotado por y el producto tensorial inyectivo , denotado por En general, ninguno de estos espacios está completo, por lo que se construyen sus terminaciones , que se denotan respectivamente por y (esto es análogo a cómo el El espacio de funciones simples con valores escalares cuando está seminormado por any no está completo, por lo que se construye una terminación que, después de ser cociente por, es isométricamente isomorfa al espacio de Banach ). Alexander Grothendieck demostró que cuando es un espacio nuclear (un concepto que introdujo), entonces estas dos construcciones son, respectivamente, canónicamente TVS-isomorfas con los espacios de funciones integrales de Bochner y Pettis mencionados anteriormente; en resumen, son indistinguibles. ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},}$ ${\displaystyle f\times e}$ ${\displaystyle \Omega \to E}$ ${\displaystyle x\mapsto ef(x).}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E}$ ${\displaystyle \Omega ,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle \ker \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mu )}$ ${\displaystyle E}$

Ver también

• Espacio de Bochner  - Tipo de espacio topológico
• Espacio de Orlicz  - espacio topológicoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio resistente  : concepto dentro del análisis complejo
• Teorema de Riesz-Thorin  - Teorema sobre la interpolación de operadores
• Media de Hölder  : raíz enésima de la media aritmética de los números dados elevados a la potencia nPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de Hölder  : tipo de continuidad de una función de valores complejosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Raíz cuadrática media  - Raíz cuadrada de la media cuadrática
• Desviaciones mínimas absolutas  : criterio de optimización estadística
• Función localmente integrable ${\displaystyle \left(L_{\text{loc}}^{1}\right)}$
• ${\displaystyle L^{p}(G)}$espacios sobre un grupo localmente compacto ${\displaystyle G}$  - Dualidad para grupos abelianos localmente compactos
• Análisis espectral de mínimos cuadrados  : método de cálculo de la periodicidad
• Lista de espacios de Banach
• Distancia de Minkowski  : métrica matemática en el espacio vectorial normado
• L-infinito  - Espacio de secuencias acotadas
• Lp suma ^_

Notas

1. Hastie, TJ, Tibshirani, R. y Wainwright, MJ (2015). Aprendizaje estadístico con dispersión: el lazo y las generalizaciones.
2. Rolewicz, Stefan (1987), Análisis funcional y teoría del control: sistemas lineales , Matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este), vol. 29 (Traducido del polaco por Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Varsovia: D. Reidel Publishing Co.; PWN: Editores científicos polacos, págs. xvi+524, doi :10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, SEÑOR  0920371, OCLC  13064804^{[ página necesaria ]}
3. Maddox, IJ (1988), Elementos de análisis funcional (2ª ed.), Cambridge: CUP, página 16
4. Rafael Dahmen, Gábor Lukács: Colimites largos de grupos topológicos I: mapas continuos y homeomorfismos. en: Topología y sus Aplicaciones Nr. 270, 2020. Ejemplo 2.14
5. Garling, DJH (2007). Desigualdades: un viaje hacia el análisis lineal . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 54.ISBN _ 978-0-521-87624-7.
6. Bahouri, Chemin y Danchin 2011, págs.
7. Bahouri, Chemin y Danchin 2011, pág. 4.
8. Bahouri, Chemin y Danchin 2011, págs.
9. Rudin, Walter (1980), Análisis real y complejo (2ª ed.), Nueva Delhi: Tata McGraw-Hill, ISBN 9780070542341, Teorema 6.16
10. Schechter, Eric (1997), Manual de análisis y sus fundamentos , Londres: Academic Press Inc.Consulte las Secciones 14.77 y 27.44–47.
11. Villani, Alfonso (1985), "Otra nota sobre la inclusión L ^p ( μ ) ⊂ L ^q ( μ ) ", Amer. Matemáticas. Mensual , 92 (7): 485–487, doi :10.2307/2322503, JSTOR  2322503, MR  0801221
12. Rudin 1991, págs.
13. Rudin 1991, pag. 37.

1. La condición no equivale a ser finita, a menos que ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|<+\infty .}$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing .}$
2. Si entonces ${\displaystyle X=\varnothing }$ ${\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|=-\infty .}$
3. Las definiciones de y se pueden extender a todos (en lugar de solo ), pero solo cuando se garantiza que es una norma (aunque es una cuasi-seminorma para todos ). ${\displaystyle \|\cdot \|_{p},}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}$ ${\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle 0<p\leq \infty ,}$
4. Si entonces ${\displaystyle \mu (S)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {esssup} |f|=-\infty .}$
5. de medidas medibles no vacíos, entonces su función indicadora satisface aunque ${\displaystyle N\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mu (N)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {1} _{N}\|_{p}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{N}\neq 0.}$
6. Explícitamente, las operaciones en el espacio vectorial se definen por:
   $${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(sf)(x)&=sf(x)\end{aligned}}}$$
   para todos y todos los escalares Estas operaciones se convierten en un espacio vectorial porque si es cualquier escalar y entonces ambos y también pertenecen a ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s.}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$ ${\displaystyle sf}$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ).}$

1. Cuando la desigualdad se puede deducir del hecho de que la función definida por es convexa , lo que por definición significa que para todos y todos en el dominio de Sustituir y en for y da , lo que demuestra que la desigualdad triangular ahora implica La desigualdad deseada sigue por integrando ambas partes. ${\displaystyle 1\leq p<\infty ,}$ ${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)}$ ${\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(t)=t^{p}}$ ${\displaystyle F(tx+(1-t)y)\leq tF(x)+(1-t)F(y)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle |f|,|g|,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right)^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p},}$ ${\displaystyle (|f|+|g|)^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle |f+g|\leq |f|+|g|}$ ${\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Referencias

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• Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen", Mathematische Annalen , 69 (4): 449–497, doi :10.1007/BF01457637, S2CID  120242933
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, señor  0924157
• Titchmarsh, EC (1976), La teoría de funciones , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

enlaces externos

• "Espacio de Lebesgue", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Prueba de que los espacios Lp están completos