Operador lineal cerrado

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas, un operador lineal cerrado o, a menudo, un operador cerrado es un operador lineal cuyo gráfico es cerrado (véase la propiedad del gráfico cerrado ). Es un ejemplo básico de un operador no acotado .

El teorema del grafo cerrado dice que un operador lineal entre espacios de Banach es un operador cerrado si y solo si es un operador acotado . Por lo tanto, un operador lineal cerrado que se utiliza en la práctica normalmente solo se define en un subespacio denso de un espacio de Banach.

Definición

Es común en el análisis funcional considerar funciones parciales , que son funciones definidas en un subconjunto de algún espacio. Una función parcial se declara con la notación que indica que tiene prototipo (es decir, su dominio es y su codominio es ). ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Y}$

Toda función parcial es, en particular, una función y, por lo tanto, toda la terminología para funciones se les puede aplicar. Por ejemplo, el gráfico de una función parcial es el conjunto Sin embargo, una excepción a esto es la definición de "gráfico cerrado". Se dice que una función parcial tiene un gráfico cerrado si es un subconjunto cerrado de en la topología del producto ; es importante tener en cuenta que el espacio del producto es y no como se definió anteriormente para las funciones ordinarias. Por el contrario, cuando se considera como una función ordinaria (en lugar de como la función parcial ), entonces "tener un gráfico cerrado" significaría en cambio que es un subconjunto cerrado de Si es un subconjunto cerrado de entonces también es un subconjunto cerrado de aunque no se garantiza lo contrario en general. ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \operatorname {graph} {\!(f)}=\{(x,f(x)):x\in \operatorname {dom} f\}.}$ ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle D\times Y=\operatorname {dom} f\times Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle D\times Y.}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (f)\times Y}$

Definición : Si X e Y son espacios vectoriales topológicos (TVS), entonces llamamos a una función lineal f  : D ( f ) ⊆ X → Y un operador lineal cerrado si su gráfico es cerrado en X ×  Y .

Mapas cerrables y cierres

Un operador lineal es ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$cerrable en ${\displaystyle X\times Y}$si existe unsubespacio vectorial que contieney una función (resp. multifunción)cuyo gráfico es igual al cierre del conjuntoenTalse llama uncierre deen, se denota pory necesariamente extiende ${\displaystyle E\subseteq X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F:E\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle {\overline {f}},}$ ${\displaystyle f.}$

Si es un operador lineal cerrable entonces a ${\displaystyle f:D\subseteq X\to Y}$núcleo o undominio esencial dees un subconjuntotal que el cierre endel grafo de la restriccióndeaes igual al cierre del grafo deen(es decir, el cierre deenes igual al cierre deen). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C\subseteq D}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{C}:C\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} f{\big \vert }_{C}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Ejemplos

Un operador acotado es un operador cerrado. A continuación se muestran ejemplos de operadores cerrados que no están acotados.

• Si es un TVS de Hausdorff y es una topología vectorial que es estrictamente más fina que entonces el mapa identidad es un operador lineal discontinuo cerrado. ^[1] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :(X,\tau )\to (X,\nu )}$
• Consideremos el operador derivado donde es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en un intervalo. Si uno toma su dominio como es entonces es un operador cerrado, que no está acotado. ^[2] Por otro lado, si es el espacio de funciones suaves las funciones con valores escalares entonces ya no serán cerradas, pero serán cerrables, siendo el cierre su extensión definida en ${\displaystyle A={\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle X=Y=C([a,b]).}$ ${\displaystyle [a,b].}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle C^{1}([a,b]),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D(f)}$ ${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{1}([a,b]).}$

Propiedades básicas

Las siguientes propiedades se comprueban fácilmente para un operador lineal f  : D ( f ) ⊆ X → Y entre espacios de Banach:

• Si A está cerrado entonces A − λ Id _{D ( f )} está cerrado donde λ es un escalar y Id _{D ( f )} es la función identidad ;
• Si f es cerrado, entonces su núcleo (o espacio nulo) es un subespacio vectorial cerrado de X ;
• Si f es cerrada e inyectiva entonces su inversa f  ⁻¹ también es cerrada;
• Un operador lineal f admite un cierre si y sólo si para cada x ∈ X y cada par de secuencias x _• = ( x _i )^∞
  _{i = 1}y y _• = ( y _i )^∞
  _{i = 1}en D ( f ) ambas convergen a x en X , de modo que ambas f ( x _• ) = ( f ( x _i ))^∞
  _{i = 1}y f ( y _• ) = ( f ( y _i ))^∞
  _{i = 1}convergen en Y , se tiene lim _{i → ∞} fx _i = lim _{i → ∞} fy _i .

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, pág. 480.
2. Kreyszig, Erwin (1978). Introducción al análisis funcional con aplicaciones . Estados Unidos: John Wiley & Sons. Inc. p. 294. ISBN 0-471-50731-8.

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4.OCLC 945169917  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .