En análisis matemático , un semigrupo C 0 , también conocido como semigrupo de un parámetro fuertemente continuo , es una generalización de la función exponencial . Así como las funciones exponenciales proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficiente constante lineal escalar , los semigrupos fuertemente continuos proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias de coeficiente constante lineal en espacios de Banach . Estas ecuaciones diferenciales en espacios de Banach surgen, por ejemplo, de ecuaciones diferenciales de retardo y de ecuaciones diferenciales parciales .
Formalmente, un semigrupo fuertemente continuo es una representación del semigrupo ( R + , +) en algún espacio de Banach X que es continuo en la topología de operador fuerte .
Un semigrupo fuertemente continuo en un espacio de Banach es un mapa (donde está el espacio de operadores acotados en ) tal que
Los dos primeros axiomas son algebraicos y establecen que es una representación del semigrupo ; el último es topológico y establece que el mapa es continuo en la topología de operador fuerte .
El generador infinitesimal A de un semigrupo T fuertemente continuo está definido por
siempre que exista el límite. El dominio de A , D ( A ), es el conjunto de x ∈ X para el cual sí existe este límite; D ( A ) es un subespacio lineal y A es lineal en este dominio. [1] El operador A es cerrado , aunque no necesariamente acotado , y el dominio es denso en X. [2]
El semigrupo T fuertemente continuo con generador A a menudo se denota con el símbolo (o, de manera equivalente, ). Esta notación es compatible con la notación para exponenciales matriciales y para funciones de un operador definido mediante cálculo funcional (por ejemplo, mediante el teorema espectral ).
Un semigrupo uniformemente continuo es un semigrupo T fuertemente continuo tal que
sostiene. En este caso, el generador infinitesimal A de T está acotado y tenemos
y
Por el contrario , cualquier operador acotado
es el generador infinitesimal de un semigrupo uniformemente continuo dado por
Por tanto, un operador lineal A es el generador infinitesimal de un semigrupo uniformemente continuo si y sólo si A es un operador lineal acotado. [3] Si X es un espacio de Banach de dimensión finita , entonces cualquier semigrupo fuertemente continuo es un semigrupo uniformemente continuo. Para un semigrupo fuertemente continuo que no es un semigrupo uniformemente continuo, el generador infinitesimal A no está acotado. En este caso, no es necesario que converja.
Considere el espacio de Banach dotado de la norma sup . Sea una función continua con . El operador con dominio es un operador cerrado densamente definido y genera el semigrupo de multiplicación donde los operadores de multiplicación pueden verse como la generalización de dimensión infinita de matrices diagonales y muchas de las propiedades de pueden derivarse de las propiedades de . Por ejemplo, está acotado si y sólo si está acotado . [4]
Sea el espacio de funciones acotadas y uniformemente continuas dotadas de la norma sup. El semigrupo de traducción (izquierda) viene dado por .
Su generador es la derivada con dominio . [5]
Considere el problema abstracto de Cauchy :
donde A es un operador cerrado en un espacio de Banach X y x ∈ X . Hay dos conceptos de solución de este problema:
Cualquier solución clásica es una solución suave. Una solución suave es una solución clásica si y sólo si es continuamente diferenciable. [6]
El siguiente teorema conecta problemas abstractos de Cauchy y semigrupos fuertemente continuos.
Teorema: [7] Sea A un operador cerrado en un espacio de Banach X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
Cuando estas afirmaciones son válidas, la solución del problema de Cauchy viene dada por u ( t ) = T ( t ) x siendo T el semigrupo fuertemente continuo generado por A.
En relación con los problemas de Cauchy, normalmente se da un operador lineal A y la pregunta es si éste es el generador de un semigrupo fuertemente continuo. Los teoremas que responden a esta pregunta se denominan teoremas de generación . El teorema de Hille-Yosida proporciona una caracterización completa de los operadores que generan semigrupos fuertemente continuos acotados exponencialmente . Sin embargo, son de mayor importancia práctica las condiciones mucho más fáciles de verificar dadas por el teorema de Lumer-Phillips .
El semigrupo T fuertemente continuo se llama uniformemente continuo si el mapa t → T ( t ) es continuo desde [0, ∞) hasta L ( X ).
El generador de un semigrupo uniformemente continuo es un operador acotado .
Un semigrupo C 0 Γ( t ), t ≥ 0, se llama semigrupo cuasicontracción si existe una constante ω tal que ||Γ( t )|| ≤ exp( ωt ) para todo t ≥ 0. Γ( t ) se llama semigrupo de contracción si ||Γ( t )|| ≤ 1 para todo t ≥ 0. [8]
Un semigrupo T fuertemente continuo se llama eventualmente diferenciable si existe un t 0 > 0 tal que T ( t 0 ) X ⊂ D ( A ) (equivalentemente: T ( t ) X ⊂ D ( A ) para todo t ≥ t 0 ) y T es inmediatamente diferenciable si T ( t ) X ⊂ D ( A ) para todo t > 0 .
Todo semigrupo analítico es inmediatamente diferenciable.
Una caracterización equivalente en términos de problemas de Cauchy es la siguiente: el semigrupo fuertemente continuo generado por A es eventualmente diferenciable si y sólo si existe un t 1 ≥ 0 tal que para todo x ∈ X la solución u del problema abstracto de Cauchy es diferenciable en ( t 1 , ∞) . El semigrupo es inmediatamente diferenciable si se puede elegir que t 1 sea cero.
Un semigrupo T fuertemente continuo se llama eventualmente compacto si existe un t 0 > 0 tal que T ( t 0 ) es un operador compacto (equivalentemente [9] si T ( t ) es un operador compacto para todo t ≥ t 0 ). El semigrupo se llama inmediatamente compacto si T ( t ) es un operador compacto para todo t > 0.
Un semigrupo fuertemente continuo se llama eventualmente norma continua si existe un t 0 ≥ 0 tal que el mapa t → T ( t ) es continuo desde ( t 0 , ∞) hasta L ( X ). El semigrupo se llama inmediatamente norma continua si se puede elegir que t 0 sea cero.
Tenga en cuenta que para un semigrupo continuo inmediatamente normativo, el mapa t → T ( t ) puede no ser continuo en t = 0 (eso haría que el semigrupo fuera uniformemente continuo).
Los semigrupos analíticos, (eventualmente) los semigrupos diferenciables y (eventualmente) los semigrupos compactos son, en última instancia, norma continua. [10]
La cota de crecimiento de un semigrupo T es la constante
Se llama así porque este número es también el mínimo de todos los números reales ω tales que existe una constante M (≥ 1) con
para todo t ≥ 0.
Los siguientes son equivalentes: [11]
Un semigrupo que satisface estas condiciones equivalentes se llama exponencialmente estable o uniformemente estable (cualquiera de las tres primeras afirmaciones anteriores se toma como definición en ciertas partes de la literatura). Que las condiciones L p son equivalentes a la estabilidad exponencial se llama teorema de Datko-Pazy .
En caso de que X sea un espacio de Hilbert existe otra condición que es equivalente a la estabilidad exponencial en términos del operador resolutivo del generador: [12] todos los λ con parte real positiva pertenecen al conjunto resolutivo de A y el operador resolutivo está uniformemente acotado en el semiplano derecho, es decir ( λI − A ) −1 pertenece al espacio de Hardy . Esto se llama teorema de Gearhart-Pruss .
El límite espectral de un operador A es la constante
con la convención de que s ( A ) = −∞ si el espectro de A está vacío.
El límite de crecimiento de un semigrupo y el límite espectral de su generador están relacionados por [13] s ( A ) ≤ ω 0 ( T ). Hay ejemplos [14] donde s ( A ) < ω 0 ( T ). Si s ( A ) = ω 0 ( T ), entonces se dice que T satisface la condición de crecimiento determinada espectralmente . Finalmente, los semigrupos normativos continuos satisfacen la condición de crecimiento determinada espectralmente. [15] Esto da otra caracterización equivalente de estabilidad exponencial para estos semigrupos:
Tenga en cuenta que los semigrupos eventualmente compactos, eventualmente diferenciables, analíticos y uniformemente continuos son eventualmente normativos continuos, de modo que la condición de crecimiento determinada espectralmente se cumple en particular para esos semigrupos.
Un semigrupo T fuertemente continuo se llama fuertemente estable o asintóticamente estable si para todo x ∈ X : .
La estabilidad exponencial implica una fuerte estabilidad, pero lo contrario generalmente no es cierto si X es de dimensión infinita (es cierto para X de dimensión finita).
La siguiente condición suficiente para una estabilidad fuerte se denomina teorema de Arendt-Batty-Lyubich-Phong : [16] [17] Supongamos que
Entonces T es fuertemente estable.
Si X es reflexivo, entonces las condiciones se simplifican: si T está acotado, A no tiene valores propios en el eje imaginario y el espectro de A ubicado en el eje imaginario es contable, entonces T es fuertemente estable.