Cálculo de Malliavin

Técnicas matemáticas utilizadas en la teoría de la probabilidad y campos relacionados

En teoría de la probabilidad y campos relacionados, el cálculo de Malliavin es un conjunto de técnicas e ideas matemáticas que extienden el campo matemático del cálculo de variaciones desde funciones deterministas a procesos estocásticos . En particular, permite el cálculo de derivadas de variables aleatorias . El cálculo de Malliavin también se denomina cálculo estocástico de variaciones . P. Malliavin fue el primero en iniciar el cálculo en el espacio de dimensión infinita. Luego, los contribuyentes significativos como S. Kusuoka, D. Stroock, JM. Bismut , Shinzo Watanabe , I. Shigekawa, etc., finalmente completaron las bases.

El cálculo de Malliavin recibe su nombre de Paul Malliavin, cuyas ideas condujeron a una prueba de que la condición de Hörmander implica la existencia y suavidad de una densidad para la solución de una ecuación diferencial estocástica ; la prueba original de Hörmander se basó en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . El cálculo también se ha aplicado a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .

El cálculo permite la integración por partes con variables aleatorias ; esta operación se utiliza en finanzas matemáticas para calcular la sensibilidad de los derivados financieros . El cálculo tiene aplicaciones, por ejemplo, en el filtrado estocástico .

Visión general e historia

Malliavin introdujo el cálculo de Malliavin para proporcionar una prueba estocástica de que la condición de Hörmander implica la existencia de una densidad para la solución de una ecuación diferencial estocástica ; la prueba original de Hörmander se basaba en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales . Su cálculo le permitió a Malliavin demostrar límites de regularidad para la densidad de la solución. El cálculo se ha aplicado a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas .

Espacio de probabilidad gaussiano

Consideremos un funcional de Wiener (un funcional del espacio clásico de Wiener ) y planteemos la tarea de hallar una derivada para él. La idea natural sería utilizar la derivada de Gateaux ${\displaystyle F}$

${\displaystyle D_{g}F:=\left.{\frac {d}{d\tau }}F[f+\tau g]\right|_{\tau =0},}$

Sin embargo, esto no siempre ocurre, por lo que tiene sentido encontrar un nuevo cálculo diferencial para tales espacios limitando las direcciones.

El modelo de juguete del cálculo de Malliavin es un espacio de probabilidad gaussiano irreducible . Este es un espacio de probabilidad (completo) junto con un subespacio cerrado tal que todas las variables gaussianas son de media cero y . Si se elige una base para , se llama modelo numérico . Por otro lado, para cualquier espacio de Hilbert separable existe un espacio de probabilidad gaussiano irreducible canónico llamado modelo de Segal que tiene como subespacio gaussiano. En este caso, para un uno se denota la variable aleatoria asociada en como . ${\displaystyle X=(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma (H:H\in {\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle W(g)}$

Las propiedades de un espacio de probabilidad gaussiano que no dependen de la elección particular de la base se denominan intrínsecas y las que sí dependen de la elección se denominan extrínsecas . ^[1] Denotamos el producto infinito contable de espacios reales como . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$

Recordemos la versión moderna del teorema de Cameron-Martin

Consideremos un espacio vectorial localmente convexo con una medida gaussiana cilíndrica . Para un elemento del dual topológico, definamos la distancia a la media. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f\in E^{*}}$

${\displaystyle t_{\gamma }(f):=f-\int _{E}f(x)\gamma (\mathrm {d} x),}$

que es un mapa , y denota el cierre en como ${\displaystyle t_{\gamma }\colon E^{*}\to L^{2}(E,\gamma )}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma )}$

${\displaystyle E_{\gamma }^{*}:=\operatorname {clos} \left\{t_{\gamma }(f)\colon \ f\in E^{*}\right\}}$

Sea la traslación denotada por . Entonces, respectivamente, el operador de covarianza sobre ella induce un espacio de Hilbert de núcleo reproductor llamado espacio de Cameron-Martin tal que para cualquier existe equivalencia . ${\displaystyle \gamma _{m}:=\gamma (\cdot -m)}$ ${\displaystyle m\in E}$ ${\displaystyle E_{\gamma }^{*}}$ ${\displaystyle R_{\gamma }:E_{\gamma }^{*}\to (E_{\gamma }^{*})^{'}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle m\in R}$ ${\displaystyle \gamma _{m}\sim \gamma }$^[2]

De hecho, aquí se puede utilizar el teorema de Feldman-Hájek para encontrar que para cualquier otra medida de este tipo sería singular. ${\displaystyle h\not \in R}$

Denotamos el producto infinito contable de espacios reales como . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod \limits _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$

Sea la medida gaussiana canónica, al trasladar el teorema de Cameron-Martin de a un modelo numérico , el grupo aditivo de definirá un grupo de cuasi-automorfismo en . Se puede realizar una construcción de la siguiente manera: elija una base ortonormal en , sea que denote la traslación en por , denote la función en el espacio de Cameron-Martin por , denote ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} }=\otimes _{n\in \mathbb {N} }\gamma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha }(x)=x+\alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle j:{\mathcal {H}}\to \ell ^{2}}$

${\displaystyle L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=\bigcap \limits _{p<\infty }L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\quad }$y ${\displaystyle \quad q:L^{\infty -0}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }),\gamma ^{\mathbb {N} })\to L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P),}$

Obtenemos una representación canónica del grupo aditivo que actúa sobre los endomorfismos definiendo ${\displaystyle \rho :{\mathcal {H}}\to \operatorname {End} (L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P))}$

${\displaystyle \rho (h)=q\circ \tau _{j(h)}\circ q^{-1}.}$

Se puede demostrar que la acción de es extrínseca, es decir, no depende de la elección de la base para , además para y para el generador infinitesimal de esa ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho (h+h')=\rho (h)\rho (h')}$ ${\displaystyle h,h'\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (\rho (h))_{h}}$

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\rho (\varepsilon h)-I}{\varepsilon }}=M_{h}}$

donde es el operador identidad y denota el operador de multiplicación por la variable aleatoria (que actúa sobre los endomorfismos). En el caso de un espacio de Hilbert arbitrario y el modelo de Segal se tiene (y por lo tanto . Entonces el límite anterior se convierte en el operador de multiplicación por la variable aleatoria asociada a . ^[3] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M_{h}}$ ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle j:{\mathcal {G}}\to \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \rho :{\mathcal {G}}\to \operatorname {End} (L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P))}$ ${\displaystyle W(g)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$

Para y ahora se define la derivada direccional ${\displaystyle F\in L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \langle DF,h\rangle =D_{h}F=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {\left(\rho (\varepsilon h)-I\right)F}{\varepsilon }}.}$

Dado un espacio de Hilbert y un modelo de Segal con su espacio gaussiano , ahora se puede deducir para la fórmula de integración por partes ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Seg} (H)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{W(h):h\in H\}}$ ${\displaystyle F\in L^{\infty -0}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle \mathbb {E} [D_{h}F]=\mathbb {E} [M_{W(h)}F]=\mathbb {E} [W(h)F]}$. ^[4]

Principio de invariancia

El principio de invariancia habitual para la integración de Lebesgue sobre toda la línea real es que, para cualquier número real ε y función integrable f , se cumple lo siguiente

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\lambda (x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x+\varepsilon )\,d\lambda (x)}$y por lo tanto ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f'(x)\,d\lambda (x)=0.}$

Esto se puede utilizar para derivar la fórmula de integración por partes ya que, al establecer f = gh , implica

${\displaystyle 0=\int _{-\infty }^{\infty }f'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }(gh)'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }gh'\,d\lambda +\int _{-\infty }^{\infty }g'h\,d\lambda .}$

Una idea similar se puede aplicar en el análisis estocástico para la diferenciación a lo largo de una dirección de Cameron-Martin-Girsanov. De hecho, sea un proceso predecible integrable al cuadrado y establezca ${\displaystyle h_{s}}$

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{0}^{t}h_{s}\,ds.}$

Si es un proceso de Wiener , el teorema de Girsanov produce entonces el siguiente análogo del principio de invariancia: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle E(F(X+\varepsilon \varphi ))=E\left[F(X)\exp \left(\varepsilon \int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}\int _{0}^{1}h_{s}^{2}\,ds\right)\right].}$

Derivando respecto de ε en ambos lados y evaluando en ε=0, se obtiene la siguiente fórmula de integración por partes:

${\displaystyle E(\langle DF(X),\varphi \rangle )=E{\Bigl [}F(X)\int _{0}^{1}h_{s}\,dX_{s}{\Bigr ]}.}$

Aquí, el lado izquierdo es la derivada de Malliavin de la variable aleatoria en la dirección y la integral que aparece en el lado derecho debe interpretarse como una integral de Itô . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi }$

Fórmula de Clark-Ocone

Uno de los resultados más útiles del cálculo de Malliavin es el teorema de Clark-Ocone , que permite identificar explícitamente el proceso en el teorema de representación de la martingala . Una versión simplificada de este teorema es la siguiente:

Consideremos la medida estándar de Wiener en el espacio canónico , equipada con su filtración canónica. Para satisfacer que es Lipschitz y tal que F tiene un núcleo derivado fuerte, en el sentido de que para en C [0,1] ${\displaystyle C[0,1]}$ ${\displaystyle F:C[0,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E(F(X)^{2})<\infty }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F(X+\varepsilon \varphi )-F(X))=\int _{0}^{1}F'(X,dt)\varphi (t)\ \mathrm {a.e.} \ X}$

entonces

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}H_{t}\,dX_{t},}$

donde H es la proyección previsible de F '( x , ( t ,1]) que puede verse como la derivada de la función F con respecto a un desplazamiento paralelo adecuado del proceso X sobre la porción ( t ,1] de su dominio.

Esto se puede expresar de forma más concisa:

${\displaystyle F(X)=E(F(X))+\int _{0}^{1}E(D_{t}F\mid {\mathcal {F}}_{t})\,dX_{t}.}$

Gran parte del trabajo en el desarrollo formal del cálculo de Malliavin implica extender este resultado a la clase más grande posible de funcionales F , reemplazando el núcleo derivado utilizado anteriormente por la " derivada de Malliavin " indicada en el enunciado anterior del resultado. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle D_{t}}$

Integral de Skorokhod

El operador integral de Skorokhod, que convencionalmente se denota δ, se define como el adjunto de la derivada de Malliavin en el caso de ruido blanco cuando el espacio de Hilbert es un espacio, por lo tanto, para u en el dominio del operador que es un subconjunto de , para F en el dominio de la derivada de Malliavin, requerimos ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,\infty )\times \Omega )}$

${\displaystyle E(\langle DF,u\rangle )=E(F\delta (u)),}$

donde el producto interno es el de viz ${\displaystyle L^{2}[0,\infty )}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(s)g(s)\,ds.}$

La existencia de este adjunto se desprende del teorema de representación de Riesz para operadores lineales en espacios de Hilbert .

Se puede demostrar que si u está adaptado entonces

${\displaystyle \delta (u)=\int _{0}^{\infty }u_{t}\,dW_{t},}$

donde la integral debe entenderse en el sentido de Itô. Por lo tanto, esto proporciona un método para extender la integral de Itô a integrandos no adaptados.

Aplicaciones

El cálculo permite la integración por partes con variables aleatorias ; esta operación se utiliza en finanzas matemáticas para calcular la sensibilidad de los derivados financieros . El cálculo tiene aplicaciones, por ejemplo, en el filtrado estocástico .

Referencias

1. Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 4-15. ISBN 3-540-57024-1.
2. Bogachev, Vladimir (1998). Medidas gaussianas . Rhode Island: American Mathematical Society .
3. Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 20-22. ISBN 3-540-57024-1.
4. Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Berlín, Heidelberg: Springer. pag. 36.ISBN​ 3-540-57024-1.

• Kusuoka, S. y Stroock, D. (1981) "Aplicaciones del cálculo de Malliavin I", Análisis estocástico, Actas del Simposio Internacional Taniguchi Katata y Kioto 1982, págs. 271-306
• Kusuoka, S. y Stroock, D. (1985) "Aplicaciones del cálculo de Malliavin II", J. Faculty Sci. Uni. Tokyo Sect. 1A Math. , 32 págs. 1–76
• Kusuoka, S. y Stroock, D. (1987) "Aplicaciones del cálculo de Malliavin III", J. Faculty Sci. Univ. Tokyo Sect. 1A Math. , 34 págs. 391–442
• Malliavin, Paul y Thalmaier, Anton. Cálculo estocástico de variaciones en finanzas matemáticas , Springer 2005, ISBN 3-540-43431-3 
• Nualart, David (2006). El cálculo de Malliavin y temas relacionados (segunda edición). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.
• Bell, Denis. (2007) El cálculo de Malliavin , Dover. ISBN 0-486-44994-7 ; libro electrónico 
• Sanz-Solé, Marta (2005) Cálculo de Malliavin, con aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales estocásticas . EPFL Press, distribuido por CRC Press, Taylor & Francis Group.
• Schiller, Alex (2009) Cálculo de Malliavin para simulación de Monte Carlo con aplicaciones financieras. Tesis, Departamento de Matemáticas, Universidad de Princeton
• Øksendal, Bernt K. (1997) Introducción al cálculo de Malliavin con aplicaciones a la economía. Apuntes de clase, Departamento de Matemáticas, Universidad de Oslo (archivo zip que contiene la tesis y el anexo)
• Di Nunno, Giulia , Øksendal, Bernt, Proske, Frank (2009) "Cálculo de Malliavin para procesos de Lévy con aplicaciones a las finanzas", Universitext, Springer. ISBN 978-3-540-78571-2 

Enlaces externos

• Citas relacionadas con el cálculo de Malliavin en Wikiquote
• Friz, Peter K. (10 de abril de 2005). "Introducción al cálculo de Malliavin" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de abril de 2007. Consultado el 23 de julio de 2007 .Apuntes de clase, 43 páginas

• Zhang, H. (11 de noviembre de 2004). "El cálculo de Malliavin" (PDF) . Consultado el 11 de noviembre de 2004 .Tesis, 100 páginas