Independencia lineal

Vectores cuyas combinaciones lineales son distintas de cero.

Vectores linealmente independientes en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Vectores linealmente dependientes en un plano en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

En la teoría de los espacios vectoriales , se dice que un conjunto de vectores eslinealmente independiente si no existeuna combinación linealde los vectores que sea igual al vector cero. Si existe tal combinación lineal, entonces se dice que los vectores sonlinealmente dependiente . Estos conceptos son fundamentales para la definición dedimensión. ^[1]

Un espacio vectorial puede ser de dimensión finita o infinita dependiendo del número máximo de vectores linealmente independientes. La definición de dependencia lineal y la capacidad de determinar si un subconjunto de vectores en un espacio vectorial es linealmente dependiente son fundamentales para determinar la dimensión de un espacio vectorial.

Definición

Se dice que una secuencia de vectores de un espacio vectorial V es linealmente dependiente , si existen escalares no todos cero, tales que ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} ,}$

donde denota el vector cero. ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Esto implica que al menos uno de los escalares es distinto de cero, digamos , y la ecuación anterior se puede escribir como ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}\mathbf {v} _{k},}$

si y si ${\displaystyle k>1,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle k=1.}$

Por tanto, un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y sólo si uno de ellos es cero o una combinación lineal de los demás.

Se dice que una secuencia de vectores es linealmente independiente si no es linealmente dependiente, es decir, si la ecuación ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,}$

solo puede satisfacerse con for. Esto implica que ningún vector de la secuencia puede representarse como una combinación lineal de los vectores restantes de la secuencia. En otras palabras, una secuencia de vectores es linealmente independiente si la única representación como combinación lineal de sus vectores es la representación trivial en la que todos los escalares son cero. ^[2] Aún más concisamente, una secuencia de vectores es linealmente independiente si y sólo si puede representarse como una combinación lineal de sus vectores de una manera única. ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\textstyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Si una secuencia de vectores contiene el mismo vector dos veces, es necesariamente dependiente. La dependencia lineal de una secuencia de vectores no depende del orden de los términos en la secuencia. Esto permite definir independencia lineal para un conjunto finito de vectores: Un conjunto finito de vectores es linealmente independiente si la secuencia obtenida al ordenarlos es linealmente independiente. En otras palabras, se obtiene el siguiente resultado que suele ser útil.

Una secuencia de vectores es linealmente independiente si y sólo si no contiene el mismo vector dos veces y el conjunto de sus vectores es linealmente independiente.

caso infinito

Un conjunto infinito de vectores es linealmente independiente si todo subconjunto finito no vacío es linealmente independiente. Por el contrario, un conjunto infinito de vectores es linealmente dependiente si contiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente, o de manera equivalente, si algún vector del conjunto es una combinación lineal de otros vectores del conjunto.

Una familia indexada de vectores es linealmente independiente si no contiene el mismo vector dos veces y si el conjunto de sus vectores es linealmente independiente. En caso contrario, se dice que la familia es linealmente dependiente .

Un conjunto de vectores que es linealmente independiente y abarca un espacio vectorial, forma la base de ese espacio vectorial. Por ejemplo, el espacio vectorial de todos los polinomios en x sobre los reales tiene el subconjunto (infinito) {1, x , x ² , ...} como base.

Ejemplos geométricos

• ${\displaystyle {\vec {u}}}$y son independientes y definen el plano P. ${\displaystyle {\vec {v}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, y son dependientes porque los tres están contenidos en el mismo plano. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$y son dependientes porque son paralelos entre sí. ${\displaystyle {\vec {j}}}$
• ${\displaystyle {\vec {u}}}$, y son independientes porque y son independientes entre sí y no son una combinación lineal de ellos o, equivalentemente, porque no pertenecen a un plano común. Los tres vectores definen un espacio tridimensional. ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$
• Los vectores (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y son dependientes ya que ${\displaystyle {\vec {o}}}$ ${\displaystyle {\vec {k}}}$ ${\displaystyle {\vec {o}}=0{\vec {k}}}$

Ubicación geográfica

Una persona que describa la ubicación de un determinado lugar podría decir: "Está a 3 millas al norte y 4 millas al este de aquí". Esta es información suficiente para describir la ubicación, porque el sistema de coordenadas geográficas puede considerarse como un espacio vectorial bidimensional (ignorando la altitud y la curvatura de la superficie de la Tierra). La persona podría agregar: "El lugar está a 5 millas al noreste de aquí". Esta última afirmación es cierta , pero no es necesario encontrar la ubicación.

En este ejemplo, el vector "3 millas al norte" y el vector "4 millas al este" son linealmente independientes. Es decir, el vector norte no puede describirse en términos del vector este, y viceversa. El tercer vector de "5 millas al noreste" es una combinación lineal de los otros dos vectores y hace que el conjunto de vectores sea linealmente dependiente , es decir, uno de los tres vectores es innecesario para definir una ubicación específica en un plano.

Tenga en cuenta también que si no se ignora la altitud, es necesario agregar un tercer vector al conjunto linealmente independiente. En general, se requieren n vectores linealmente independientes para describir todas las ubicaciones en un espacio de n dimensiones.

Evaluación de la independencia lineal

El vector cero

Si uno o más vectores de una secuencia dada de vectores es el vector cero, entonces los vectores son necesariamente linealmente dependientes (y, en consecuencia, no son linealmente independientes). Para ver por qué, supongamos que es un índice (es decir, un elemento de ) tal que Entonces sea (alternativamente, dejar que sea igual a cualquier otro escalar distinto de cero también funcionará) y luego deje que todos los demás escalares sean (explícitamente, esto significa que para cualquier índice distinto de (es decir, para ), deje que en consecuencia ). Simplificando da: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$ ${\displaystyle a_{i}:=1}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\neq i}$ ${\displaystyle a_{j}:=0}$ ${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

Como no todos los escalares son cero (en particular, ), esto demuestra que los vectores son linealmente dependientes. ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$

Como consecuencia, el vector cero no puede pertenecer a ninguna colección de vectores que sea linealmente independiente .

Consideremos ahora el caso especial en el que la secuencia de tiene longitud (es decir, el caso en el que ). Una colección de vectores que consta de exactamente un vector es linealmente dependiente si y sólo si ese vector es cero. Explícitamente, si es cualquier vector, entonces la secuencia (que es una secuencia de longitud ) es linealmente dependiente si y sólo si ; alternativamente, la colección es linealmente independiente si y sólo si ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

Dependencia lineal e independencia de dos vectores.

Este ejemplo considera el caso especial en el que hay exactamente dos vectores de algún espacio vectorial real o complejo. Los vectores y son linealmente dependientes si y sólo si al menos uno de los siguientes es verdadero: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$es un múltiplo escalar de (explícitamente, esto significa que existe un escalar tal que ) o ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$es un múltiplo escalar de (explícitamente, esto significa que existe un escalar tal que ). ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$

Si entonces, al establecer tenemos (esta igualdad se cumple sin importar cuál sea el valor de), eso demuestra que (1) es verdadero en este caso particular. De manera similar, si entonces (2) es verdadero porque Si (por ejemplo, si ambos son iguales al vector cero ), entonces ( 1) y (2) son verdaderos (usando para ambos). ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c:=0}$ ${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle c:=1}$

Si entonces sólo es posible si y ; en este caso, es posible multiplicar ambos lados por para concluir. Esto muestra que si y entonces (1) es verdadero si y sólo si (2) es verdadero; es decir, en este caso particular (1) y (2) son verdaderos (y los vectores son linealmente dependientes) o (1) y (2) son falsos (y los vectores son linealmente dependientes ). Si pero, entonces al menos uno de y debe ser cero. Además, si exactamente uno de y es (mientras el otro es distinto de cero), entonces exactamente uno de (1) y (2) es verdadero (y el otro es falso). ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\textstyle {\frac {1}{c}}}$ ${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Los vectores y son linealmente independientes si y sólo si no es un múltiplo escalar de y no es un múltiplo escalar de . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

Vectores en R 2

Tres vectores: considere el conjunto de vectores y luego la condición de dependencia lineal busca un conjunto de escalares distintos de cero, tales que ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

o

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Reduzca por filas esta ecuación matricial restando la primera fila de la segunda para obtener,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Continúe la reducción de filas (i) dividiendo la segunda fila por 5, y luego (ii) multiplicando por 3 y sumando a la primera fila, es decir

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Reordenando esta ecuación nos permite obtener

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

lo que muestra que existen a _i distintos de cero que pueden definirse en términos de y Por lo tanto, los tres vectores son linealmente dependientes. ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$

Dos vectores: ahora considere la dependencia lineal de los dos vectores y verifique, ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

o

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

La misma reducción de hileras presentada anteriormente produce,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Esto muestra lo que significa que los vectores y son linealmente independientes. ${\displaystyle a_{i}=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$

Vectores en R 4

Para determinar si los tres vectores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

son linealmente dependientes, forman la ecuación matricial,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Fila reduce esta ecuación para obtener,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Reorganice para resolver v ₃ y obtenga,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

Esta ecuación se resuelve fácilmente para definir a _i distinto de cero ,

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

donde se puede elegir arbitrariamente. Por tanto, los vectores y son linealmente dependientes. ${\displaystyle a_{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

Método alternativo utilizando determinantes.

Un método alternativo se basa en el hecho de que los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de la matriz formada tomando los vectores como columnas es distinto de cero. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En este caso, la matriz formada por los vectores es

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Podemos escribir una combinación lineal de las columnas como

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Nos interesa saber si A Λ = 0 para algún vector Λ distinto de cero. Esto depende del determinante de , que es ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Como el determinante es distinto de cero, los vectores y son linealmente independientes. ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (-3,2)}$

De lo contrario, supongamos que tenemos vectores de coordenadas, con Entonces A es una matriz de n × m y Λ es un vector columna con entradas, y nuevamente estamos interesados ​​en A Λ = 0 . Como vimos anteriormente, esto equivale a una lista de ecuaciones. Considere las primeras filas de las primeras ecuaciones; cualquier solución de la lista completa de ecuaciones también debe ser cierta para la lista reducida. De hecho, si ⟨ i ₁ ,..., i _m ⟩ es cualquier lista de filas, entonces la ecuación debe ser verdadera para esas filas. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m<n.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

Es más, ocurre lo contrario. Es decir, podemos probar si los vectores son linealmente dependientes probando si ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

para todas las listas posibles de filas. (En el caso de , esto requiere sólo un determinante, como arriba. Si , entonces es un teorema de que los vectores deben ser linealmente dependientes.) Este hecho es valioso para la teoría; en cálculos prácticos existen métodos más eficientes. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle m>n}$

Más vectores que dimensiones

Si hay más vectores que dimensiones, los vectores son linealmente dependientes. Esto se ilustra en el ejemplo anterior de tres vectores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Vectores de base natural

Consideremos los siguientes elementos en , conocidos como vectores de base natural : ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}}$

Entonces son linealmente independientes. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$

Prueba

Supongamos que son números reales tales que ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .}$

Desde

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right),}$

entonces para todos ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

Independencia lineal de funciones.

Sea el espacio vectorial de todas las funciones diferenciables de una variable real . Entonces las funciones e in son linealmente independientes. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e^{t}}$ ${\displaystyle e^{2t}}$ ${\displaystyle V}$

Prueba

Supongamos que y son dos números reales tales que ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

Tome la primera derivada de la ecuación anterior:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

para todos los valores de Necesitamos demostrar que y Para hacer esto, restamos la primera ecuación de la segunda, dando . Dado que para algunos no es cero , eso también se deduce. Por lo tanto, según la definición de independencia lineal, y son linealmente independientes. ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle b=0.}$ ${\displaystyle be^{2t}=0}$ ${\displaystyle e^{2t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle b=0.}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle e^{t}}$ ${\displaystyle e^{2t}}$

Espacio de dependencias lineales.

Una dependencia lineal o _relación lineal entre vectores v ₁ , ..., v _n es una tupla ( a ₁ , ..., an ) con n componentes escalares tales que

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .}$

Si existe tal dependencia lineal con al menos un componente distinto de cero, entonces los n vectores son linealmente dependientes. Las dependencias lineales entre v ₁ , ..., v _n forman un espacio vectorial.

Si los vectores se expresan por sus coordenadas, entonces las dependencias lineales son las soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales , con las coordenadas de los vectores como coeficientes. Por lo tanto, se puede calcular una base del espacio vectorial de dependencias lineales mediante eliminación gaussiana .

Generalizaciones

Independencia afín

Se dice que un conjunto de vectores es afínmente dependiente si al menos uno de los vectores del conjunto puede definirse como una combinación afín de los demás. En caso contrario, el conjunto se llama afínmente independiente . Cualquier combinación afín es una combinación lineal; por lo tanto, todo conjunto afínmente dependiente es linealmente dependiente. Por el contrario, todo conjunto linealmente independiente es afínmente independiente.

Considere un conjunto de vectores de tamaño cada uno y considere el conjunto de vectores aumentados de tamaño cada uno. Los vectores originales son afínmente independientes si y sólo si los vectores aumentados son linealmente independientes. ^{[3] : 256} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$ ${\displaystyle n+1}$

Subespacios vectoriales linealmente independientes

Se dice que dos subespacios vectoriales y de un espacio vectorial son linealmente independientes si ^[4] Más generalmente, se dice que una colección de subespacios de es linealmente independiente si para cada índice donde ^[4] Se dice que el espacio vectorial es una suma directa de si estos subespacios son linealmente independientes y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$ ${\displaystyle i,}$ ${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ ${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$

Ver también

• Matroid  – Abstracción de la independencia lineal de vectores

Referencias

1. GE Shilov, Álgebra lineal (Trans. RA Silverman), Publicaciones de Dover, Nueva York, 1977.
2. Friedberg, Esteban; Insel, Arnold; Spence, Lorenzo (2003). Álgebra lineal . Pearson, cuarta edición. págs. 48–49. ISBN 0130084514.
3. Lovász, László ; Plummer, MD (1986), Teoría de correspondencias , Annals of Discrete Mathematics, vol. 29, Holanda Septentrional, ISBN 0-444-87916-1, señor  0859549
4. Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Análisis funcional (Segunda ed.). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0486402512. OCLC  829157984.págs. 3–7

enlaces externos

• "Independencia lineal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones linealmente dependientes en WolframMathWorld.
• Tutorial y programa interactivo sobre Independencia Lineal.
• Introducción a la independencia lineal en KhanAcademy.