Espacio de probabilidad gaussiano

En la teoría de la probabilidad, particularmente en el cálculo de Malliavin , un espacio de probabilidad gaussiano es un espacio de probabilidad junto con un espacio de Hilbert de variables aleatorias gaussianas de valor real y media cero . Ejemplos importantes incluyen el espacio de Wiener clásico o abstracto con alguna colección adecuada de variables aleatorias gaussianas. ^{[1] [2]}

Definición

Un espacio de probabilidad gaussiano consta de ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$

• un espacio de probabilidad ( completo ) , ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$
• un subespacio lineal cerrado llamado espacio gaussiano tal que todas son variables gaussianas de media cero. Su σ-álgebra se denota como . ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}}$
• una σ-álgebra llamada σ-álgebra transversal que se define a través de ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }.}$^[3]

Irreductibilidad

Un espacio de probabilidad gaussiano se llama irreducible si . Estos espacios se denotan como . Los espacios no irreducibles se utilizan para trabajar en subespacios o para ampliar un espacio de probabilidad determinado. ^[3] Los espacios de probabilidad gaussianos irreducibles se clasifican por la dimensión del espacio gaussiano . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Subespacios

Un subespacio de un espacio de probabilidad gaussiano consta de ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp })}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$

• un subespacio cerrado , ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}}$
• una subálgebra σ de variables aleatorias transversales tales que y son independientes, y . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }\subset {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cap {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$

Ejemplo:

Sea un espacio de probabilidad gaussiano con un subespacio cerrado . Sea el complemento ortogonal de in . Dado que la ortogonalidad implica independencia entre y , tenemos que es independiente de . Definir vía . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }:=\sigma ({\mathcal {A}}_{V},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })={\mathcal {A}}_{V}\vee {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }}$

Observación

Porque tenemos . ${\displaystyle G=L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp },P)}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=L^{2}((\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}},P);G)}$

Álgebra fundamental

Dado un espacio de probabilidad gaussiano se define el álgebra de variables aleatorias cilíndricas ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}=\{F=P(X_{1},\dots ,X_{n}):X_{i}\in {\mathcal {H}}\}}$

donde es un polinomio y se llama álgebra fundamental . Para cualquiera es cierto que . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X_{n},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle p<\infty }$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

Para una probabilidad gaussiana irreducible, el álgebra fundamental es un conjunto denso para todos . ^[4] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty [}$

Modelo numérico y Segal

Una probabilidad gaussiana irreducible para la que se eligió una base se denomina modelo numérico . Dos modelos numéricos son isomórficos si sus espacios gaussianos tienen la misma dimensión. ^[4] ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Dado un espacio de Hilbert separable , siempre existe un espacio de probabilidad gaussiano canoncial irreducible llamado modelo de Segal como espacio gaussiano. ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Seg} ({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Literatura

• Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Berlín, Heidelberg: Springer. doi :10.1007/978-3-642-15074-6. ISBN 3-540-57024-1.

Referencias

1. Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Berlín, Heidelberg: Springer. doi :10.1007/978-3-642-15074-6. ISBN 3-540-57024-1.
2. Nualart, David (2013). El cálculo de Malliavin y temas relacionados . Nueva York: Springer. pag. 3. doi :10.1007/978-1-4757-2437-0.
3. Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 4–5. doi :10.1007/978-3-642-15074-6. ISBN 3-540-57024-1.
4. Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 13-14. doi :10.1007/978-3-642-15074-6. ISBN 3-540-57024-1.
5. Malliavin, Paul (1997). Análisis estocástico . Berlín, Heidelberg: Springer. pag. 16. doi :10.1007/978-3-642-15074-6. ISBN 3-540-57024-1.