Teorema de Hille-Yosida

En el análisis funcional , el teorema de Hille-Yosida caracteriza a los generadores de semigrupos de operadores lineales de un parámetro fuertemente continuos en espacios de Banach . A veces se enuncia para el caso especial de semigrupos de contracción , y el caso general se denomina teorema de Feller-Miyadera-Phillips (en honor a William Feller , Isao Miyadera y Ralph Phillips). El caso de semigrupo de contracción se usa ampliamente en la teoría de procesos de Markov . En otros escenarios, el teorema de Lumer-Phillips, estrechamente relacionado, suele ser más útil para determinar si un operador dado genera un semigrupo de contracción fuertemente continuo . El teorema recibe su nombre de los matemáticos Einar Hille y Kōsaku Yosida, quienes descubrieron el resultado de forma independiente alrededor de 1948.

Definiciones formales

Si X es un espacio de Banach, un semigrupo de operadores de un parámetro en X es una familia de operadores indexados en los números reales no negativos { T ( t )} _{t ∈ [0, ∞)} tales que

• ${\displaystyle T(0)=I\quad }$
• ${\displaystyle T(s+t)=T(s)\circ T(t),\quad \forall t,s\geq 0.}$

Se dice que el semigrupo es fuertemente continuo , también llamado semigrupo ( C ₀ ), si y solo si la aplicación

${\displaystyle t\mapsto T(t)x}$

es continua para todo x ∈ X , donde [0, ∞) tiene la topología usual y X tiene la topología norma.

El generador infinitesimal de un semigrupo de un parámetro T es un operador A definido en un subespacio posiblemente propio de X de la siguiente manera:

• El dominio de A es el conjunto de x ∈ X tal que

${\displaystyle h^{-1}{\bigg (}T(h)x-x{\bigg )}}$

tiene un límite cuando h se acerca a 0 desde la derecha.

• El valor de Ax es el valor del límite anterior. En otras palabras, Ax es la derivada derecha en 0 de la función.

${\displaystyle t\mapsto T(t)x.}$

El generador infinitesimal de un semigrupo de un parámetro fuertemente continuo es un operador lineal cerrado definido en un subespacio lineal denso de X.

El teorema de Hille-Yosida proporciona una condición necesaria y suficiente para que un operador lineal cerrado A en un espacio de Banach sea el generador infinitesimal de un semigrupo de un parámetro fuertemente continuo.

Enunciado del teorema

Sea A un operador lineal definido en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X , ω un número real y M  > 0. Entonces A genera un semigrupo fuertemente continuo T que satisface si y solo si ^[1] ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{\omega t}}$

1. A es cerrado y D ( A ) es denso en X ,
2. todo real λ  >  ω pertenece al conjunto resolutivo de A y para tal λ y para todos los enteros positivos n ,

${\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-n}\|\leq {\frac {M}{(\lambda -\omega )^{n}}}.}$

Teorema de Hille-Yosida para semigrupos de contracción

En el caso general, el teorema de Hille-Yosida tiene una importancia principalmente teórica, ya que las estimaciones de las potencias del operador resolvente que aparecen en el enunciado del teorema normalmente no se pueden comprobar en ejemplos concretos. En el caso especial de los semigrupos de contracción ( M  = 1 y ω  = 0 en el teorema anterior), solo se debe comprobar el caso n  = 1 y el teorema también adquiere cierta importancia práctica. El enunciado explícito del teorema de Hille-Yosida para los semigrupos de contracción es:

Sea A un operador lineal definido en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X . Entonces A genera un semigrupo de contracción si y sólo si ^[2]

1. A es cerrado y D ( A ) es denso en X ,
2. todo real λ  > 0 pertenece al conjunto resolutivo de A y para tal λ ,

${\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-1}\|\leq {\frac {1}{\lambda }}.}$

Véase también

• Semigrupo C0
• Teorema de Lumer-Phillips
• Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro

Notas

1. Teorema II.3.8 de Engel y Nagel, Arendt et al. Teorema 3.3.4, Teorema de Staffans 3.4.1
2. Teorema II.3.5 de Engel y Nagel, Corolario 3.3.5 de Arendt et al., Corolario 3.4.5 de Staffans

Referencias

• Riesz, F. ; Sz.-Nagy, B. (1995), Análisis funcional. Reimpresión del original de 1955 , Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, ISBN 0-486-66289-6
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Métodos de la física matemática moderna. II. Análisis de Fourier, autoadjunción. , Academic Press, ISBN 0-12-585050-6
• Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), Semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal , Springer, ISBN 0-387-98463-1
• Arendt, Wolfgang; Batty, Charles; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2001), Transformadas de Laplace con valores vectoriales y problemas de Cauchy , Birkhauser, ISBN 0-8176-6549-8
• Staffans, Olof (2005), Sistemas lineales bien planteados , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82584-9
• Feller, William (1971), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones , vol. II (segunda ed.), Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-25709-5
• Vrabie, Ioan I. (2003), Semigrupos de C ₀ y aplicaciones , North-Holland Mathematics Studies, vol. 191, Ámsterdam: North-Holland Publishing, ISBN 0-444-51288-8